Cabrini, Catalano,
Guariglia, Pilati, Verona
400 a.C.
• I due grandi capitoli dell’Analisi
infinitesimale: calcolo integrale e calcolo
differenziale
• Origini del calcolo integrale: i Greci
200 a.C.
1600 d.C.
> XVII sec.
• Non esistevano le funzioni, quindi si
studiavano problemi di calcolo di aree e
volumi
• Procedimento adottato: metodo di
esaustione (Eudosso di Cnido)
«riempire» un’area con delle
figure note tali che la loro somma
approssimi l’area cercata.
400 a.C.
200 a.C.
• Idea generale
A = B, quindi per assurdo proviamo
che se A ≠ B allora esiste una
figura intermedia C che dovrebbe
provocare ua conseguenza falsa.
• Assioma di partenza
“Si dice che hanno rapporto
fra loro quelle grandezze che
sono capaci se moltiplicate di
superarsi a vicenda”
• Eudosso dimostra che un cerchio può essere
“esaurito” da poligoni regolari iscritti con un
numero di lati via via crescente.
1600 d.C.
• In termini moderni: metodo di esaustione =
calcolo dell’integrale semplice.
> XVII sec.
• Eudosso fu il primo a sviluppare un calcolo che
può definirsi la chiave dell’analisi infinitesimale
moderna.
400 a.C.
• 200 anni dopo: Archimede riprende il
metodo di esaustione
• Problema: risolvere la quadratura del
cerchio
• Idea: trovare l’area del cerchio 
costruzione del quadrato di uguale area
200 a.C.
1600 d.C.
> XVII sec.
QUADRARE UNA FIGURA:significa costruire un quadrato di area uguale
a quella della figura piana considerata. Se ciò è realmente possibile,
allora si dice che la figura è <<quadrabile>>.
400 a.C.
200 a.C.
1600 d.C.
> XVII sec.
225 a.C.: Archimede calcola l’area del cerchio
costruendo poligoni inscritti e circoscritti.
Aumentando il numero dei lati ci si avvicina
sempre di più all’area del cerchio senza mai
raggiungerla.
Archimede pensò quindi che fosse
possibile quadrare il cerchio.
Il rapporto dell’area del cerchio con il suo
raggio è un numero irrazionale!!!
Scoperta
del 𝜋
400 a.C.
200 a.C.
1600 d.C.
> XVII sec.
• Origini della scoperta: osservazione
del rapporto tra circonferenza C e il
suo diametro d
𝐶
𝑑
= 𝜋 (costante)
All’aumentare del diametro del cerchio
aumenta proporzionalmente anche la
lunghezza della circonferenza
400 a.C.
200 a.C.
Il numero 𝝅 è anche il doppio della
relazione costante fra l’area di un
cerchio ed il quadrato in esso inscritto.
A= 𝜋r2
L’area del quadrato equivale esattamente al suo lato elevato al
quadrato, applicando il teorema di Pitagora otteniamo:
1600 d.C.
> XVII sec.
Conclusione: il cerchio non è
un figura quadrabile, ma
tramite 𝜋 possiamo comunque
approssimarne l’area.
400 a.C.
• Tra la morte di Archimede e il 1600 d.C.: il progresso occidentale
subisce una lunga fase di rallentamento.
• Seicento: rinascita scientifica e matematica.
200 a.C.
Introduzione dei concetti
di «limite» e di «serie»
Problema: il metodo di
esaustione può funzionare
come metodo empirico, ma
non ha una dimostrazione
rigorosa.
1600 d.C.
Va interpretato in
chiave rigorosamente
logica.
> XVII sec.
Bonaventura Cavalieri
400 a.C.
• Bonaventura Cavalieri, un matematico del periodo, conosce Galileo
Galilei che lo spinge a dedicarsi allo studio degli integrali
pubblica Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam
ratione promota, un’opera che si basa sui seguenti principi:
200 a.C.
Area = numero
indefinitivamente grande di
segmenti paralleli equidistanti
(indivisibili di area)
Volume = numero
indefinitivamente grande
di aree piane parallele
(indivisibili di volume)
1600 d.C.
> XVII sec.
Sviluppo del
metodo degli
indivisibili
400 a.C.
200 a.C.
• Inizi XVII secolo: Fermat e Nicolaus Mercator riprendono le teorie di
Cavalieri -> altri metodi per calcolare l'area sottesa di semplici funzioni.
• Fine XVII sec – inizio XVIII sec:
- Newton, Leibniz, Johann Bernoulli scoprono indipendentemente
il teorema fondamentale del calcolo integrale -> primitive.
- Definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un
intervallo (Pietro Mengoli), migliorata da Cauchy, poi Riemann e
infine Darboux.
1600 d.C.
> XVII sec.
Fermat
Newton
Bernoulli