Rivelatori interferometrici di onde gravitazionali Emanuele Pomante Università La Sapienza - Roma Gravitazione Sperimentale Prof. Fulvio Ricci Sommario Relatività generale e onde gravitazionali Interferometro Michelson Optical read-out noise Cavità di ricircolo e Fabry-Perot Acquisizione e controllo del punto di lavoro Sorgenti di rumore Prima di parlare di rivelatori è necessario spiegare cos’è un onda gravitazionale? Il punto di partenza è la teoria della relatività generale di Einstein… Equazione di Einstein G 8GT La presenza di materia-energia provoca variazioni nella geometria dello spazio-tempo la quale a sua volta determina le traiettorie di corpi in caduta libera L’equazione di Einstein è un equazione differenziale non lineare in genere non risolvibile analiticamente! Risolvibile se supponiamo di trovarci in un sistema di coordinate in cui la metrica sia quella di Minkowski con l’aggiunta di una piccola perturbazione…ciò equivale a dire che lo spazio-tempo in cui ci troviamo è “quasi piatto” Approx di campo debole g h con h 1 Trasformazioni di gauge Opportuni cambiamenti di coordinate permettono di semplificare l’equazione di Einstein linearizzata…senza variare la forma della metrica In particolare: Gauge di Lorentz h 16 T Equazione delle onde Nel vuoto T 0 la perturbazione della metrica si propaga come un onda alla velocità della luce c h Re A exp ik x Vettore d’onda k è un vettore nullo k k 0 Una qualunque soluzione può essere espressa come sovrapposizione di onde piane Ampiezza A Lorentz gauge... A k 0 è un tensore simmetrico le componenti indipendenti si riducono a 6 Gauge TT (Transverse-Traceless) • La perturbazione è diversa da zero solo sul piano perpendicolare alla direzione di propagazione (Transverse) • La matrice che rappresenta il tensore ampiezza è a traccia nulla (Traceless) • Le componenti indipendenti si riducono a due Per un onda che si propaga lungo l’asse z le componenti indipendenti sono 2 che rappresentano gli stati di polarizzazione dell’onda + × Effetti del passaggio di un onda su due corpi in caduta libera posti a distanza L La distanza propria tra due punti A e B dello spazio-tempo si esprime attraverso la metrica ds2 Al passaggio di un onda che si propaga lungo z con polarizzazione + Metrica g 1 h cos t z B L ds g dx dx 12 A Principio fisico su cui si basa la rivelazione delle onde h L 1 cost L 2 Il passaggio dell’onda induce una variazione nella distanza tra i due corpi proporzionale all’ampiezza dell’onda, se il periodo è molto maggiore dei tempi caratteristici del processo si ottiene L L h 2 Lo stesso risultato vale per un onda con polarizzazione × se si sposta il ragionamento sulle bisettrici del piano x-y Significato fisico dei due stati di polarizzazione di un onda gravitazionale Interferometro Michelson Misura della differenza di lunghezza dei bracci t 2 ct 2 L Lunghezza d’onda del laser La luce proveniente dai due bracci viene fatta interferire sul beam splitter…ciò che si misura in realtà è la differenza di fase tra i fasci Le masse sospese (gli specchi) si comportano davvero come masse libere? 1 F mht L 2 Ω ω0 =(k/m)1/2 Forza apparente (o di marea) Equazione del moto Frequenza dell’onda gravitazionale Frequenza di risonanza del pendolo Si! Se ω0 << Ω Infine supponendo: gwt t gw 1 h L L 2 4 hL Quale é l’ordine di grandezza del segnale che ci aspettiamo di misurare? Sistema binario composto da due stelle di neutroni: r ~ 10 Mpc h ≈ 10-21 É necessario: •amplificare il segnale •minimizzare il rumore segnale aspettato per L~1km ∆Фgw ≈ 10-11 rads Troppo piccolo per essere distinto dal rumore! Formalismo base di un Michelson Campi interni: Potenza in uscita: Potenza trasmessa all’uscita in dipendenza dello sfasamento Ф fra i fasci provenienti dai due bracci Ponendo Contrasto Beam-splitter Sfasamento 2r1r2 C 2 2 r1 r2 1 rbs tbs 2k L 2 Pout