Olimpiadi di Informatica 2010
Giornate preparatorie
Dipartimento di Informatica
Università di Torino
marzo 2010
12 Algoritmi sui grafi: ordinamento topologico.
(versione 22/12/2015)
12/22/2015
E. Giovannetti -- OI09.
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Una proprietà dei grafi orientati aciclici.
Nei grafi orientati aciclici la relazione
“da A è raggiungibile B”
è una relazione d’ordine parziale.
Infatti è:
• riflessiva: A è raggiungibile da A;
• transitiva: se B è raggiungibile da A e C è raggiungibile da B
allora C è raggiungibile da A;
• antisimmetrica: se A è raggiungibile da B e B è raggiungibile
da A, allora A e B sono coincidenti (cioè non vi può essere
una coppia di nodi distinti mutuamente raggiungibili).
Una relazione d’ordine parziale può venire completata
(generalmente in più modi) in una relazione d’ordine totale.
Un tale ordine totale dei nodi si chiama ordine topologico.
Possiamo quindi dare la seguente equivalente definizione.
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E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.45
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Definizione
Dato un grafo orientato aciclico, un ordine topologico è:
un ordine lineare dei suoi nodi tale che se nel grafo vi è un
arco (u, v), allora u precede v nell’ordine. Cioè:
ordine topologico su un grafo orientato aciclico G = (V, E) è
una relazione d’ordine totale ““ sull’insieme V dei nodi, tale
che
(u, v)  E  u  v
Equivalentemente, un ordine topologico su un grafo è:
un ordine lineare dei suoi nodi tale che se nel grafo vi è un
cammino da u a v, allora u precede v nell’ordine. Cioè:
ordine topologico su un grafo orientato aciclico G = (V, E) è
una relazione d’ordine totale ““ sull’insieme V dei nodi, tale
che
esiste un cammino da u a v  u  v
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Proprietà ed esempi
• Un grafo orientato aciclico possiede sempre un ordine
topologico.
• Un grafo può possedere diversi ordini topologici.
(a) Un grafo aciclico;
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(b) Ordine topologico dei nodi del grafo (a)
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Esempio (1/2)
Dato il grafo:
C
F
A
E
B
D
L’ordine:
F
C
E
D
A
B
è un ordine topologico
Infatti disegnando gli archi del grafo essi risultano tutti
orientati nello stesso verso (da sinistra verso destra):
F
C
E
D
A
B
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Esempio (2/2)
F
C
A
E
B
D
Ma non è l’unico, anche i seguenti sono ordini topologici
A
B
C
F
D
E
C
D
A
F
E
B
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Un’altra proprietà dei grafi orientati aciclici.
Per comodità, diamo le seguenti due definizioni:
• nodo sorgente = nodo che non ha archi entranti;
• nodo pozzo = nodo che non ha archi uscenti.
Proprietà. In un grafo orientato aciclico vi sono almeno un
nodo pozzo e almeno un nodo sorgente.
(ovvio, perché in un insieme parzialmente ordinato costituito
da un numero finito di elementi vi sono sicuramente sia
elementi minimali che elementi massimali).
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E. Giovannetti - AlgELab-09-10 - Lez.45
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Come trovare un nodo sorgente.
Nelle prossime slides vedremo che per trovare un sorgente
basta operare una visita per profondità, grazie alla seguente
proprietà:
il nodo col massimo tempo di fine-visita è un nodo-sorgente.
I nodi con tempi di fine-visita via via decrescenti sono a loro
volta nodi-sorgente del grafo cui sono stati tolti i sorgenti
precedenti, ecc.
Si ottiene così un algoritmo semplicissimo, che in realtà è
ricavabile direttamente da una proprietà di base della visita
in profondità, da cui deriva anche la proprietà di cui sopra (il
nodo col max tempo di fine-visita è un nodo sorgente).
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Ricorda la visita in profondità ricorsiva:
visitaInProfondità (il grafo G a partire dal nodo s) {
marca tutti i nodi di G come non visitati; T = albero vuoto;
visitaRic(s, T);
}
visitaRic (il grafo G dal nodo u) {
inizia_visita(u); marca u come visitato;
for each (nodo v adiacente a u)
if (v è non visitato) {
aggiungi l'arco (u, v) a T;
visitaRic(v, T);
}
termina_visita(u);
}
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Una proprietà della visita in profondità.
Se in un grafo G esiste un arco (orientato) (u, v), o se più in
generale esiste un cammino da u a v, allora in qualunque visita
in profondità di G il tempo di fine-visita di u è maggiore del
tempo di fine-visita di v.
Dimostrazione.
Caso 1: v viene raggiunto a partire da u, cioè l’istante di inizio
visita di u precede l’ l’istante di inizio visita di v.
Allora l’attivazione di visitaRic(u), che effettua la chiamata
di visitaRic(v), ovviamente termina dopo la terminazione di
questa;
Caso 2: v non viene raggiunto a partire da u, quindi deve
essere stato visitato prima di u (altrimenti da u si sarebbe
arrivati a v) . D’altra parte, poiché G è aciclico, non vi può
essere un cammino da v a u, e quindi l’attivazione di v deve
essere completamente terminata prima dell’attivazione di u.
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Esempio
C
F
A
E
B
D
arco (C, E): fine(C)  fine(E)
arco (F, E): fine(F)  fine(E)
ecc.
Supponiamo che si inizi la visita dal nodo C. Si ha, nell’ordine:
iniz C; iniz D; fine D; iniz E; fine E; fine C; iniz F; fine F.
tempo
stack
stack
stack
stack
stack
C
C
C
C
C
D
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stack
stack
stack
F
E
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Un algoritmo di ordinamento topologico.
• L’ordine degli istanti di fine visita in una visita del grafo in
profondità del grado è quindi tale che:
esiste un cammino da u a v  fineVisita(u) > fineVisita(v)
• L’ordine dei nodi secondo il tempo di fine visita in una visita
in profondità è quindi l’inverso di un ordine topologico.
• Per eseguire un ordinamento topologico dei nodi di un grafo
orientato aciclico è allora sufficiente effettuare una visita
in profondità del grafo, inserendo ad ogni fine-visita il nodo
nella struttura ordinata, a partire dal fondo (ad esempio in
un array a partire dal fondo, oppure in una lista inserendolo
ogni volta in testa).
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Esempio
Nella semplice rappresentazione in cui i nodi sono gl’indici
dell’array degli array degli adiacenti, si ha:
...
ordine = new int[N];
numOrd = N – 1; dove N è il numero dei nodi del grafo
...
void visitaRic(int i) {
if(visitato[i]) return;
visitato[i] = true;
for(int j = 0; j < grado[i]; j++) {
visitaRic(nodi[i][j]);
}
ordine[numOrd--] = i; inserisco in ordine inverso
}
di tempo di fine-visita
void visitaTutto() {...}
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Esercizio
Risolvere il problema “torero” modificato nel modo seguente:
date le precedenze degli indumenti (senza l’intervento di
Carmen), si scriva una sequenza possibile di vestizione di
tutti gli indumenti.
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