Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie
Corso Integrato: Matematica e Statistica
Modulo: Matematica (6 CFU)
(4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni)
Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio
e del Paesaggio Agro-Forestale
Corso di Matematica (6 CFU)
(4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni)
Prof. Ing. S. Pascuzzi
Materiale di studio
 Appunti dalle lezioni
 BIGATTI Anna Maria – ROBBIANO Lorenzo
MATEMATICA DI BASE
Casa Editrice Ambrosiana
 ZWIRNER Giuseppe
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE
Parte prima CEDAM Editrice
Elementi di geometria
analitica
Coordinate nella retta
Rette e segmenti orientati. Loro misura
La retta è una linea aperta dotata di due versi, uno opposto all’altro
Una retta si dice orientata quando sia fissato su di essa un verso
che si chiamerà positivo; l’opposto sarà detto verso negativo
Due punti del piano A e B formano una coppia orientata quando
sono considerati in un certo ordine
4
Coordinate nella retta
Rette e segmenti orientati. Loro misura
Se (A, B) è una coppia orientata di punti, il segmento di estremi A e
B dicesi segmento orientato e si indica con AB.
r
A
B
Il punto A si chiama origine ed il punto B estremo del segmento. I
due segmenti AB e BA si dicono opposti.
5
Coordinate nella retta
Rette e segmenti orientati. Loro misura
Chiameremo misura del segmento orientato AB rispetto all’unità di
misura u, il numero reale che rappresenta il rapporto tra il
segmento AB e quello unitario u, al quale numero si attribuisce il
segno positivo o negativo a seconda che il verso del segmento
orientato AB coincide od è opposto al verso positivo fissato su r.
u
r
A
B
6
Coordinate nella retta
Rette e segmenti orientati. Loro misura
La misura di un segmento orientato è un numero relativo, cioè un
numero positivo o negativo a seconda che il verso positivo del
segmento considerato coincide od è opposto al verso positivo
fissato sulla retta r dove giace il segmento.
Le misure dei segmenti AB e BA sono numeri opposti; cioè:
AB+BA=0
u
r
A
B
7
Coordinate nella retta
Ascisse sulla retta
Una retta orientata r viene suddivisa da un punto O arbitrario
(punto di origine) in due semirette, una positiva (contiene i punti
successivi ad O nel verso positivo) l’altra negativa
O
P
r
Preso sulla retta r un punto qualsiasi P e fissata una unità di
misura, sia x la misura del segmento orientato OP.
Il numero x così determinato chiamasi ascissa del punto e si
scrive P(x).
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Coordinate nella retta
Ascisse sulla retta
L’ascissa del punto P è un numero reale, positivo, negativo o nullo.
Viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti della
retta orientata r e l’insieme dei numeri reali.
u
r
Un sistema di ascisse sulla retta r è determinato quando è
fissato il punto di origine, il verso positivo sulla retta r e
l’unità di misura
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Coordinate nella retta
Distanza orientata di due punti di una data retta.
Dati due punti P1 e P2 mediante le loro ascisse x1 e x2, trovare la
misura del segmento orientato P1P2
P1
O
si ha:
P2
r
P1P2=x2-x1
La misura del segmento orientato P1P2 è uguale alla differenza tra
l’ascissa di P2 e quella di P1
10
Misura degli angoli
Unità pratica di misura degli angoli: grado (novantesima parte
dell’angolo retto)
minuto primo (sessantesima parte del grado)
minuto secondo (sessantesima parte del minuto primo)
Unità teorica di misura degli angoli
Su due circonferenze concentriche di raggi R e R’ si considerano
due archi che sottendono lo stesso angolo al centro
R’
a
O
R
a’
a : a’ = R : R’
Se a = R
a’ = R’
11
Misura degli angoli in radianti
Unità teorica di misura degli angoli: radiante (angolo al
centro di una circonferenza di raggio arbitrario che sottende
un arco di lunghezza uguale al suo raggio)
Le misure di un arco e dell’angolo al centro ad esso sotteso,
quando si prenda come unità di misura per gli archi il raggio e
per gli angoli il radiante, sono espresse dallo stesso numero
360°
2
180°

