Liceo Scientifico Tecnologico “Grigoletti”
Precorsi Trigonometria
Prof. Marzullo P.
FUNZIONI CIRCOLARI E LORO INVERSE
FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE,
BISEZIONE
FORMULE DI PROSTAFERESI
TRIGONOMETRIA
La goniometria si occupa della misura degli
angoli e delle relative funzioni.
La trigonometria studia i procedimenti di calcolo
che permettono di determinare la misura degli
elementi di un triangolo, noti alcuni di essi.
L’angolo è la parte di piano individuata da due
semirette a e b che hanno la stessa origine.
L’angolo è la parte di piano individuata da due semirette a e b
che hanno la stessa origine.
V (Vertice)
angolo concavo
a
(Lato)
angolo
convesso
b
(Lato)
LA MISURA DEGLI ANGOLI
Nel sistema sessagesimale, l’unità di misura
degli angoli è il grado sessagesimale, definito
come la 360a parte dell’angolo giro.
Il sistema di misura degli angoli con gradi, primi, secondi è il più
antico, ma presenta il problema di non utilizzare un sistema
decimale e di avere quindi procedimenti di calcolo complicati
Esempio: 30° 20’ 54” + 2° 45’ 24” = 32° 65’ 78” = 33° 6’ 18”
Per semplificare i calcoli si usa il sistema che ha per unità di
misura il radiante:
Data una circonferenza, si chiama radiante l’angolo al
centro che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio.
Quindi la misura in radianti di un angolo al centro non è altro
che il rapporto tra la misura dell’arco sotteso dall’angolo e
la misura del raggio
Misura degli angoli in radianti
angolo giro 2 π r / r = 2 π
π
angolo piatto
angolo retto π / 2
Relazione tra gradi e radianti
α° = (360° · αrad ) / 2 π
α° : αrad = 360° : 2 π
αrad = (α° · 2 π ) / 360°
Angoli orientati
Un angolo si dice orientato quando è stato scelto uno dei
due lati come lato origine e un senso di rotazione. Un
angolo orientato si dice positivo quando è descritto
mediante una rotazione in senso antiorario; si dice
negativo quando la rotazione è in senso orario.
angolo positivo
lato origine
angolo negativo
LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
La circonferenza goniometrica è una circonferenza che
viene rappresentata in un piano cartesiano con il centro
nell’origine degli assi e il raggio di lunghezza uguale a 1
x 2 + y2 = 1
Il punto A ( 1, 0 ) si dice origine degli archi
FUNZIONI GONIOMETRICHE
SENO E COSENO
•
DEFINIZIONE
•
B (cos α, sen α)
•
VARIAZIONE
•
GRAFICI
Consideriamo la circonferenza goniometrica e un
angolo orientato .
Definiamo coseno e seno dell’angolo  le funzioni
che ad  associano rispettivamente il valore
dell’ascissa e dell’ordinata del punto di
intersezione tra il raggio vettore e la
circonferenza stessa
Variazione delle funzioni
• Entrambe le funzioni assumono tutti i
valori compresi fra -1 e 1
Y = SEN X
y = cos x
IL PERIODO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO
sen ( α + 2 k π ) = sen α
cos ( α + 2 k π ) = cos α
con k Є Z
LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE
cos2 α + sen2 α = 1
Definizione di tangente
Consideriamo una circonferenza goniometrica, un
angolo orientato , la tangente geometrica alla
circonferenza nel punto di coordinate (1,0).
Definiamo tangente dell’angolo  la funzione
che ad  associa l’ordinata del punto
d’intersezione tra il prolungamento del raggio
vettore e la tangente considerata
Variazione della tangente
La funzione tangente assume tutti i valori
compresi tra -∞ e + ∞
Tangentoide
Y = tg x
Periodo della tangente
La funzione tangente ha periodo π
Significato goniometrico del coefficiente angolare
tg α
0 α
m = y/x = tg α / 1 = tg α
1
La seconda relazione fondamentale
tg α =
sen α
cos α
Definizione di cotangente
Consideriamo una circonferenza goniometrica, un
angolo orientato , la tangente geometrica alla
circonferenza nel punto di coordinate (0,1).
Definiamo cotangente dell’angolo  la funzione
che ad  associa l’ascissa del punto
d’intersezione tra il prolungamento del raggio
vettore e la tangente considerata
Variazione della cotangente
La funzione cotangente assume tutti i valori
compresi fra -∞ e + ∞
COTANGENTOIDE
y = ctg x
Periodo della cotangente
La funzione tangente ha periodo π
Inoltre si ha che
1
ctg  =
cos()
=
tg()
sen()
Le funzioni secante e cosecante
Consideriamo la circonferenza goniometrica,un angolo  e la
tangente geometrica nel punto di intersezione del raggio
vettore con la circonferenza stessa. Definiamo secante e
cosecante dell’angolo  le funzioni che ad  associano
rispettivamente l’ordinata del punto d’intersezione tra la
tangente considerata e l’asse y, e l’ascissa del punto
d’intersezione tra la tangente e l’asse x
Variazione della secante e della
cosecante
Le funzioni assumono tutti i valori
appartenenti a (-∞,-1]U[1,+ ∞)
Grafico della funzione y=cosec(x)
Grafico della funzione y=sec(x)
ANGOLI PARTICOLARI
0
π/6 π/4 π/3 π/2
π
3/2
senα
0
1/2 √2/2 √3/2
1
0
-1
0
cos α
1
√3/2 √2/2 1/2
0
-1
0
1
tg α
0
√3/3
+∞
0
-∞
0
1
√3
π
2π
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
INVERSE
Una funzione è invertibile, ossia ammette la funzione inversa solo
se è biiettiva.
y = sen x
D = [ - π/2, π/2 ]
C = [-1, 1]
y = arcsen x
D = [-1, 1]
C = [ - π/2, π/2 ]
Il grafico della funzione y = arcsen x è simmetrico rispetto alla
bisettrice del 1° e 3° quadrante della funzione y = sen x
y = arcsen x
y = cos x
D = [ 0, π ]
y = arccos x
D = [-1, 1]
C = [-1, 1]
C = [ 0, π ]
Il grafico della funzione y = arccos x è simmetrico rispetto
alla bisettrice del 1° e 3° quadrante della funzione y =
cos x
y = arccos x
y = tg x
D = ] - π /2, π /2 [
y = arctg x
D=R
C= R
C = ] - π /2, π /2 [
y = arctg x
Angoli associati
Si consideri un punto B appartenente ad una
circonferenza goniometrica situato nel primo
quadrante; il punto B mi individua un angolo 
. Da esso, conducendo le parallele agli assi , si
costruisca un rettangolo, in tal modo si
individuano altri tre angoli:
β=180° - 
δ=180°+ 
λ=360°- 
Che si chiamano angoli associati.
Funzioni degli angoli associati
sen(180°- )=sen 
cos(180°- )=-cos()
sen(180°+)=-sen 
cos(180°+ )=-cos()
sen(360°- )=-sen 
cos(360°- )=cos()
Funzioni degli angoli complementari
sen(90°- )=cos 
cos(90°- )=sen()
Riduzione al primo quadrante
Ridurre un angolo al primo quadrante significa
trovare l’angolo positivo, compreso fra 0° e 90°,
le cui funzioni sono uguali, in valore assoluto, a
quelle dell’angolo dato
sen 1830°= sen(5∙360°+30°)=sen30°
cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°
13
1
π
sen
π= sen(4 π+
π)= sen
3
3
3
Provate a calcolare
5

