Moto rettilineo del punto materiale
• Punto materiale
– Punto geometrico dotato di massa
• Traiettoria
– Il luogo dei punti via via occupati dal punto materiale
• Moto rettilineo
– Moto con traiettoria rettilinea
• Moto di caduta di un grave, moto alternativo dei pistoni nei cilindri,
moto di una automobile lungo una strada diritta, etc.
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Descrizione del moto rettilineo
• Studio del moto di caduta di un grave lungo la verticale
•
Sulla traiettoria definiamo l’asse di riferimento (origine e verso)
•
Usiamo un orologio per trovare la corrispondenza tra l’istante
di tempo e la posizione in cui si trova il punto materiale (t=0s
inizio dell’osservazione)
t (s)
0,00
0,03
0,07
0,10
0,13
0,17
0,20
0,23
0,27
0,30
0,33
0,37
0,40
0,43
x (m)
1,00
0,99
0,98
0,95
0,91
0,86
0,80
0,73
0,65
0,56
0,46
0,34
0,22
0,08
1,20
1,00
x (m)
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
O
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Grafico orario
• Asse delle ascisse = variabile
indipendente (il tempo).
– È necessaria una scala, per es.
1cm=0,1s
• Asse delle ordinate = variabile
dipendente (la posizione).
– Anche qui è utile una scala, per es
1 cm=0,2 m
I punti rappresentano le misure, la curva è l’interpolazione.
• La curva interpolante deve essere continua:
• il punto materiale passa per tutte le posizioni intermedie.
• La legge di corrispondenza è una funzione seria,
• ad ogni istante di tempo corrisponde una sola posizione (il corpo non si può trovare
in due luoghi diversi allo stesso istante di tempo).
• Per lo stesso motivo la funzione è continua
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Legge oraria
•
Il grafico orario può anche essere rappresentato
mediante una espressione matematica (legge
oraria)
1
x  1,0  9,81t 2
2
x in m
t in s
Uso del grafico orario o della legge
oraria: voglio conoscere la posizione
del punto all’istante 0,2 s.
Con il grafico orario
Con la legge oraria
1
1
x  1,0  9,81 0,2 2  1.0  9,81  0,04  1,0  0,196  0,803 (m)
2
2
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Grafico orario di un punto materiale
fermo
• Il grafico orario è una retta parallela all’asse delle ascisse (dei tempi)
(pendenza = 0)
• Legge oraria corrispondente:
x = xo
(x=0,31 m)
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Grafico orario di un moto a velocità
costante
La retta:
x=mt+n
n= intercetta asse
ordinate
m= coefficiente
angolare
• Il grafico orario è una retta
x
pendenza  tan  
v
t
• Legge oraria corrispondente:
x(t)  x o  vt
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Moto di un’automobile su un tratto
rettilineo
• Esiste una relazione tra la
pendenza del grafico orario
e la velocità
dell’automobile.
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Spostamento e percorso effettuato
• Grafico orario di un corpo lanciato
verso l’alto.
• Legge oraria corrispondente
x = xo + vot + 1/2aot2
• xo= 7.2 m
• vo= 11.4 m
• ao= -5.0 m
xmassimo
xfinale
xiniziale
• Consideriamo gli istanti
– Iniziale: tiniziale
– finale: tfinale
Spostamento= x =xfinale-xiniziale
Percorso effettuato: è la lunghezza
del tratto effettivamente percorso
Nel caso della figura d=(xmassimo-x1)+(xmassimo-x2)
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Il segno dello spostamento
• Spostamento x =xfinale-xiniziale
con t > 0
• Nel caso di un moto rettilineo
non è necessario far ricorso alla
rappresentazione vettoriale
– Il verso del moto viene
rappresentato dal segno di x
– Se x >0 allora vuol dire che
xfinale >xiniziale: il moto è
avvenuto nella direzione
positiva dell’asse delle x
– Se x <0 allora vuol dire che
xfinale <xiniziale: il moto è
avvenuto nella direzione
negativa dell’asse delle x
xmassimo
xfinale
xiniziale
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Velocità media
• Velocità scalare
percorso effettuato
v sm 
t
Grafico Orario
x (m)
25
20
2
x2
– Sempre positiva
15
x
t
x1 1
• Velocità vettoriale
x x2  x1
vm 

t
t 2  t1
10
– Positiva -->x crescenti
– Negativa-->x decrescenti
5
0
0
t1 1
2
3 t2
4
t (s) 5
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•
Alla guida di un’automobile, dopo aver percorso una strada rettilinea per 8,4
km a 70 km/h, siete rimasti senza benzina. Avete quindi proseguito a piedi,
sempre nella stessa direzione, per 2.0 km fino al prossimo distributore, dove
siete arrivati dopo 30 minuti di cammino. Qual è
–
–
–
Qual è lo spostamento complessivo
Il tempo complessivo impiegato
La velocità media
spost. complessivo 
 8.4km  2.0km  10.4km
tempo totale  t 1  t 2 
d1
 t 2 
v1
8.4km

