“Analisi di dati categoriali”
Corso di Laurea in Sociologia
Facoltà di Sociologia
Università Milano-Bicocca
Ottobre 2009
Simone Sarti
I modelli log-lineari
I modelli log-lineari rappresentano un
approccio complementare e compatto al
problema dell’analisi multivariata delle variabili
categoriali
Obiettivo: esprimere la struttura della
tabella di contingenza a più vie con un
numero limitato di parametri
Il modello si configura come una descrizione
plausibile e parsimoniosa della realtà
2
Il modello moltiplicativo
tavola 2x2
B DESTINAZIONE
BOR CMI tot
A ORIGINEBOR
47
53 100
CMI
44 137 181
tot
91 190 281
Le frequenze possono essere espresse come funzione
moltiplicativa di quattro parametri
Fij    iA  Bj  ijAB
 effetto generale, effetto numerosità
iA effetto marginale della variabile A
jB effetto marginale della variabile B
ijAB effetto interazione fra le var A e B
L’assenza di un effetto si avrà quando il parametro indicante
quell’effetto assume valore 1
3
Esempio
B
A
DESTINAZIONE
BOR CMI
ORIGINE BOR
47
53
CMI
44 137
tot
91 190
Tab. contingenza 2 x 2
di mobilità
intergenerazionale
tot
100
181
281
Fij    iA  Bj  ijAB
BOR
CMI
BOR
F11    1A  1B  11AB
F12    1A  2B  12AB
CMI
A
B
AB
F21    2A  1B  21AB F22    2  2  22
4 equazioni per 9
incognite!
Occorre introdurre
dei vincoli !
4
La parametrizzazione di Goodman
nel caso di 2 variabili dicotomiche
Il prodotto dei parametri relativi alle stesse variabili deve essere uguale
iA =1

jB =1

ijAB =1
Svolgendo le produttorie ne deriva:
1A 2A =1
1B 2B =1
ossia
ossia
1A=1/2A
1B=1/2B
11AB =22AB = 1/12AB=1/ 21AB
5
BOR
CMI
BOR
F11    1A  1B  11AB
CMI
F21   
1
1
1
 11AB
B



1
A
F12    1A 
F22   
1

1
 1B  11AB
1

A
1
 1  1B
 11AB
Parametrizzazione di Goodman

 1A
 1B  11AB
Fij
4 incognite
per 4 valori osservati
6
Calcolo dell’effetto numerosità
B
A
DESTINAZIONE
BOR CMI
ORIGINE BOR
47
53
CMI
44 137
tot
91 190

Frequenze osservate
tot
100
181
281
F11
F12
F21
F22
  4 F11  F12  F21  F22   4 47  53  44 137  62,25
Media geometrica delle frequenze di cella.
Cattura l’effetto dovuto alla numerosità dei casi.
7
Calcolo dell’effetto marginale di A
B
A
DESTINAZIONE
BOR CMI
ORIGINE BOR
47
53
CMI
44 137
tot
91 190

A
1
Frequenze osservate
tot
100
181
281
F11
F12
F21
F22
  4 F11  F12 F21  F22   4 47  53 / 44 137  0,80
A
1
E’ la radice quarta dell’effetto marginale di A. Se minore di 1 le
chance di avere origini borghesi sono minori di quelle di essere CMI.
8
Calcolo dell’effetto marginale di B
Frequenze osservate
B
A
DESTINAZIONE
BOR CMI
ORIGINE BOR
47
53
CMI
44 137
tot
91 190

B
1
tot
100
181
281
F11
F12
F21
F22
  4 F11  F21 F12  F22   4 47  44 / 53 137  0,73
B
1
E’ la radice quarta dell’effetto marginale di B. Se minore di 1 le chance di
avere destinazione borghese sono minori di quelle di essere CMI.
9
Calcolo dell’effetto interazione
B
A
DESTINAZIONE
BOR CMI
ORIGINE BOR
47
53
CMI
44 137
tot
91 190

AB
11
Frequenze osservate
tot
100
181
281
F11
F12
F21
F22
11AB  4 F11  F22 F21  F12   4 47 137 / 53  44  1,28
E’ la radice quarta dell’odds ratio, che misura l’associazione tra le due
variabili A/B. Se maggiore di 1, i soggetti di origine borghese (piuttosto
che CMI) hanno più chance di diventare borghesi (piuttosto che CMI).
10
B
Calcolo degli effetti


