TEMPO NECESSARIO: 1 h e 1/2
La Rivelazione di
Onde Gravitazionali
II
Contenuto della Lezione
Antenne interferometriche
Rivelazione Interferometrica di OG
L-DL
L+DL
t=0
t = T /4
Measure DL ~ 10-18 m
t = T/2
1
DL  hL
2
t = 3T /4
L ~ 103 m
Target h ~ 10-21
(NS/NS @15 Mpc)
t=T
Un semplice rivelatore
gw 
4

Lh
GW  10 -11 rad
Un semplice rivelatore
gw 
4

Lh
Molte sorgenti di rumore possono intervenire
nel limitare la sensinbilità richiesta
(Rumori di spostamento e di fase)
Un semplice rivelatore
Pout  Pin cos 2 (k x Lx - k y Ly )  Pin (1  2 cos(k x Lx - k y Ly ))
Massima variazione di Potenza al variare della differenza
di cammino ottico dei due bracci si ha a Pout = Pin/2
2
 dPout 

Pin


 dDL  Max 
Delay Lines o cavità Fabry-Perot per aumentare l’effetto
Delay-Lines possono essere utilizzate per
incrementare il cammino ottico della luce nei 2
bracci dell’interferometro.
S 
•Cavità Fabry-Perot
•Storage time
S 
LF
c
F
N
2
D 
4FhL
c
2 NL
c
Trattazione delle cavità FP (I)
 in  Kei
1  unknown
 2  e-ikl1
 3  ir2 2
 4  e-ikl 3
in
r
Mirror 1






Mirror 2
l

 1 
r1  r2e-2ikl
 r  ir1 in  t1 4  i

-2ikl in
1 r1r2e
t
3
4
Stata stazionario: 1  t1in  ir14
Onda Riflessa:
2
1
t1

-2ikl in
1 r1r2e
ir2 t1
4 

-2ikl in
1 r1r2e
t1t 2e-ikl

Onda Transmessa:  t  t 2 2 
-2ikl in
1 r1r2e
v7
Trattazione delle cavità FP (II)
Ampiezza dell’onda:
r1 r2  2r1r2 cos2kl
Ar 
2 2
1 r1 r2  2r1r2 cos2kl
2 2
 r  Ar
2
 t  At
2
2
2
se
1
At 
t1t 2
2 2
1 r1 r2  2r1r2 cos2kl

L  (2m 1)
4

L  m


r2 - r1
t1t2
Ar  min 
;At  MAX 
1- r1r2
1- r1r2
r2  r1
t1t 2
Ar  MAX 
;At  min 
1 r1r2
1 r1r2
The light resonates into the cavity if its phase is increased by exactly 2 each two reflections


v7
Trattazione delle cavità FP (III)
Main cavity features
Finesse:
 r1r2
FSR
F

FWHM 1- r1r2
Free Spectral Range:
where
c
FSR 
2L
full width @ half max
Round trip number:
note


F
N
2
Storage time
FWHM
c
1
Cavity cut-off:   2


c
2
2FL  s


Recycling factor : FI 

3;L(2m 1)
 in

4
t12

(1- r1r2 ) 2
v7
Trattazione delle cavità FP (IV)
Lunghezza Ottica della cavità
(si noti che dipende dalla frequenza)
2
1
Lopt  FL
 1 ( / c )2
In un interferometro con cavità FP il rumore originariamente a
spettro bianco nel sistema (ad esempio lo shot noise) risulta

deformato e dipende dalla frequenza
di cut-off c.
FP-+Michelson ITF
Il formalismo per calcolare il campo e.m. d’uscita del Michelson+FP è analogo a
quello usato nel caso del Michelson semplice, in cui però la riflettività degli specchi
è stata sostituita con quella delle cavità FP:
r1  A
(1)
r
r2  A
(2)
r
(exercise!)
v7
FP+Michelson ITF, amplificazione del segnale
( sintesi)
d r
2F
 -2k
dL

•Cavità Fabry-Perot : amplifica la trasduzione lunghezza -fase
•Finesse alta  d/dL più grande
•Aspetto negativo: linterferometro funziona
solo se le FP sono

in risonanza
v7
Cos’è il rumore
Il rumore si manifesta nella variazione casuale di grandezze fisiche
Non esiste una legge oraria che lo determini  Caratterizzabile solo attraverso variabili statistiche
Un processo si dice STAZIONARIO se la misura delle sue proprietà statistiche
è indipendente dall’epoca in cui essa viene effettuata.
x
Media
S x ( f )  lim T 
Varianza
2
2
XT ( f )
T
 ( x-  x ) 2 
Densità Spettrale
Lineare [X Hz-1/2]
Potenza Spettrale
[X2 Hz-1]
T /2
1
Cx (t )  X (t )  X (t   )  lim T 
X (t )  X (t   )dt
T -T/ 2

 x 2   S x ( f )df
0
Auto Correlazione

S x ( f )   Cx ( ) cos( 2f  )d
0
Lo Shot-Noise
N
Pin Pin

2  4 c
Numero di fotoni al fotodiodo in un tempo 

N
1
4c


N
Pin
N
La fluttuazione di potenza si manifesta come un errore
sulla misura del segnale