Pin 1 C cos 2 Formalismo base di un Michelson... Supponiamo che lo sfasamento sia il risultante della somma tra uno sfasamento statico, dovuto ad una asimmetria dei bracci, e lo sfasamento dovuto al passaggio dell’onda gravitazionale Approssimando al primo ordine troviamo per Pout 0 gw Pin Pout 1 C cos 0 Csen0gw 2 La variazione in potenza dovuta al passaggio di un onda sarà quindi: Obbiettivo: minimizzare il rapporto segnale-rumore Pin Pgw Csen0gw 2 S N Limiti sulla sensibilità del rivelatore: Optical read-out noise In termini della minima ampiezza d’onda rivelabile è la somma di due contributi la cui origine è legata alla natura corpuscolare della radiazione ~ h • shot f shot noise • hPR f ~ fluttuazione del numero di fotoni incidenti sul fotodiodo pressione di radiazione ~ ~2 ~2 hor f hshot hPR fluttuazione della pressione esercitata dalla luce sugli specchi Pin ~2 hPR Pin ~2 hshot La potenza non può essere aumentata indefinitamente, bisogna raggiungere un compromesso…si parla allora di Standard Quantum Limit quando le due componenti si equivalgono e il limite per h vale: Shot noise La potenza misurata da un fotodiodo è proporzionale al numero di fotoni incidenti N Poutt Segue una statistica poissoniana con varianza (N1/2) Fluttuazioni statistiche di N sul fotodiodo si traducono in fluttuazioni di potenza Pshot Pout t minimo nel limite Pout 0 Dark fringe In assenza di segnale gravitazionale la potenza in uscita deve essere nulla, trascurando le perdite tutta la potenza viene riflessa dall’ ITF verso il laser 0 Tenendo conto del rumore shot lo sfasamento minimo rivelabile è… Nota: abbiamo imposto S Pgw 1 N Pshot più la condizione di dark fringe …che in termini dell’ampiezza dell’onda diventa Aumentare la sensibilità significa: aumentare la potenza in ingresso Cavità di riciclaggio incrementare il cammino della luce Cavità Fabry-Perot Cavità Fabry-Perot FWHM Parametri cavità ottiche risonanti: Finesse: Free Spectral Range: Round Trip Number: F r1r2 FSR FWHM 1 r1r2 FSR N c 2L F 2 Detuning cavità-laser Tempo di storage Cavity cut-off: c 2 FWHM c 1 2 2 FL s I fotoni una volta entrati effettuano in media N rimbalzi prima di riuscire, restano quindi intrappolati nella cavità per un tempo s • Vantaggio: incremento del cammino della luce • Svantaggio: funziona solo se la luce è in risonanza con la cavità Interferometro più Fabry-Perot Ponendo nell’interferometro cavità FP al posto degli specchi terminali, se la cavità è in risonanza, la lunghezza equivalente dei bracci diventa: Il guadagno rispetto al caso di interferometro semplice è evidente: maggiore è la finesse più lo strumento diventa sensibile… Importante! La cavità si comporta come un filtro passa-basso Aumentare la finesse comporta anche un aumento del rumore, bisogna trovare il giusto compromesso tra finesse e lunghezza delle cavità Cavità di riciclaggio L’uso di uno specchio tra laser e BS permette di “riciclare” la luce riflessa dall’ ITF (dato che stiamo lavorando in dark fringe) Specchio di ricircolo e interferometro costituiscono una cavità risonante equivalente, alla risonanza la potenza in ingresso viene amplificata di un fattore Grec 1 Ltot Perdite dell’ ITF Funziona solo se la cavità è in risonanza Questa tecnica permette di aumentare la potenza in ingresso continuando ad usare laser che garantiscano i requisiti di stabilità… 20W 1kW Locking dell’ ITF L’uso di cavità risonanti se da un lato porta molti vantaggi dall’altro introduce ulteriori problematiche legate al fatto che le cavità funzionano solo quando sono in risonanza Poter usare un interferometro in maniera corretta significa acquisire e mantenere il cosiddetto punto di lavoro Punto di lavoro: stato in cui le distanze reciproche tra gli specchi permettono di lavorare in frangia scura e con le cavità in risonanza Mantenere il punto di lavoro vuol dire mantenere