LEIBNIZ:
aritmetica e calcolatrice
binaria
by corrado bonfanti - 2007
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Tra i numerosi motivi per cui Leibniz è passato alla storia, si
annovera la sua macchina calcolatrice, famosa per essere
stata la prima capace di eseguire tutte e quattro le operazioni
aritmetiche e per questo arcinota tra gli informatici. In effetti
essa segnava un bel progresso rispetto alle precedenti
addizionatrici di Schickard e di Pascal che, per l’appunto,
eseguivano solo addizioni e, col metodo del complemento,
anche sottrazioni.
Calcolatrice meccanica “decimale” di Leibniz
Niedersächsische Landesbibliotek di Hannover
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In realtà, il contributo di Leibniz a quelli che, più di due secoli
appresso, dovevano essere assunti come fondamenti concettuali
del calcolatore elettronico, è stata la scoperta dell’aritmetica
binaria.
Prima di Leibniz, diversi sapienti si erano accorti dell’esistenza di
sistemi di numerazione in base 2.
In altra occasione si è già parlato degli algoritmi aritmetici degli
antichi egizi e dello scacchiere binario di Nepero.
Possiamo aggiungere che Bacone e Caramuel (vedi appresso).
Essi però non andarono oltre la concezione della numerazione
binaria. Il passo decisivo per esplicitare le regole della aritmetica
binaria spettò quindi a Leibniz.
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Sir Francis Bacon
(1561-1626)
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Franesco Bacone, filosofo e importante uomo politico, usava un
codice segreto a 5 bit e lo mascherava poi con ingegnosi artifici
grafici.
Notevole il fatto che, posto a = 0 e b = 1, il suo codice segue la
numerazione binaria, dalla A = 000002 = 010 alla Z = 101112 = 2310.
Da tenere presente che le lettere J e U non erano ancora entrate in
uso nell’alfabeto inglese dell’epoca.
Heath,F.G. “Le origini del codice binario”; Le Scienze, n.51, nov.1972, pp.90-97
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Juan Caramuel y Lobkowitz
(1606-1682)
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Caramuel è stato il primo a rendere esplicita la numerazione
binaria, mettendola a raffronto con quella decimale; la sua opera
Mathesis Biceps è stata pubblicata nel 1670.
Malgrado il titolo De Binaria Arithmetica, egli espone in realtà
solo il concetto della numerazione binaria, espressa con due
simboli non propriamente aritmetici, e la impiega per studi di
musicologia.
Nativo di Madrid, egli visse a lungo in Italia dove fu vescovo di
Vigevano dal 1673 fino alla morte.
Parea,A., Soriano,P., Terzi,P. L’aritmetica binaria e le altre aritmetiche di Giovanni Caramuel
vescovo di Vigevano; Centro Vigevanese per la Ricerca Scientifica pura ed applicata, ed. fuori
commercio, 1977.
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Gottfried Wilhelm
barone von Leibniz
(1646-1716)
by corrado bonfanti - 2007
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Leibniz rese pubblica la sua scoperta dell’aritmetica binaria in
una memoria presentata all’Accademia reale di Parigi il 5 maggio
1703.(*)
S PI E GAZ I O N E
dell’aritmetica binaria
che si serve dei soli caratteri 0 e 1; con delle
osservazioni sulla sua utilità e sul come essa fornisce il
significato degli antichi simboli cinesi di Fohy.
Del Sig. Leibnitz
(*)
La memoria si trova riprodotta nel saggio, a cura di Mario G. Losano, Leibniz, calcolo
con zero e uno; Etas Kompass, 1971.
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La “tavola dei numeri” è analoga a quella di Caramuel ma i
simboli binari vi assumono definitivamente la forma numerica
di “zero” e “uno”.
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Leibniz espone con esempi gli algoritmi per le quattro operazioni
e ne sottolinea la grande semplicità rispetto a quelli usuali con i
numeri in base 10.
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Leibniz si mostrò orgoglioso dell’aritmetica binaria al punto
che fece coniare alcuni medaglioni emblematici da offrire in
omaggio ai suoi potenti protettori.