4
5
2 cos   3 cos  tg   3ctg  
3
3
3
6
2 cos







2 cos 2    3 cos  tg      3ctg    
3
3
3
6



1
1
5




 3 cos  tg  3ctg  2   3  3  3 3   2 3
2
2
2
3
3
3
6
1
4sen390  3 cos 150  tg120  2ctg 315 
2
1
4sen360  30  3 cos180  30  tg 180  60  2ctg 360  45 
2
1
3 3
4sen(30)  3 cos 30  tg 60  2ctg 45  2 
 32 3
2
2
FORMULE DI ADDIZIONE E
SOTTRAZIONE
cos (α ± β) = cos α cos β + sen α sen β
sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β
tg (α ± β ) =
tg α ± tg β
1 + tg α tg β
FORMULE DI DUPLICAZIONE
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2 α - sen2 α = 1 - 2sen2 = 2cos2 – 1
tg 2 α =
2 tg α
1 - tg2 α
FORMULE DI BISEZIONE
Queste formule di ricavano da quella di duplicazione del coseno sostituendo α /2 ad α
sen α /2 = ±
√
cos α /2 = ±
√
tg α /2 =
1 – cos α
2
1 + cos α
2
sen α
1 + cos α
1 – cos α
=
sen α
Formule parametriche
Le formule parametriche permettono di esprimere
il seno e il coseno di un angolo α in funzione
della tangente di α/2

2tg
2
sen 
2 
1  tg
2

1  tg
2
cos  
2 
1  tg
2
2
Formule di prostaferesi
p+q
sen p + sen q = 2 sen
p-q
cos
2
2
p+q
p-q
sen p - sen q = 2 cos
sen
2
2
p+q
cos p + cos q = 2 cos
p-q
cos
2
2
p+q
cos p - cos q = - 2 sen
p-q
sen
2
2
Esercizi
1  tg 2  
1
1
1
2

tg



sen2 
cos 2  cos 2 
sen2 
1
sen2 
1
1
1




cos 2  sen2  cos 2  cos 2  cos 2 
sen2 
1
1
1
1



cos 2  cos 2  cos 2  cos 2 
sen2 
1
1

cos 2  cos 2 
cos 2   sen2 
1

cos 2 
cos 2 
1
1

cos 2  cos 2 
Risolvi
sen
5
7




  sen   2sen 2    2 cos 2     
12
12
4
4


7   5
7 
 5







 
12 sen 12
12   2  sen2  cos   sen   cos 2 
2 cos 12
2
2
4
4

 




 


 





 2 cos   cos  sen  sen  
4
4


2

2
1
 
2
2 cos sen    2 
2sen  cos   cos 2   sen2   2  cos   sen  
2
2
2
 12 
2sen  cos   cos 2   sen2   cos 2   sen2   2sen  cos  