A
1

B
1

A
AB
11
DESTINAZIONE
BOR CMI
ORIGINE BOR
47
53
CMI
44 137
tot
91 190
  4 F11  F12  F21  F22   4 47  53  44 137  62,25
1A  4 F11  F12 F21  F22   4 47  53 / 44 137  0,80
1B  4 F11  F21 F12  F22   4 47  44 / 53 137  0,73
11AB  4 F11  F22 F21  F12   4 47 137 / 53  44  1,28
   1,28
ODDSRATIO  
AB 4
11
4
 2,76
11
tot
100
181
281
Ricostruzione delle frequenze. Le frequenze ricostruite
(attese) sono uguali a quelle osservate nella tabella.
Fij     
A
i
B
j
AB
ij
F11    1A  1B  11AB  47
F12    
A
1
F21   
F22   
1

A
1
1
1

B
1

 

A
B
1
1
 1  1B
1

AB
11
1

AB
11
 53
 44
 11AB  137
12
 
A
1

B
1

AB
11
L’uso di pochi parametri
(che costituiscono il modello dei dati osservati)
ci permette di interpretare gli effetti, ma
anche di testare delle ipotesi.
VEROSIMIGLIANZA E PARSIMONIA
13
Note conclusive modello moltiplicativo
Il parametro
11AB  4 F11  F22 F21  F12   4 47 137 / 53  44  1,28
(e dove 1,284=2,76 è l’odds ratio)
1,28 è l’effetto interazione o associazione tra A e B e quindi
evidenzia la forza dell’associazione tra le variabili
La forza della relazione è tanto maggiore quanto più ci
allontaniamo da 1.
La relazione è positiva se il valore del parametro è superiore ad
1, mentre è negativa se il valore è inferiore ad 1.
14
Modelli insaturi
Fij= iAjBijAB  modello saturo
Fij= iAjB  modello insaturo, assumiamo che tra la var.A e
la var.B ci sia indipendenza, dunque poniamo l’effetto
interazione (ijAB) pari a 1.
Fij= iA modello insaturo, la struttura si semplifica
ulteriormente. Fissiamo l’effetto marginale della variabile B pari
a1
Fij=   modello insaturo, la struttura si semplifica
ulteriormente. Assumiamo che i casi siano distribuiti in modo
uniforme in tutte le celle.
15
Il modello additivo Tavola 2x2
Attraverso il logaritmo le frequenze possono essere espresse come
funzione additiva ossia come somma dei quattro parametri.
L’equazione log-lineare può essere considerata come un’equazione di
regressione nella quale l’unità di analisi non sono gli individui bensì le
celle (la var. dipendente è rappresentata dal logaritmo della
frequenza di cella) (Corbetta 1992)
Fij    iA  Bj  ijAB
ln Fij  ln   ln  iA  ln  Bj  ln  ijAB
ln Fij        
A
i
B
j
AB
ij
16
La parametrizzazione di Goodman nel caso di 2
variabili dicotomiche nel modello additivo
La somma dei parametri lambda delle varie categorie di una stessa
variabile deve essere uguale a zero.
iA =0
jB =0
i jijAB =0
Svolgendo le sommatorie ne deriva
2A = - 1A
2B = - 1B
22AB = 11AB = - 12AB = - 21AB
Tale parametrizzazione, introducendo vincoli sui parametri, serve per
identificare il modello: in altre parole, abbiamo 4 equazioni e 9 parametri
da stimare a partire dalle quattro celle di frequenze.
Con tale parametrizzazione le 4 frequenze di cella di una tavola 2x2 possono
essere ottenute combinando 4 parametri
17
Calcolo degli effetti modello additivo
ln F11  F12  F21  F22  ln 47  ln 53  ln 44  ln 137
  ln  

 4,131
4
4
ln F11  F12 F21  F22  ln 47  ln 53  ln 44  ln 137

 0,221
4
4
ln F11  F21 F12  F22  ln 47  ln 44  ln 53  ln 137
1B  ln  1B 

 0,314
4
4
1A  ln  1A 
11AB  ln  11AB 
ln F11  F22 F12  F21  ln 47  ln 137  ln 44  ln 53