 0.50h  0.62h
km
70
h

spost. complessivo

tempo totale
10.4km

 16.8 km h
0.62h
vm 
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Velocità media
• Abbiamo definito la velocità vettoriale media
Grafico Orario
x x2  x1
vm 

t
t 2  t1
x (m)
25
20
2
x2
15
x
t
x1 1
10
5
0
0
t1 1
2
3 t2
4
t (s) 5
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Descrizione del moto attraverso la
velocità media
• Supponiamo di far muovere tra t1 e t2 il punto materiale con la velocità
media appena calcolata
• Valutiamo la sua posizione all’istante t=2s.
Posizione vera al tempo t=2s
Grafico Orario
x (m )
25
20
2
x2
Posizione al tempo t=2s
predetta con la velocità media
Conclusione:
La descrizione del moto
mediante la velocità
media è insoddisfacente
x
15
x1
1
t
tan g  
10
x
t
5
0
0
t1 1
2
3 t2
4
t (s) 5
Le predizioni sono corrette solo agli estremi t1 e t2.
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Determinazione della velocità media in
intervalli di tempo sempre più piccoli
• Riduciamo gli intervalli di tempo in cui
calcolare la velocità media
– si ottiene una descrizione del moto
decisamente migliore
• Riducendo sempre più gli intervalli di
tempo in cui si calcola la velocità media
si otterrà una descrizione sempre
migliore!
• Sarebbe opportuno ridurre a zero
l’ampiezza degli intervalli di tempo in
cui si calcola la velocità media, così la
descrizione del moto sarà perfetta!
• Ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli
di tempo equivale a calcolare la velocità
del corpo ad ogni istante: la velocità
istantanea
Grafico Orario
x (m )
25
20
2
x2
x
15
x1
1
t
10
5
t/3
t/3
t1 1
2
t/3
0
0
3 t2
4
t (s) 5
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La velocità istantanea
• Procediamo nel seguente modo:
x (m)
25
• Consideriamo l’istante t1 in cui
vogliamo calcolare la velocità
• Consideriamo un intervallo di tempo t 20
x(t1+t)
maggiore di zero.
• Calcoliamo la velocità media in t
15
Grafico Orario
2
t
x(t )
1
• La velocità media corrisponderà al
1
coefficiente angolare della retta passante10
per i punti 1 e 2 del grafico
• Riduciamo ora l’intervallo di tempo t
facendolo tendere a zero.
5
• Si definisce velocità istantanea
all’istante t1 il seguente limite:
0
x
v x t 1   v x m
t xxtt11
x xt11  t
t  0
t
t
t
lim
0
t1
1
2
3
t1+t
• Osserviamo che quando t tende a zero, il coefficiente angolare della
retta che rappresenta la velocità media in t, tende a diventare quello
della retta tangente al grafico all’istante t1.
4
t (s ) 5
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La velocità istantanea 2
• Riassumendo:
• Abbiamo definito la velocità istantanea
come all’istante di tempo t1:
v x t 1  
xt1  t   xt1 
t  0
t
Grafico Orario
x (m)
25
20
lim
15
•x (m/s)
Nel graficoxessa
è rappresentata
dal
in funzione
di t
x(t1)
t
t
1
10 coefficiente angolare della retta tangente
xt  t xt 
v t  lim
10
al grafico
all’istante
t 0
t t1.
8
1
1
x 1
• 6 Il limite di:
lim
4
xt1  t   xt1 
t  0
t
5
2
0
0
-2
rapporto
incrementale
0,5
1
1,5
2
0
2,5
0
3
t (s)
t1
1
2
3
4
t (s ) 5
• corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della
-4
xt 1  t   xt 1 
funzione x(t) all’istante t1.
dx
dt

t1
limt  0
t
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Velocità istantanea ad ogni istante di
tempo
Grafico Orario
x (m)
25
• Ripetendo l’operazione di limite per
altri istanti di tempo, per esempio t2 o
t3, possiamo conoscere la velocità
20
x(t2)
istantanea (e quindi la derivata rispetto
al tempo della funzione x(t)) a questi
15
istanti di tempo.
x(t1)
• Se ripetiamo l’operazione per tutti gli
x(t3)
istanti di tempo dell’intervallo di
10
osservazione del moto possiamo
ricavare la velocità istantanea in
5
funzione del tempo
vx(t)
0
0
• Questa funzione altro non è
che la derivata rispetto al
tempo della funzione x(t)
t1
Positiva
-->
x(t) crescente
1
dx t 
v x t  
dt
t2
2
3
Negativa
-->
x(t)
decrescente
t (s ) 5
4t3
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Velocità scalare istantanea e velocità
vettoriale istantanea
• Anche per la velocità scalare di
può definire la velocità istantanea:
percorso effettuato
t 0
t
v s  lim
xmassimo
xfinale
• Ma quando t tende a zero, avremo
xiniziale
percorso effettuato = x
• Si ottiene quindi la seguente
relazione
vs  v
• La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo,
della velocità vettoriale istantanea
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Grafico della velocità istantanea
• Nel moto che stavamo studiando:
– La pendenza del grafico orario non è
costante
– Questo implica che la velocità non è
costante
– Possiamo costruirci il grafico della
velocità: la velocità decresce con il
tempo.
– La velocità è maggiore di zero fino a
quando il corpo non raggiunge la sua
posizione massima: si muove nella
direzione positiva dell’asse x
– Poi diventa negativa: si inverte il moto,
il corpo si muove nella direzione
negativa dell’asse x.
– Quando x è massimo la velocità è nulla
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Accelerazione media
e istantanea
• Se la velocità di un corpo varia nel tempo,
ci possiamo chiedere con che rapidità
varia.
• Si definisce l’accelerazione media
nell’intervallo di tempo tra t1 e t2 il
seguente rapporto:
ax m 
vx v x2  v x1