Nei medaglioni iscrisse dei motti che lasciano trasparire il
significato quasi metafisico che voleva intravedere nella sintesi
binaria. Ne è esempio quello qui raffigurato, il cui motto recita
l’uno ha creato tutto dal nulla
ove s’intende che nulla = zero.
Dalla sopracoperta del saggio di Mario G. Losano, cit.
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Ma c’è una curiosa questione su cui Leibniz prese un abbaglio:
era infatti convinto di avere scoperto nell’aritmetica binaria la
spiegazione autentica e il significato dei trigrammi e degli
esagrammi – i simboli Cova e Fohy descritti nel Ching (“Libro
delle mutazioni”) – che sono formati accostando in tutti i modi
possibili tre o quattro tratti continui o interrotti, che egli
interpretava come 1 e 0. Secondo lui, questo originario significato
doveva essere andato smarrito e travisato nel corso dei millenni.
Probabilmente da più di mille anni, i cinesi hanno smarrito
il significato dei Cova o Lineazioni di Fohy; e hanno fatto su
di essi delle elucubrazioni con cui sono andati in cerca di non
so quali estranei significati.
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Erano stati i padri gesuiti Grimaldi e Bouvét, missionari in Cina,
a sollecitare una spiegazione di quei segni i quali, in realtà, sono
solo una “codifica” ( peraltro effettivamente binaria) di concetti
filosofici ed esoterici della cultura cinese.
Due classiche disposizioni
dei 64 simboli esagrammatici (*)
Vale la pena di ricordare che nella bandiera della Corea del Sud
sono raffigurati i quattro trigrammi simmetrici.
(*)
Dal saggio di Mario G. Losano, cit.
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Il progetto leibniziano di una macchina da calcolo funzionante
in base alla regole dell’aritmetica binaria è quasi sconosciuto al
grande pubblico.
Si è già detto quanto Leibniz sia rimasto affascinato dalla
cristallina semplicità dell’aritmetica binaria; la sua calcolatrice
binaria doveva essere quindi altrettanto semplice, eliminando le
complessità meccaniche, e i relativi costi, che sono inevitabili nel
calcolo decimale.
L’idea era buona e di sapore addirittura avveniristico ma fu
abbandonata a causa di una difficoltà accessoria. Sembrandogli
infatti impensabile che la gente si adeguasse all’uso diretto dei
numeri binari, Leibniz si arrovellò senza successo a immaginare
un meccanismo che convertisse numeri decimali in binari e
viceversa, vera e propria interfaccia di input/output; e fu così
che la cosa non ebbe seguito.
Nei preziosi manoscritti di Leibniz ci sono labili tracce di questo
suo progetto (vedi appresso); tracce che sono state riesumate da
Ludolf von Mackensen, storico della scienza all’Università di
Kassel, e sufficienti per realizzare nel 1969 un modello
funzionante.
Come espressamente previsto da Leibniz, l’informazione
numerica in forma binaria è veicolata da tante piccole sfere –
delle semplici biglie – che scorrono al suo interno e, prima di
finire nel cassetto di raccolta, impostano a 0 / 1 gli indicatori
numerici visibili attraverso finestrelle.
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Stralcio dal manoscritto di Leibniz datato 15 marzo 1679 (*),
con evidenza del brano in cui fornisce una sommaria
descrizione della calcolatrice binaria.
(*)
Riprodotto nel saggio di Mario G. Losano, cit.
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Il brano del manoscritto, tradotto e commentato.(*)
(*)
Dal saggio di Mario G. Losano, cit.
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La calcolatrice binaria “a palline” ricostruita a Kassel da
Ludolf von Mackensen. (*)
von Mackensen, L. “Die ersten dekadischen und dualen Rechenmaschinen” in:
Stein, E., Heinekamp, A. (a cura di) Gottfried Wilhelm Leibniz, Mathematiker,
Phisiker, Techniker; G.-W.-Leibniz-Gesellschaft, Hannover, 1990, pp.52-61.
(*)
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