 0,254
4
4
ODDSRATIO  e
AB
411
 e40, 254  2,76
INTERPRETAZIONE DEI LAMBDA
Gli effetti dei marginali e di interazione possono essere considerati in termini di
deviazioni dai valori medi delle frequenze di celle.
Lo squilibrio fra i due marginali è maggiore per la variabile B rispetto alla variabile A
Il valore positivo di 11AB segnala la presenza di una relazione positiva. Le celle 11 e
22 presentano una frequenza più alta rispetto al caso di indipendenza.
Ricostruiamo la tab.2*2 con il modello additivo:
le frequenze ricostruite (attese) sono uguali a quelle
osservate.
lnF11 =  + 1
A+
lnF12 =  + 1
lnF21 =  - 1
A-
A+
1
B+
1
B-
1
B-
11
AB=3,85
F11  e3,85  47
11
AB=3,97
F12  e
11
AB=3,78
F21  e3,78  44
lnF22 =  - 1A- 1B+ 11AB=4,92
3, 97
 53
F22  e 4,92  137
19
Modelli insaturi
lnFij= +iA+jB + ijAB
modello saturo
lnFij= +iA+jB modello insaturo, fissiamo
l’effetto interazione pari a zero
lnFij= +iA fissiamo l’effetto interazione e il
marginale della var.b pari a zero
lnFij=  fissiamo l’effetto interazione e gli
effetti dei marginali della var.A e della var.B
pari a zero
20
Come si calcolano gli errori standard
delle stime dei parametri
R
sˆ 
C
 (1 / Fij )
i 1 j 1
R  C 
2
1 1 1
1
  
sˆ  47 53 442 137  0,066
2  2
R = numero di categorie della variabile di riga
C = numero di categorie della variabile di colonna
L’ipotesi nulla secondo la quale nella popolazione il valore di
lambda è uguale a zero può essere verificata utilizzando un test t.
21
TEST DI SIGNIFICATIVITA’ DEI PARAMETRI
tTEST
VALOREOSSE RVATO  H 0

e.s.
H0 :   0
Rapportiamo i parametri stimati all’errore standard per
calcolare i valori t da confrontare con quelli critici.
t A 
t B 
tAB 
A  0
sˆ
B  0
sˆ
  0,22 0,066  3,32
  0,31 0,066  4,68
AB  0
sˆ
 0,25 0,066  3,77
22
Dal momento che i valori ottenuti sono superiori in valore assoluto a
±1,98 (il valore critico di t per alfa=0,05) possiamo concludere che i
parametri sono significativamente diversi da zero per alfa=0,05.
Non si può passare ad un modello insaturo.
tB  4,68
tA  3,32
t AB  3,77
Soglia
-1,98
Soglia
+1,98
0,95
T
0,025
0,025
0
IPOTESI NULLA
23
INTERVALLI DI CONFIDENZA DEI PARAMETRI
Possiamo calcolare gli I.C. dei parametri aggiungendo
il valore t all’errore standard:
 A  1,98  sˆ
  1,98  sˆ
B
lim.inf.
-0.351
lim.sup. -0.089
lim.inf. -0.441
lim.sup. -0.179
ODDSRATIO  e
 AB  1,98  sˆ
0.119
1,61
lim.sup. 0.381
4,58
lim.inf.
24
4 AB
MODELLI TEORICI
MODELLO SATURO*


MODELLO
INDIPENDENZA

A
MODELLO SOLO
EFFETTO A

A
MODELLO SOLO
EFFETTO B

EQUIPROBABILITA’

