Convertitori A/D
• Argomento: Spettro di un segnale
• Obiettivo:
comprensione
del
concetto di spettro;
• Prerequisiti
culturali:
funzioni,
funzioni trigonometriche
• Ausili didattici allo svolgimento
della
lezione:
SW
per
il
tracciamento di grafici e per il
calcolo dello spettro(Matlab!).
Convertitori A/D
Spesso la grandezza oggetto di misura, e il
segnale corrispondente sono funzioni del
tempo e in accordo con la particolare
funzione in esame sarà necessario ricorrere
a strumenti diversi.
La prima classificazione possibile è tra:
•grandezze deterministiche;
•grandezze aleatorie.
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Convertitori A/D
Una
grandezza
deterministica
sarà
descrivibile
mediante
una
funzione
analitica (e sono prevedibili)…
Quali esempi????
Il tracciato viene stampato su carta
millimetrata. Il quadratino piccolo della
carta ha 1 mm lato, equivale sul lato
verticale a 0,1 mV, sul lato orizzontale a
0,04 s.
in poche parole, verticalmente si
misurano l’ampiezza delle onde in
millivolt, mentre orizzontalmente si misura
la lunghezza dei tratti e delle onde
espressa in secondi. Questi parametri
3
sono importanti dal punto di vista
diagnostico.
Convertitori A/D
Una grandezza aleatoria non gode di tale
proprietà (e possono essere descritti
soltanto in termini statistici)
Esempio?????
y(t )  ?
4
Convertitori A/D
Le grandezze deterministiche
essere a loro volta classifiate in:
possono
•periodiche.
•transitorie.
Una grandezza periodica assume lo stesso
valore dopo un intervallo di tempo
costante T (periodo).
y(t )  yt  kT 
La forma più semplice di grandezza
periodica è una grandezza sinusoidale
y(t )  YM sin t 
  2f
Come
possiamo
accertarci che i nostri
ragazzi conoscano il
significato di ampiezza
e frequenza?
5
Convertitori A/D
Anche un ECG è una grandezza periodica
(non sinusoidale)…
…e qualsiasi grandezza periodica può
essere scomposta in serie di funzioni
sinusoidali, generando la serie di Fourier (o
spettro del segnale)…
In Matlab esiste un comando ecg…..
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Convertitori A/D
In realtà l’ECG è una grandezza
approssimativamente periodica a causa
di singolarità del paziente e del contributo
del sistema di misura….
Le oscillazioni indicate sono degli
artefatti prodotti dalla corrente elettrica
del tuo elettrocardiografo (scarsa o
pessima presa a terra) o ancora da fini
tremori
muscolari,
o
ancora,
l'elettrocardiografo o meglio i cavi degli
elettrodi non funzionano bene.
7
Convertitori A/D
Ma anche in questo caso è possibile
stimare uno spettro ….
8
Convertitori A/D
Le grandezze che non sono periodiche
nè costanti vengono dette transitori e i
rispettivi spettri
9
Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• Argomento:
Alias
e
quantizzazione
• Obiettivo:
comprensione
del
concetto di alias e stima della
frequenza di campionamento,
stima dell’errore di quantizzazione
• Prerequisiti culturali: banda si un
segnale (cfr spettro), sistemi di
numerazione, calcolo binario
• Ausili didattici allo svolgimento
della
lezione:
SW
per
il
tracciamento di grafici e per il
calcolo dello spettro(Matlab!).
Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• La discretizzazione dei segnali
La trasformazione di un segnale continuo nel dominio
del tempo e dell’ampiezza in una sequenza di parole,
formate da un numero finito di cifre, richiede una
discretizzazione, sia nel dominio del tempo, sia nel
dominio dell’ampiezza, noti rispettivamente come:
•campionamento
•quantizzazione.
L’intero processo è noto col nome di conversione
analogico-digitale (A/D conversion).
I dispositivi che effettuano la conversione sono noti
come
Convertitori
Analogico
Digitale
(A/D
Converters).
Esempio!
Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• La discretizzazione dei segnali
L’uscita
di
un
campionatore
può
essere
rappresentata come una serie di parole, i cui
elementi coincidono con i valori assunti dal segnale
tempo-continuo in istanti multipli del tempo di
campionamento
f(t)
T
{f(nT)}
???????
T
Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• La discretizzazione dei segnali
Il teorema del campionamento ci assicura che se
sono soddisfatte alcune ipotesi, il processo di
discretizzazione nel dominio del tempo, non produce
alcuna perdita d’informazione:
Sia f(t) un segnale con trasformata di Fourier F(), tale
che F()=0 per ||> c. Si ha, allora:
f t  

f nT 
 s  2c ;
sin c t  nT 
c t  nT 
T  2 /  s
Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• La discretizzazione dei segnali
Attenzione!!!!
Se la condizione s> 2c non viene rispettata le
ripetizioni dello spettro del segnale originario si
sovrappongono e si incappa nel fenomeno
dell’alias. In tali condizioni non è più possibile
ricostruire
il
segnale
originario
attraverso
un’operazione di filtraggio.
Ci soddisfa questo
grafico?
Come
14
possiamo migliorarlo?
Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• La discretizzazione dei segnali
Il Teorema del Campionamento è tutto qui, ma
dobbiamo farlo capire alla classe usando la
sola formula che conoscono….
f t  

f nT 
 s  2c ;
sin c t  nT 
c t  nT 
T  2 /  s
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Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• La discretizzazione dei segnali
La
formula
introdotta
nel
teorema
del
campionamento è nota come serie cardinale e la
funzione:
sin  c t
g t  
 ct
è detta mantenitore cardinale e la pulsazione c=s/2
è nota in letteratura come frequenza di Nyquist..
Un mantenitore cardinale è un filtro non fisicamente
realizzabile. Esso può essere soltanto approssimato.
Per questo motivo:
•Si utilizza una frequenza di campionamento
superiore a quella prevista dal teorema di Shannon
(tipicamente 10 volte);
•Si utilizzano dei filtri ricostruttori o mantenitori.
Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• La discretizzazione dei segnali
Il ricostruttore di ordine zero
E’ il filtro ricostruttore più comune ed è noto anche
come sample-and-hold o mantenitore di ordine zero.
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Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• La discretizzazione dei segnali
Quantizzazione dell’ampiezza è un processo
associato sempre ad una perdita d’informazione.
Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• La discretizzazione dei segnali
La quantizzazione è l’operazione di rappresentazione
di una grandezza, i cui valori sono contenuti in un
dato intervallo, utilizzando un numero finito di simboli,
organizzati in parole (mediante un opportuno
codice).
Adottando una codifica binaria uniforme con B bit,
possono essere generate solamente 2B valori,
equispaziati del passo di quantizzazione Q.
Convertitori
A/D
Parte I (Conversione
D/A e A/D)
• La discretizzazione dei segnali
E nasce un errore di quantizzazione….possiamo
capire con la classe com’è fatto tale errore
E l’errore di quantizzazione?
Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
I convertitori D/A (Digital to Analog Converters)
rappresentano un’interfaccia tra i segnali digitali del
mondo dei computer e il mondo analogico.
Un D/A accatta come ingresso un segnale digitale e
fornisce un’uscita (in tensione o in corrente a seconda
della tecnologia utilizzata e dell’applicazione
prevista) dipendente dall’ingresso fornito, secondo la
relazione:


Vo  K VFS a1 2 1  a2 2 2  ...  an 2  n  VOS
a1,…an
VREF
DAC
Vo
Essendo:
•Vo la tensione d’uscita;
•K il guadagno (tipicamente è K=1);
•a1,…,an la parola digitale da convertire;
•Vos la tensione di offset (tipicamente è
V =0)
Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
I convertitori D/A sono caratterizzati mediante
caratteristiche statiche e caratteristiche dinamiche.
Le caratteristiche statiche più importanti sono:
•La risoluzione ;
•La curva caratteristica ;
•L’errore di linerità;
•L’errore di monotonicità;
•L’accuratezza;
•La stabilità.
Le caratteristiche dinamiche più importanti sono:
•Il settling time;
•Il fenomeno del glitching.
Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
La risoluzione
La risoluzione di un convertitore è pari alla minima
variazione del segnale d’uscita che il dispositivo può
generare. Essa è pari a 1 LSB (Least Significant Bit) ed
è legata alla tensione di fondo scala e al numero di
bit (parallelismo del convertitore) dalla relazione:
VLSB=VFS/2n
1 LSB= 1/2n
se si tratta di un dispositivo unipolare
VLSB=VFS/2n-1
1 LSB= 1/2n-1
Nel caso di un dispositivo bipolare
Valori tipici di risoluzione vanno da 8 a 16 bit.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
La risoluzione
ESEMPIO: Un convertitore AD ad 8 bit ha una
tensione di riferimento pari a 5V.
•La tensione corrispondente alla parola
10110100 è:
Vref*(2-1+2-3+2-4+26)=Vref*(1/2+1/8+1/32+1/64)=3.5156V
•Il LSB vale:
1LSB=1/2-8=1/256
VLSB=5/256=19.5 mV
NB: espressioni equivalenti per l’espressione
della risoluzione sono:
•8 bit di risoluzione,
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•0.4% del fondo scala,
•1 parte su 256.
Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
La curva caratteristica
La curva caratteristica di un DA rappresenta il legame
esistente tra i codici in ingresso e i valori forniti in
uscita (tensione o corrente in accordo con la
tecnologia utilizzata)
VOS  0;
K  1.
Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
La curva caratteristica
Vengono definiti gli errori (in LSB) di:
•Offset
•Guadagno
EOS 
VOUT
VLSB
;
0... 0
con errore di offset annullato
V
EK   OUT
 VLSB


1... 1
VOUT
VLSB

  2 N 1 

0... 0 
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NB: Le case costruttrici suggeriscono i circuiti da
utilizzare per eliminare tali cause di errore!
Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
La curva caratteristica
Finora si è fatta l’ipotesi che nel passaggio da una
parola alla successiva la variazione della tensione in
uscita sia sempre costante e pari a 1 LSB e che quindi
la curva caratteristica sia una retta. Nei dispositivi
reali, a causa di imperfezioni circuitali, i valori di
tensione in uscita non si trovano su una retta.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
La curva caratteristica
Dopo aver corretto l’errore di guadagno e di offset la
curva (retta) caratteristica viene determinata
attraverso un processo di approssimazione.
•Least-square fit
Utilizza il metodo dei minimi quadrati per determinare
la retta che approssima le uscite del DAC;
•Zero-base method
Determina la curva caratteristica imponendo il
passaggio per il primo punto e determinando il
guadagno minimizzando il valore assoluto dell’errore
massimo.
•Terminal-point method
Approssima la curva caratteristica con la retta che
passa per il primo e l’ultimo valore in uscita dal DAC.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
La linearità
L’errore di linearità indica lo scarto tra l’uscita reale di
un DAC e il corrispondete valore stimato utilizzando la
curva caratteristica. Vengono definite:
•L’integral nonlinearity error (INL)
è dato dal massimo scostamento dalla curva
interpolante (ottenuta con uno qualsiasi dei metodi
precedentemente introdotti);
•Il’differential nonlinearity error (DNL)
è dato, per ogni codice, dalla differenza tra la
variazione effettiva del segnale e la variazione
prevista di 1LSB;
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
La linearità
L’errore di linearità viene espresso in frazioni del LSB o
in percentuale del valore di fondo scala.
•La monotonicità
Quando si incrementa di uno l’ingresso di un
DAC ci si aspetta che anche l’uscita cresca.
Se ciò non accade si ha un errore di
monotonicità. Un DAC non monotono ha un
errore DNL superiore a 1LSB.
NB: Un buon DAC dovrebbe avere un errore
30
di linearità inferiore a 0.5 LSB e non
presentare errore di monotonicità.
Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
L’accuratezza
Vengono spesso indicate:
•L’absolute accuracy
E’ lo scarto massimo tra l’uscita ideale
prevista e l’uscita reale del DAC (incluso
l’errore di guadagno e di offset)
•Relative accuracy
E’ lo scarto massimo tra l’uscita ideale
prevista e l’uscita reale del DAC (dopo la
correzione dell’errore di guadagno e di
offset e quindi coincide con l’INL).
NB: L’accuratezza non va confusa con la risoluzione.
Un DAC può avere, ad esempio, una risoluzione di 12
bit e un’accuratezza di soli 10 bit. Un buon DAC
dovrebbe garantire un’accuratezza migliore della
risoluzione.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
La Stabilità
Misura la dipendenza dei parametri
caratteristici
del
dispositivo
dalla
temperatura, dal tempo etc.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
Il Settling time
E’ il tempo impiegato dall’uscita di un DAC a
portarsi in prossimità del valore finale (in
genere 0.5 LSB), dopo un cambiamento di
codice.
Il glitching
Quando il DAC riceve un nuovo codice, è
necessario che alcuni interruttori si chiudano
e altri si aprano. Se i tempi richiesti da queste
operazioni sono diversi si generano in uscita
dei transitori di entità molto elevata.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
Esistono due principali famiglie di convertitori DA:
•Convertitori in tecnologia MOS
Sfruttano le eccellenti proprietà dei MOS come
interruttori di tensione;
•Convertitori in tecnologia bipolare
Utilizzano transistor BJT per la realizzazione di specchi
di corrente.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
Il convertitore a resistenze pesate utilizza una rete di
resistenze, i cui valori crescono come potenze
successive di due, per realizzare i diversi bit della
parola da convertire.
2nR
4R 2R
+
R
-Vr
Il convertitore a resistenze pesate è un dispositivo
molto semplice. Esso tuttavia non è adatto alla
realizzazione di sistemi in tecnologia IC per il consumo
eccessivo di area di silicio dovuto alla realizzazione
della rete di resistenze.
Questo schema viene utilizzato soltanto per realizzare
convertitori discreti e a bassa risoluzione.
Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
Il convertitore a rete R/2R utilizza, per realizzare i diversi
bit della parola da convertire, una rete di resistenze
caratterizzati soltanto da due diversi valori.
+
-Vr
Tipicamente il valore di R varia nell’intervallo 2.5kW10kW.
Con questa tecnologia vengono spesso realizzati
dispositivi monolitici a a levata risoluzione.
Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
Entrambi i convertitori descritti producono un errore
dovuto alla corrente che attraversa la resistenza
equivalente del generatore di riferimento.
Ad esempio nella figura riportata il riferimento di
tensione presenta una resistenza interna pari a 200W.
Ciò causa un errore del DAC che dipende dal codice
in ingresso.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
Il problema dell’errore indotto dai fenomeni di
riscaldamento e di variazione della tensione di
riferimento viene risolto utilizzando la struttura a rete
R-2R invertita:
In questo caso:
•La corrente che attraversa la rete di resistenze è
costante;
•I dati in ingresso deviano la corrente a massa, o
all’ingresso del convertitore corrente tensione
(anch’esso al potenziale di massa grazie al principio
della massa virtuale).
NB: ai due terminali dell’op-amp sono disponibili valori
complementari di corrente.
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Questa è la struttura più comunemente utilizzata per la
realizzazione di DAC in IC, specialmente in tecnologia CMOS
Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
I convertitori DA in tecnologia bipolare sfruttano la
possibilità di realizzare i BJT per realizzare pozzi di
corrente opportunamente commutati.
La pesatura delle correnti può essere ottenuta, in
linea di principio utilizzando transistor matched.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
L’intero DAC assume allora la forma:
…ed esistono strutture per limitare il range di
variazione delle aree dei transistor e/o dei valori di
resistenza richiesti.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
Sono stati realizzati anche DAC che utilizzando dei
capacitori, sia secondo la struttura a capacità
pesate, sia a rete C-2C:
Realizzando strutture con consumi estremamente
ridotti.
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Parte I (Conversione D/A e A/D)
• La conversione D/A
Una rete di resistenze tutte uguali e una rete di
decodifica permette di
realizzare un DAC
rigorosamente monotono:
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