UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale
Prof. Francesco Castellani
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TRASFORMATA DI LAPLACE
Operatore lineare che permette di passare dal problema
differenziale a quello algebrico tramite la trasformazione
delle equazioni dal dominio reale del tempo t al dominio
complesso delle frequenze s.
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TRASFORMATA DI LAPLACE
Se f(t) è una funzione a valore unico per t>0 ed F(σ) è
assolutamente convergente per un qualsiasi valore σ0>0,
allora:
esiste la trasformata di f(t) per ogni s con parte reale
maggiore di σ0.
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TRASFORMATA INVERSA
Definita per tornare nel dominio del tempo (per t>0) dopo
aver risolto algebricamente le equazioni differenziali.
dove
e
e c>σ0.
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PROPRIETA’ DELLA TRASFORMATA
La trasformata di Laplace è lineare
La trasformata inversa di Laplace è lineare
La trasformata della derivata di f(t) è:
La trasformata dell’integrale è:
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PROPRIETA’ DELLA TRASFORMATA
Teorema del Valore iniziale
Teorema del Valore finale
Scaling nel tempo
Scaling nel tempo per la trasformata inversa:
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PROPRIETA’ DELLA TRASFORMATA
Delay nel tempo
Traslazione complessa
Trasformata del prodotto di due funzioni (integrale complesso di convoluzione)
Trasformata inversa del prodotto di due trasformate (integrale di convoluzione)
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CALCOLO ANALITICO DELLA FUNZIONE DI
TRASFERIMENTO DI UN SERVO-ATTUATORE IDRAULICO
Ipotesi:
•Il distributore è simmetrico
•L’asta del distributore è ideale con movimento perfettamente
lineare.
•Le tolleranze radiali ed i trafilamenti sono nulli
•La pressione del circuito di ritorno è nulla
•Le aree di passaggio sono proporzionali all’apertura x del
distributore
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CALCOLO ANALITICO DELLA FUNZIONE DI
TRASFERIMENTO DI UN SERVO-ATTUATORE IDRAULICO
Ipotesi:
•Il pistone inizialmente si trova a metà del cilindro
•La forza di carico FL è linearmente proporzionale allo
spostamento del pistone e la pressione di carico PL è definita
come segue:
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ESPRESSIONE DELLE PORTATE
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ESPRESSIONE LINEARIZZATA DELLA PORTATA IN PROSSIMITA’ DI
UN PUNTO DI FUNZIONAMENTO A REGIME STAZIONARIO
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EQUAZIONE DI CONTINUITA’
Per spostamenti piccoli il volume spazzato è trascurabile per
cui avremo
e sottraendo membro a membro:
volume olio nel cilindro
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EQUAZIONE DI MOTO DEL PISTONE
dove
è il carico supposto linearmente proporzionale allo
spostamento ed fv è un coefficiente con il quale si tiene conto
dell’attrito.
Andando ad implementare un modello matematico lineare in
prossimità di una condizione di funzionamento in regime
stazionario è possibile scrivere:
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EQUAZIONI DEL SISTEMA
1. equazione di moto
2. portata
3. equazione di continuità
4. retroazione
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Dall’equazione nr. 1 si ha:
E quindi la nr. 2 diventa:
Utilizzando la nr. 4:
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Sostituendo le espressioni ottenute di Q e PL nella nr. 3 si ha:
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Nel nostro caso specifico f(0)=0 per cui:
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Andando ad eseguire la trasformata di Laplace:
FUNZIONE DI
TRASFERIMENTO
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ATTUATORI CONTROLLATI DIRETTAMENTE DA VALVOLE
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ATTUATORI CONTROLLATI DIRETTAMENTE DA VALVOLE
Ipotesi:
•Il distributore è simmetrico
•L’asta del distributore è ideale con movimento perfettamente
lineare.
•Le tolleranze radiali ed i trafilamenti sono nulli
•La pressione del circuito di ritorno è nulla
•Le aree di passaggio sono proporzionali all’apertura x del
distributore
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ANALISI DELLE PORTATE
La portata di “carico” è:
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ANALISI ADIMENSIONALE
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ANALISI DELLA POTENZA
Calcolo della potenza massima:
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ANALISI ADIMENSIONALE
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