A

B
B
Notazione

AB
(AB)
(A)(B)
(A)
B
(B)
*Il modello saturo riproduce i dati osservati.
25
Test dei modelli
I modelli con tutti i parametri che ci consentono
di realizzare l’identità tra frequenze attese ed
osservate si chiamano saturi (esso conterrà
tanti parametri quante sono le celle).
I modelli semplificati, nei quali uno o più
parametri vengono fissati a zero vengono
definiti insaturi
Il modello insaturo genererà delle frequenze
teoriche o frequenze attese che verranno
confrontate con le frequenze osservate.
26
Se gli scarti tra frequenze attese e osservate sono di
entità ridotta il modello semplificato (o insaturo)
verrà accettato.
Il confronto fra frequenze attese e frequenze
osservate viene fatto sulla base del calcolo della
statistica L2
Nota come statistica del chi-quadrato del
rapporto di verosimiglianza. Si distribuisce come
una variabile chi-quadrato con tanti gradi di libertà
quanti sono i parametri lambda indipendenti posti a
zero.
 fi 
L  2 f i ln  
i 1
 Fi 
k
2
27
Il modello teorico non deve scostarsi troppo dai dati osservati.
L’H0 è che il modello si scosta troppo (contrariamente al test di
indipendenza del Chi-quadrato!)
g = gradi di libertà
L2  0
Non posso
rifiutare H0
Rifiuto H0
P
0
DATI
OSSERVATI
L2p
MODELLO
L2
Probabilità che il
modello sia vero !
Tavola di contingenza sex * titolo
SEX*TITOLODISTUDIO
Conteggio
s ex
titolo
0 licmedia- 1 diploma+
696
292
586
285
1282
577
0 F
1 M
Totale
Modello saturo (P=1) Stime dei parametri
Effetto
s ex*titolo
s ex
titolo
Parametro
1
1
1
Stima
.037
.049
.397
Errore s tand
.025
.025
.025
Z
1.472
1.955
15.826
Sig
.141
.051
.000
b
Pas so
0
1
2
Class e di generazionec
Effetto eliminato
Class e di generazionec
Effetto eliminato
Class e di generazionec
1
1
2
Probabilità
che il modello
sia “vero” !
Intervallo di confidenza
al 95%
Limite
Limite
inferiore
s uperiore
-.012
.086
.000
.098
.348
.446
Riepilogo dei passi
Effetti
s ex*titolo
s ex*titolo
s ex, titolo
s ex
titolo
s ex, titolo
2
P
L
a
Chi-quadrato
.000
2.166
2.166
7.369
274.170
2.166
df
Sig
0
1
1
1
1
1
Numero di
iterazioni
.
.141
.141
.007
.000
.141
a. Per ‘Effetto eliminato’, rappres enta la variazione del chi-quadrato dopo l’eliminazione dell’effetto dal modello.
b. In cias cun pas saggio viene eliminato l’effetto con il livello di s ignificatività più alto per la variazione del rapporto di
verosimiglianza, a condizione che il livello di s ignificatività s ia maggiore di .050.
c. Le s tatiche del modello migliore verranno visualizzate per ciascun pas saggio dopo 0.
Totale
988
871
1859
2
2
2
SINTASSI SPSS
data list free/ n sex titolo.
begin data
696 1 1
292 1 2
586 2 1
285 2 2
end data.
weight by n.
value labels sex 1'm' 2'f'
/titolo 1 'licmedia' 2 'diploma'.
HILOGLINEAR
sex(0 1) titolo(0 1)
/METHOD=BACKWARD
/CRITERIA MAXSTEPS(10) P(.05) ITERATION(20) DELTA(.5)
/PRINT=FREQ RESID ESTIM
/DESIGN .
30
L’obiettivo è trovare un modello con un basso valore
di L2 ad esso associato e quindi con un’alta probabilità