2 cos 2 

trigonometria
Per risolvere un triangolo rettangolo
bisogna determinare le misure dei lati e
degli angoli che lo compongono.
Studiamo, quindi le relazioni che
intercorrono tra le misure lineari e circolari
di un triangolo rettangolo
Risoluzione dei triangoli
rettangoli
Utilizzando la
similitudine dei
triangoli
riusciamo a
risolvere
facilmente i
triangoli
retttangoli
Primo teorema
In un triangolo
rettangolo la misura
di un cateto è uguale
a quella
dell’ipotenusa
moltiplicata per il
seno dell’angolo
opposto al cateto o
per il coseno
dell’angolo adiacente
al cateto
a = c sen α = c cos β
b = c sen β = c cos α
Secondo teorema
In un triangolo
rettangolo la misura
di un cateto è
uguale a quella
dell’altro cateto
moltiplicata per la
tangente dell’angolo
opposto al cateto o
per la cotangente
dell’angolo
adiacente al cateto
a = b tg α = b cotg β
b = a tg β = a cotg α
Risolvi
a = 36 β = 45°
L’area di un triangolo rettangolo è 54m2 e la
tangente di uno degli angoli acuti misura ¾.
Calcola, per via trigonometrica, il perimetro
del triangolo
Applicazioni
Consideriamo un triangolo qualunque, di cui
conosciamo due lati e l’angolo compreso tra
essi. Vogliamo calcolare l’area di tale triangolo
conoscendo due lati e l’angolo fra essi
compreso.
Applicando il primo
teorema ad uno dei due
triangoli in cui
l’altezza lo divide si ottiene
A = ½ b∙c sen α
Teorema della corda
In una circonferenza la
misura di una corda è
uguale al prodotto di
quella del diametro
per il seno di uno
qualunque degli
angoli alla
circonferenza che
insistono sulla corda.
Dimostrazione
Consideriamo una qualunque corda AB
Costruiamo il triangolo rettangolo che ha
a come cateto. Il teorema è vero per
il primo teorema di risoluzione dei
triangoli rettangoli.
Se facciamo variare il punto C
sull’arco AB otteniamo sempre
un angolo α per cui la relazione è
vera. Se il punto C si trova nell’arco
BA l’angolo su cui insiste la corda è
180°- α per cui la relazione è ancora vera
per le formule degli angoli associati
Risolvi
Raggio=10
 = π/6
β = π/4
AB ?
BC ?
Risolvi
Detrmina il perimetro del parallelogramma ABCD di
base AB sapendo che
BD  12
ˆB
DA
ˆD
AB

3

4
I triangoli qualunque
Risolvere un triangolo qualunque significa
determinare le misure dei suoi lati e dei
suoi angoli conoscendo almeno un lato e
altri due suoi elementi
Il teorema dei seni
In un triangolo
qualunque le
misure dei lati sono
proporzionali ai
seni degli angoli
opposti.
a
b
c


sen sen sen
Dimostrazione
Consideriamo un triangolo ABC
inscritto in una circonferenza di
diametro 2r.
Applichiamo il teorema della corda ai
lati del triangolo ABC:
a
 2r
sen
b
b  2r  sen 
 2r
sen 
c
c  2 r  sen  
 2r
sen
a  2 r  sen  
Confrontando le relazioni precedenti
troviamo la tesi.
Risolvi
• Del triangolo ABC si ha a = 20, b = 9, α = 120°.
Determinare sen β
• Nel triangolo ABC la mediana AM è lunga 80
cm e forma, col lato AB, un angolo di 30°. La
lunghezza del lato BC è 120 cm. Calcola l’area
del triangolo.
Il teorema del coseno
In un triangolo qualunque
il quadrato della misura
di un lato è uguale alla
somma dei quadrati delle
misure degli altri due lati,
diminuita del doppio
prodotto della misura di
questi due lati per il
coseno dell’angolo fra
essi compreso.
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
b 2  a 2  c 2  2ac  cos 
c 2  a 2  b 2  2ab  cos 
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
Dimostrazione
Consideriamo un triangolo ABC. Tracciamo l’altezza BH relativa al lato AC.
Applicando il primo teorema dei triangoli rettangoli al triangolo ABH,
otteniamo:
BH  csen
AH  c cos 
Per differenza si ha:
BH  c  sen
HC  b  c  cos 
AH  c  cos 
Determiniamo BC applicando il teorema di
Pitagora al triangolo BHC:
2
2
BC  BH  HC 2 
c 2 sen 2  b  c cos    c 2 sen 2  b 2  c 2 cos 2   2bc cos  
2


c 2 sen 2  cos 2   b 2  2bc cos   b 2  c 2  2bc cos 
Quindi:
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
Risolvi
• Del triangolo ABC si ha a = 12, b = 6, γ = 60°.
Determinare c
• Nel triangolo ABC i lati AB e AC sono lunghi
rispettivamente 24 cm e 20 cm; il coseno
dell’angolo tra essi compreso è 2/5. Determina
il perimetro, l’area e la mediana BM.