gli specchi ad una distanza reciproca predeterminata e con angoli fissati, ma ciò non è semplice in quanto gli specchi sono soggetti a spostamenti e disallineamenti continui È necessario un sistema di controllo Modulazione-demodulazione del segnale Il segnale proveniente dal laser viene modulato in fase da un modulatore elettro-ottico Si vuole tenere l’uscita dell’interferometro sulla frangia scura per la portante, mentre si vogliono trasmesse le bande laterali Il segnale di onda gravitazionale sarà rivelato dal battimento fra la portante modulata dal segnale gravitazionale e la banda laterale all’uscita dell’interferometro Portante Bande laterali Non è più il segnale diretto che viene campionato ma la fluttuazione di ampiezza del campo elettrico, risultato del battimento portante-bande laterali, alla frequenza di modulazione del segnale, si può spostare la misura a frequenze più alte Le lunghezze da fissare sono 4 (gradi di libertà dell’ ITF): • Dark Fringe set point l1 l2 • Differential Arm length L1 L2 • Power Recycling Cavity Length lr l1 l2 2 • Common Arm length L1 L2 Le bande laterali non risuonando nelle FP sono sensibili alle variazioni di lunghezza, ponendo dei fotodiodi dietro gli specchi è possibile quindi prelevare il segnale, confrontarlo con quello desiderato e applicare la correzione inviando il segnale di errore ad attuatori di posizione posti sugli specchi Sorgenti di rumore Fluttuazioni di potenza e frequenza del laser Rumore termico Rumore sismico Dominanti a basse frequenze Fluttuazioni di potenza e frequenza del laser Fluttuazioni di fase alla porta di uscita Detto Δφ lo spostamento della condizione di frangia scura, le fluttuazioni in potenza del laser determinano un rumore A bassa frequenza è difficile raggiungere le condizioni richieste per il controllo delle fluttuazioni del laser in frequenza e in potenza, e inoltre si è limitati dal rumore elettronico 1/f, si usa una tecnica di modulazione del fascio laser che sposti la misura ad alta frequenza e consenta l’estrazione dei segnali di errore L’intero sistema viene mantenuto in condizione di vuoto al fine di evitare: • variazioni dell’indice di rifrazione del mezzo attraversato • scattering del fascio di luce sulle particelle del mezzo Rumore termico Il “teorema di fluttuazione e dissipazione” afferma che le parti costitutive di un corpo in cui sono presenti forze dissipative (attriti interni, frizioni, etc.) è sottoposto a delle forze di natura stocastica proporzionali alla radice quadrata della temperatura Questo vuol dire che sia gli specchi che le sospensioni sono soggetti a vibrazioni (in quanto la loro temperatura è ben al di sopra dello zero termico) che si traducono in rumore Soluzione: • isolare termicamente le parti terminali delle cavità • scegliere per la costruzione di specchi e sospensioni materiali a basso Q Caratteristica del materiale Lo specchio può essere assimilato ad un pendolo di massa m immerso in un bagno termico Rumore sismico Il rumore sismico è presente continuamente dovunque sulla crosta terrestre. In parte è prodotto da fenomeni geologici continuamente attivi, come movimento della crosta, microterremoti, etc. In parte è prodotto dall’attività umana Diventa una delle principali cause di rumore a frequenze inferiori di 100hz Soluzione: Si usano catene di filtri e pendoli per sostenere gli specchi e smorzare le fluttuazioni A titolo d’esempio prendiamo i Superattenuatori sviluppati per il progetto VIRGO Virgo e curva di sensibilità aspettata Alla luce di quanto finora detto riportiamo il caso pratico dell’ esperimento Virgo LFP 3km Plaser 20W Lo strumento è stato progettato per la rivelazione di segnali di bassa frequenza (pulsar) da qui l’uso dei superattenuatori Curva di sensibilità e ampiezza dei diversi contributi Fine
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