di rappresentare la struttura delle relazioni tra le
variabili a livello di popolazione.
Un modello viene corroborato quanto i dati osservati
hanno un’elevata probabilità di essere generati dal
modello ipotizzato.
Il rapporto di verosimiglianza è utile per individuare
gli scarti tra modello e dati quanto il campione non
supera i 1500 casi.
Quando il campione è molto ampio l’adozione della
statistica L2 comporta il rifiuto di modelli “buoni”.
Il valore della statistica L2 aumenta all’aumentare della
dimensione del campione.
31
BIC
Una statistica più appropriata per valutare la bontà di
adattamento del modello ai dati è rappresentata dal
Criterio bayesiano di informazione (BIC)
BIC  L  g  ln N
2
LnN è il logaritmo naturale della dimensione del campione
Il BIC rappresenta un buon compromesso tra capacità di
riproduzione dei dati e parsimonia.
Più negativo è il valore assunto dalla statistica BIC,
migliore è l’adattamento ai dati di un certo modello.
32
MODELLO A TRE VIE
Modelli gerarchici
33
Nei modelli gerarchici le relazioni
multivariate di un certo livello includono
tutte le relazioni più semplici di livello
subordinato.
Le frequenze attese vengono stimate sulla
base del modello teorico attraverso
algoritmi iterativi (ad esempio
l’“adattamento proporzionale iterativo”)
34
Esempi di notazione dei modelli gerarchici
A=area S=sex E=educ
(ASE) - modello saturo
lnFijk=  + iA + jS + kE + ijAS + ikAE + jkSE + ijkASE
(AS)(AE)(SE) – effetti a due
lnFijk=  + iA + jS + kE + ijAS + ikAE + jkSE
(AS)(SE) – effetti a due di sole due variabili
lnFijk=  + iA + jS + kE + ijAS + jkSE
(A)(S) – effetti marginali di sole due variabili
lnFijk=  + iA + jS
Probabilità
che il modello
sia “vero” !
ESEMPIO DI VALUTAZIONE
DEI MODELLI
Modello
L2
g
p
(ABC)
0,0
0
1,00
(AB)(AC)(BC)
1,5
1
0,20
(AB)(C)
34,0
3
0,00
(A)(B)(C)
76,2
4
0,00
36
CONFRONTO FRA MODELLI
ELIMINAZIONE DEI PARAMETRI DAI MODELLI
PROCEDURA BACKWARD
Si parte dal modello saturo e si eliminano man mano i
parametri che non tolgono verosimiglianza.
Si aumenta la parsimonia lasciando il modello verosimile
37
*PM (1=favorevole alla pena di morte 2=non favorevole)
*REL(1=non-praticante 2=praticante)
*POL(1=centro-destra 2=centro-sinistra)
REL a tteggia mento religioso * PM pena di morte * POL orientamento politico Crosstabulation
Count
POL orientamento
politico
1,00 centro destra
2,00 centro sinistra
REL
atteggiamento
religioso
Total
1,00 non praticante
2,00 praticante
REL
atteggiamento
religioso
Total
1,00 non praticante
2,00 praticante
PM pena di morte
1,00
2,00 non
favorevole
favorevole
456
112
213
110
669
222
344
184
37
38
381
222
Total
568
323
891
528
75
603
38
Il passaggio da un modello all’altro è valutato attraverso la differenza tra i valori
L2 associati ai due modelli (+ PARSIMONIOSO -PARSIMONIOSO), e la
differenza tra i rispettivi gradi di libertà.
Delta L2 e Delta G hanno la distribuzione nota del Chi-quadrato, per cui è possibile
effettuare un test di significatività.
L  L  L
2
2