4 c 

1
 c


 h   h 
N

Pin 4Lh h
L 4  Pin 
N
•Shot-Noise
L’interferometro riciclato
SPECIFICHE
•1) Si usano laser ad alta potenza (20 W)
•2) La luce viene “ricircolata” nell’interferometro per aumentare la potenza del fascio
20 W  1 kW
Fluttuazioni della pressione di radiazione
Si riduce lo Shot-Noise ma si incrementano le fluttuazioni della
pressione di Radiazione sugli specchi
hrp 
~
~ 2
~2
h ( f )  hshot ( f )  hrp ( f )
Popt  cmf 2
Potenza ottimale alla frequenza f
I bracci devono essere lunghi
in ogni caso
2  P
m 2 L
c
2
F  P/c
~
1

hQL ( f ) 
fL M
Quantum Limit
Std readout: meter/mechanics: back-action
 x˜ RP
1
P˜shot

2
M  2 c
2
1
˜h
meter 
LFP
M = massa sospesa dello specchio;
310
c shot
c RP
2

F
P
2
2 2
F P (M )
cshot  cshot (const shot );cRP  cRP (const RP )
F e P non possono crescere
senza indurre un’azione

meccanica
-21
Densità spettrale di rumore di spostamento
dovuto alla Pressione di Radiazione sugli
specchi sospesi
M può esser scelto in modo
da ridurre l’effetto
/ Hz @10Hz  h˜TN  h˜meter
SQL è oggi ancora lontano
ma, se si riesce ad alzare P ed il
tuning
thermal noise è basso come è possibile ottimizzare…
F,P,L,m
thermal
noise
v8
Quantum Limit
Quantum Limit
Quantum Limit
Rumore Sismico
•Specchi sospesi
•Uso di multipendoli
•Abbassare le frequenze caratteristiche
•Realizzare un isolamento su 6 d.o.f.
Rumore Termico
Teorema di fluttuazione e dissipazione:
~
F 2 ( f )  4k BT ( f )
•Rumore Termico: specchi, fili, penduli
•Possibile cura: redurre le dissipazioni o
raffreddare gli specchi sospesi
Rumore indotto dalle fluttuazioni
in frequenza del laser
D  kDL 
laserDL
c
~
  kDL 
~laserDL
c
PRECAUZIONI
•1) Tecniche per rendere stabile la frequenza del laser
•2) Si cerca di rendere il cammino ottico della luce il più uguale possibile (metri)
Abbiamo tutti gli ingredienti per comprendere le ragioni
del disegno di un’antenna interferometrica
Schema di un’antenna interferometrica
bassa dissipazione
Isolamento Sismico
Fabry-Perot
Recycling
Vuoto
Stabilità di Frequenza
Virgo Diagram
Ref.Cav. Common mode
Freq. Stab.
Freq. Stab.
0-2Hz
2-10000Hz
-4
1/2
Δυ=10 Hz
Δυ=10-6Hz1/2
F=30
Angular
Alignment
Matrix
Laser
F=30
La sensibilità di un’antenna
Il Network di antenne interferometriche
600 m
3 km
TAMA
4 & 2 km
300 m
AIGO
Materiale Didattico
Testi utile
P.R.Saulson: Fundamentals of Interferometric Gravitational Wave Detection (Cap.5,6,7).
D.G.Blair: The detection of gravitational waves (1992)
G Pizzella: Fisica sperimentale del campo gravitazionale, La Nuova Italia scientifica (1993)
TESINE POSSIBILI
a)Rassegna sui segnali gravitazionali attesi in relazione alle sensibilità degli apparati
b) Tesina sulla descrizione dell’effetto nei vari sistemi di riferimento
Sintesi della lezione
1) La derivazione formale delle OG nell’ambito di RG)
2) Discussione critica degli ordini di grandezza in gioco
3) rassegna della sorgenti di OG (senza entrare in complicati dettagli astrofisici)
4) Il principio di funzionamento dei rivelatori
Assegnazione Tesine
1) Bilancia di Torsione (Dicke-Brajinsy)
2) Test della legge Quadratica Inversa: Rassegne su una o più tecniche
3) Esperimenti di Quinta Forza
4) Misure della costante della Gravitazione Universale
5) Le verifiche della LLI (e, più in generale, della Relatività Speciale)
(http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/experiments.html)
6) Le verifiche della LPI
7) I 3 test standard della Relatività Generale: problematiche sperimentali e limiti sui PPN
8) Approfondire il quadro Generale sui limiti per i vari parametri post-Newtoniani
9) L’Esperimento di Pound-Rebka: tecnica e significati
10) Rassegna sui segnali gravitazionali attesi in relazione alle sensibilità degli apparati
11) Tesina sulla descrizione dell’effetto nei vari sistemi di riferimento
12) La misura sulla Pulsar 1913 + 16
13) Rassegna sulle sorgenti di OG e sulle possibilità di rivelazione
14) I rivelatori a barra
15) I Rivelatori interferometrici di OG (anche un problema specifico)
16) L’esperimento LISA