Istituto Comprensivo Capaccio Capoluogo
A.S. 2013 – 2014
Scuola Secondaria Primo Grado Capaccio
Classe IIIA
Progetto PON
Competenze matematiche 1
Esperto esterno: prof. Nicola TANCREDI
Tutor: prof. ssa Antonietta De Gregorio
Articolazione del progetto
 Laboratorio dei numeri, delle relazioni e funzioni
 Rapporti e proporzioni;
 Studio delle equazioni ed applicazioni ai problemi.
 Laboratorio di geometria
 Costruzione e rappresentazione delle figure geometriche tramite software informatici;
 Simmetria, rotazione e traslazione delle figure geometriche
 Raccolta ed elaborazioni dei dati
 La probabilità; Rappresentazione informatica dei dati (utilizzo di Excel) ;Gli eventi
 La statistica
Laboratorio dei numeri, delle relazioni e funzioni
Dai problemi alle equazioni. L’attività è centrata sulla
costruzione di un modello risolutivo di una situazione
problematica, partendo dalle condizioni e relazioni tra dati ed
incognite e arrivando alla conseguente procedura risolutiva. Le
fasi risolutive di un problema vengono presentate con delle
schede
passando dal
linguaggio naturale, in cui sono
formulati i problemi proposti, al
linguaggio algebrico,
giungendo a trovare un modello e la soluzione del problema.
L’impostazione, la risoluzione e la verifica di problemi
modellizzabili attraverso equazioni sarà fatta anche utilizzando
mediatori informatici.
I Protagonisti
La PROF.
Federica
Marcello
Dario
PROBLEMA!
In un allevamento ci sono polli e conigli. Le
teste sono in tutto 49, le zampe sono 168.
Quanti sono i polli e quanti i conigli?
Federica , Marcello e Dario hanno individuato i dati
Quanti sono i polli e
quanti i conigli?
Le zampe sono
168
Le teste sono 49
La somma degli animali è 49 (ogni animale
ha una testa)
La somma delle zampe è 168 (i polli hanno 2
zampe, i conigli hanno 4 zampe)
Marcello si rivolge all’amico Dario che gli traduce il problema in equazione
Come incognita si può scegliere uno qualsiasi dei numeri da
trovare
numero di polli x
Se gli animali sono in tutto 49 e x sono i polli, i conigli
saranno gli animali rimanenti, cioè 49-x.
numero di conigli 49-x
Ok! ma l’equazione per
risolvere il problema qual
è?
Come
procediamo?
Dario scrive l’equazione
Per scrivere l'equazione utilizza la seconda relazione tra i dati
la somma delle zampe è 168
2·x + 4·(49-x)=168
i polli hanno 2 zampe
i polli sono x
i conigli hanno 4 zampe
i conigli sono 49-x
le zampe in tutto sono 168
Bisogna usare i
principi di
equivalenza
Quindi basta
risolvere
l’equazione?
Dario, Federica e Marcello risolvono l’equazione
2·x+4·(49-x)=168
eseguiamo la moltiplicazione ed eliminiamo la
parentesi
2x+196 -4x=168
portiamo al secondo membro i termini senza
incognita (I Principio)
2x-4x=168-196
sommiamo i monomi simili
-2x=-28 moltiplichiamo per -1 in quanto il coefficiente della x è negativo (II
Principio)
2x=28
equazione in forma normale, dividiamo primo e secondo membro
per 2 (II Principio)
Per essere sicuri,
bisogna fare la
verifica!
Quindi la
soluzione è
x=14
Soluzione e verifica delle soluzioni del problema
Quanti sono i polli e
quanti i conigli?
I polli sono 14
I conigli sono
49-14=35
Le soluzioni trovate sono accettabili in quanto sono
numeri interi positivi. Verifichiamo le condizioni
richieste:
14+35 = 49
 gli animali sono in tutto 49
2·14+4·35 = 28+140 = 168 le zampe sono in tutto 188
Indovinello popolare
Un mattone pesa un
chilo più mezzo
mattone. Quanto pesa
un mattone?
Considera una bilancia a bracci uguali:
Mantieni la bilancia in equilibrioeffettuando le seguenti operazioni.