2

g  g   g 
MODELLO 1
SATURO
[PM*REL*POL]
L2= 0
g=0
P=1,00
MODELLO 2
INSATURO
[PM*REL] [PM*POL] [REL*POL]
L2= 0,095
g=1
P=0.75
MODELLO 3
INSATURO
[PM*REL] [PM*POL]
L2= 126,926
g=2
P=0,00
VALUTAZIONE DEL PASSAGGIO DAL MODELLO SATURO AL MODELLO 2
L22 - L21= 0,095
g2 - g1 =1
ACCETTATO !
VALUTAZIONE DEL PASSAGGIO DAL MODELLO 2 AL MODELLO 3
L23 - L2 2=126,835
g3 - g2 =1
NON ACCETTATO!
*PM (1=favorevole alla pena di morte 2=non favorevole)
*REL(1=non-praticante 2=praticante)
*POL(1=centro-destra 2=centro-sinistra)
data list free/ PM REL POL PESO.
begin data
1 1 1 456
1 1 2 344
1 2 1 213
1 2 2 37
2 1 1 112
2 1 2 184
2 2 1 110
2 2 2 38
end data.
weight by PESO.
LOGLINEAR PM(1,2) REL(1,2) POL(1,2)
/PRINT= ESTIM
/DESIGN = PM REL POL PM BY REL PM BY POL REL BY POL.
40
SESSO
EDUCAZIONE
AREA
Abbiamo una relazione tra genere (M/F) e educazione (D/ND). Vogliamo
sapere se l’area geografica (sud/nord) influisce su questa relazione.
Modello: area*sex*educ
lnFijk=  + iA + jS + kE + ijAS + ikAE + jkSE + ijkASE
Costruiamo un modello teorico di indipendenza e lo
confrontiamo con le frequenze osservate.
Si tratta di porre a zero i seguenti parametri: ijkASE
41
Modello saturo ASE
Tavola di contingenza sex * titolo * area
Conteggio
area
0 Nord
s ex
1 Sud
Totale
s ex
Totale
0 F
1 M
0 F
1 M
titolo
0 licmedia- 1 diploma+
415
177
326
175
741
352
281
115
260
110
541
225
Totale
592
501
1093
396
370
766
Modello area*sex*educ
lnFijk=  + iA + jS + kE + ijAS + ikAE + jkSE + ijkASE
42
SINTASSI SPSS
S
sˆ 
HILOGLINEAR
sex(0 1) titolo(0 1) area(0 1)
/METHOD=BACKWARD
/CRITERIA MAXSTEPS(10) P(.05) ITERATION(20) DELTA(.5)
/PRINT=FREQ RESID ESTIM
/DESIGN .
Stime dei parametri
Effetto
s ex*titolo*area
s ex*titolo
s ex*area
titolo*area
s ex
titolo
area
Parametro
1
1
1
1
1
1
1
Stima
.025
.033
.016
-.035
.047
.402
.188
Errore s tand
.026
.026
.026
.026
.026
.026
.026
Z
.960
1.285
.638
-1.354
1.828
15.729
7.365
R
C
 (1 / F
ijk
k 1 i 1 j 1
S  R  C 
2
)
 0,026
Modello saturo
Sig
.337
.199
.523
.176
.068
.000
.000
Intervallo di confidenza
al 95%
Limite
Limite
inferiore
s uperiore
-.026
.075
-.017
.083
-.034
.066
-.085
.016
-.003
.097
.352
.453
.138
.239
43
Riepilogo dei passi
b
Pas so
0
Class e di generazionec
1
1
Effetto eliminato
Class e di generazionec
Effetto eliminato
1
2
3
2
Effetti
Class e di generazionec
Effetto eliminato
3
Class e di generazionec
Effetto eliminato
4
1
2
Class e di generazionec
Effetto eliminato
5
1
2
Class e di generazionec
df
Numero di
iterazioni
Sig
s ex*titolo*area
.000
0
.
s ex*titolo*area
.922
1
.337
s ex*titolo, sex*area, titolo*area
.922
1
.337
s ex*titolo
s ex*area
titolo*area
2.264
1.197
1.790
1
1
1
.132
.274
.181
s ex*titolo, titolo*area
2.118
2
.347
s ex*titolo
2.166
1
.141
2
titolo*area
1.692
1
.193
2
s ex*titolo, area
3.811
3
.283
s ex*titolo
2.166
1
.141
2
57.820
1
.000
2
5.977
4
.201
57.820
7.369
274.170
1
1
1
.000
.007
.000
5.977
4
.201
area
area, sex, titolo
1
2
3
a
Chi-quadrato
area
s ex
titolo
area, sex, titolo
3
2
2
2
2
2
2
a. Per ‘Effetto eliminato’, rappres enta la variazione del chi-quadrato dopo l’eliminazione dell’effetto dal modello.
b. In cias cun pas saggio viene eliminato l’effetto con il livello di s ignificatività più alto per la variazione del rapporto di veros imiglianza, a
condizione che il livello di significatività sia maggiore di .050.
c. Le s tatiche del modello migliore verranno visualizzate per ciascun pas s aggio dopo 0.
(A)(S)(E)
lnFijk=  + iA + jS 44
+  jE
Altro esempio: SPSS
SESSO*TITOLODISTUDIO*STATOCIVILE === STC
2
Riepilogo dei passi
b
Pas so
0
1
2
3
4
Effetti
Class e di generazionec
Effetto eliminato
Class e di generazionec
Effetto eliminato
Class e di generazionec
Effetto eliminato
Class e di generazionec
Effetto eliminato
Class e di
generazionec
1
1
2
3
1
2
1
2
V15*civile*titolo
V15*civile*titolo
V15*civile, V15*titolo, civile*titolo
V15*civile
V15*titolo
civile*titolo
V15*titolo, civile*titolo
V15*titolo
L
a
Chi-quadrato
.000
1.764
1.764
.854
4.258
3.056
2.619
3.907
df
Sig
0
1
1
1
1
1
2
1
.
.184
.184
.355
.039
.080
.270
.048
Numero di
iterazioni
3
2
2
2
2
civile*titolo
2.704
1
.100
2
V15*titolo, civile
V15*titolo
5.323
3.907
3
1
.150
.048
2
civile
5.895
1
.015
2
V15*titolo, civile
5.323
3
.150
a. Per ‘Effetto eliminato’, rappres enta la variazione del chi-quadrato dopo l’eliminazione dell’effetto dal modello.
b. In cias cun pas saggio viene eliminato l’effetto con il livello di s ignificatività più alto per la variazione del rapporto di veros imiglianza, a condizione che il livello
di s ignificatività s ia maggiore di .050.
c. Le s tatiche del modello migliore verranno visualizzate per ciascun pas saggio dopo 0.
Modello più parsimonioso: (ST)(C)
45