x=

90°
180
/2
45°
/4
y
360° : 2 = y° : x
y =
180

x
12
Fasci orientati di rette
Fascio proprio di rette di un piano:
insieme di tutte le rette di un piano passanti
S
per un punto fisso (centro del fascio)
S
Una retta del fascio può ruotare intorno ad S in due sensi
o versi fra loro opposti, uno positivo e l’altro negativo
Un fascio si dice orientato quando si assume un verso come
positivo (verso antiorario)
Un fascio con verso positivo e con verso positivo di
ciascuna sua retta si definisce fascio orientato di rette
orientate
13
Misura degli angoli orientati
Siano a e b due rette orientate, distinte e appartenenti al fascio
orientato di centro S
S
a Chiameremo angolo delle due rette
orientate a e b, l’angolo convesso
S
b
a
b
individuato dalle semirette positive a e b
L’angolo ab è positivo, quando la semiretta positiva a deve
ruotare nel verso positivo per descrivere l’angolo convesso ab
La misura di un angolo orientato ab è positiva o negativa a
seconda che l’angolo ab sia positivo o negativo
Le misure degli angoli orientati ab e ba sono due numeri
opposti:
ab = -ba
ossia
ab + ba = 0
14
Coordinate cartesiane nel piano
Fissiamo sul piano due rette orientate non parallele.
u
y
B
O – origine
x – asse delle x (delle ascisse)
y – asse delle y (delle ordinate)
P
OA = a
O
A
x
OB = b
Coordinate cartesiane del punto P (ascissa,
ordinata)
Viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti del
piano e le coppie ordinate di numeri reali
y
II
I
x
O
III
IV
15
Coordinate cartesiane nel piano
Considereremo sempre assi cartesiani ortogonali
y
II
P
I
y
P(a,b)
x
O
III
x
O
IV
y
O
y
y
x
P
P'
P
y
y
y
-y
x
-x O x
y
-x
x
-y
O
x
x
P'
16
Distanza di due punti
Consideriamo due punti P1 e P2 in un sistema di assi cartesiani
ortogonali
y
P2(x2,y2)
B2
B1
O
P1(x1,y1)
A1
OA1=x1;
OA2=x2;
OB1=y1;
OB2=y2
P1Q = A1A2 = x2-x1
Q
QP2 = B1B2 = y2-y1
A2
Teorema di Pitagora triangolo rettangolo
x
P1QP2 :
d2 = P1P22 = P1Q2 + QP22
d2 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2
e quindi:
da cui segue la formula:
d=
x2  x1    y2  y1 
2
2
17
Distanza di due punti
Distanza di un punto P(x,y) dall’origine:
y
OP = x  y
2
P(x,y)
2
x
O
Esempio. - La distanza dei due punti P1(3,5), P2(7,4) è:
P1P2 =
7  3  4  5
2
2
= 17
18
Coordinate del punto di mezzo di un segmento
Per il teorema di Talete si ha:
A1A P1P
=
AA2 PP2
y
B2
B
B1
O
si ha:
P2(x2,y2)
P (x,y)
P1(x1,y1)
A1
A
x  x1
=1
x2  x
A2 x
y  y1
=1
y2  y
B1B P1P
=
BB2 PP2
ed essendo:
A1A = x-x1
AA2 = x2-x
B1B = y-y1
BB2 = y2-y
P1P
=1
PP2
da cui:
x1  x2
x=
2
y1  y2
y=
2
Le coordinate del punto medio di un segmento sono eguali
alla media aritmetica delle coordinate omonime degli estremi19
Coordinate del punto di mezzo di un segmento
Esempio. – Determinare le coordinate del punto medio del
segmento che ha per estremi i punti: P1(-5,-3), P2(7,-9)
Si ha:
57
x=
=1
2
39
y=
= 6
2
20