Poni un mattone su un piatto della bilancia e sull’altro piatto un peso da 1Kg e mezzo
mattone.
Togli mezzo mattone da ciascun piatto della bilancia. Mezzo mattone pesa?
Quindi il mattone pesa?
Bravi, ma vi ho aiutato,
provate a risolverlo con
le equazioni
Mezzo mattone
pesa
1 Kg
Quindi un
mattone pesa
2Kg
Abbiamo risolto il problema
senza usare le equazioni!
Si ottiene: x=x+1/2
Facendo il m.c.m.
Usando i principi di
equivalenza si ha:
2x-x=2
x=2
Indichiamo con x il
peso del mattone
Cioè un mattone
pesa 2 kg.
Bravi, adesso indicate con x il
peso di mezzo mattone cosa
ottenete?
Si ottiene: 2x=x+1
Usando i principi di
equivalenza si ha:
2x-x=1
x=1
Indichiamo con x il
peso di mezzo
mattone
Quindi un mattone
pesa
2 Kg (come avevamo già
Cioè mezzo
mattone pesa
1 kg.
trovato)
Bravi, come avete visto si può scegliere
l’incognita in modo diverso (“opportuno
“)ma il risultato non deve cambiare
La probabilità
Il disco della variabilità
 In questo percorso didattico, pensato per la terza classe della scuola secondaria
di primo grado, si vogliono consolidare i concetti base della matematica dell’
incerto ed ampliare la capacità di applicazione dei medesimi, a contesti tratti
dalla genetica che usualmente viene trattata nelle scienze. Dalla riflessione
sulla variabilità degli individui si sollecitano i ragazzi a svolgere una serie di
attività nelle quali si utilizzano facili modellizzazioni e strumenti di
rappresentazione diversi per fare considerazioni probabilistiche su situazioni
tratte dalla vita reale.
Abbiamo osservato la scheda ricevuta e dopo attenta lettura della legenda dei
simboli, partendo da centro del disco abbiamo colorato ognuno il proprio percorso
ed annotato, scegliendo per ogni disco concentrico le proprie caratteristiche.
Questa rappresentazione è stata usata molte volte a Scuola Città Pestalozzi, ma è di origine ignota, probabilmente è presa da qualche
vecchio libro di testo di scienze.
 Nel disco della variabilità secondo alcuni caratteri somatici del fenotipo, i simboli usati sono da leggere
come indicato sotto:
 T = capelli scuri t = capelli chiari
 E = pigmentazione dell‟occhio e = mancanza di pigmentazione
 (bruno, verde, nocciola) (azzurro)
 M = naso a narici larghe m = naso a narici strette
 L = lobi auricolari sporgenti l = lobi auricolari aderenti
 R = lingua arrotolabile r = lingua non arrotabile
 B = mento con fossetta b = mento senza fossetta
 H = capelli ricci h = capelli lisci
 Ci siamo trovati a dover decidere se il nostro fenotipo (insieme dei caratteri
manifesti) poteva essere rappresentato da uno o l’ altro dei simboli?
 Il tipo di rappresentazione richiede di rispondere ogni volta: il carattere è
presente oppure no, non si possono esprimere qualità intermedie.
 Quale modello matematico può essere adatto a rappresentare questa costruzione?
 Siamo di fronte ad una situazione che ha una natura binaria SI/NO, identica a
quella che si riscontra nel lancio di due monete.
 Se lanci due monete hai 4 possibilità TC,CT,TT,CC ossia 22
 Se lanci 3 monete hai 8 possibilità TCT, TCC, CTT,CTC, TTC,TTT,CCT,CCC ossia 23 (basta
aggiungere alle coppie precedenti ogni volta sia T sia C).
 Quante possibilità avremo con 4 monete? Abbiamo bisogno bisogno di scrivere tutto o
possimao fare subito il calcolo perché abbiamo scoperto la regola? Saranno proprio 24.
 Perché i numeri sulla circonferenza arrivano proprio a 128 considerato che i dischi
concentrici sono 7?
 Allora il modello per il nostro disco dei caratteri è appunto lo stesso del lancio di monete:
 27 =128
Grazie per l’attenzione!