t
t2  t1
vo
a o  tan 

v x (t)  vo  a o t
• Come abbiamo fatto per la velocità anche per l’accelerazione possiamo
passare all’accelerazione istantanea:
– L’accelerazione istantanea all’istante t1 è data da:
v
v (t  t)  vx (t1 )
a x (t1 )  lim t0
 lim t0 x 1
t
t
dv x (t)
a x (t1 ) 
• Tenendo conto della definizione di derivata:
dt tt1
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Grafico dell’accelerazione istantanea
• Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo
determinare la funzione accelerazione.
• Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità.
dv (t)
a x (t)  x
dt
Grafico dell'accelerazione istantanea
• Dato che noi conosciamo la velocità in
0
funzione del tempo
t1
0
v x (t)  vo  a o t
1
2
3
t2
Serie3
4
5
-1
-2
• possiamo utilizzare questa relazione per
determinare l’accelerazione in funzione
del tempo.
a x (t) 
dv x (t) d(v o  a ot)

 ao
dt
dt
• L’accelerazione è costante (negativa),
come d’altra parte ci aspettavamo dal
grafico della velocità.
A
c
c
el
r
a
zi
o
n
e
(
m
/s
^
2)
-3
-4
-5
ao
-6
-7
-8
-9
-10
t(s)
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Il segno dell’accelerazione
ax m 
vx v x2  v x1

t
t2  t1
con t > 0
• Riguardando la definizione dell’accelerazione media (ma le stesse
considerazioni valgono per l’accelerazione istantanea), si vede che:
– axm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dell’asse x:
• v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità)
– Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta
– Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo valore
assoluto però diminuisce
– axm minore di zero, diretta nella direzione negativa dell’asse x:
• v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità)
– Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce
– Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi il suo
valore assoluto aumenta.
• Possiamo concludere:
– Se l’accelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della
velocità aumenta.
– se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce.
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Conclusioni
• Conoscendo la legge oraria:
x(t)
la posizione in funzione del tempo
• Possiamo calcolarci la velocità: vx(t)
la velocità in funzione del tempo
dx(t)
v x (t) 
dt
• E quindi l’accelerazione:
a x (t) 
ax(t)
l’accelerazione in funzione del tempo
dv x (t)
dt
• Combinando le due espressioni:
dv x (t) d dx(t)  d 2x(t)
a x (t) 
 


dt
dt dt
dt 2
L’accelerazione è la derivata
seconda della funzione x(t)
rispetto al tempo
G.M. - Edile A 2002/03
Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro
situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0)
(1) x=3t
(2) x=-4t2-2
(3) x=2/t2
(4) x=-2
a) In quale situazione la velocità vettoriale è costante?
b) in quale altra v è diretta nel verso negativo dell’asse x?
Applica
zione
a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4)
b) la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dell’asse x nei casi
(2) e (3). Infatti:
dx
vx 
(1)
(2)
(3)
(4)
dt
dx d(3t)
vx 

 3ms
0
dt
dt
dx d(4t 2  2)
vx 

 8t m s
0
dt
dt
2 2)
d(
dx
t  22t   4  0
vx 

dt
dt
t4
t3
dx d(2)
vx 

0
0
dt
dt
G.M. - Edile A 2002/03
Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per metà tempo a 55 km/h
e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della
distanza a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h.
Qual è la velocità scalare media all’andata e al ritorno?
Qual è la velocità vettoriale media complessiva?
Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie
Applica
zione
Indichiamo con t il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto.
Le distanze percorse nelle due parti sono:
t
d1  v1
2
t
d2  v 2
2
La distanza totale percorsa sarà la somma delle due distanze ed il tempo
impiegato è t.
t
2
t
v

v
2
d 1
v1  v2 55 km h  90 km h
2
v ma 



 72.5 km h
t
t
2
2
d  d1  d 2  v1  v2 
G.M. - Edile A 2002/03
Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari
per percorrere le due metà sono:
d
t1  2
v1
d
Applica
zione
cont.
t 2  2
v2
Il tempo totale impiegato t per tornare da Taranto a Bari sarà la somma dei
due tempi.
d
d
2
t  t1  t 2 
 2
v1 v2
d
d
2v1v 2 2x55 k m h 90 k mh
km
v ma 
 d



68.3
h
d
k m  90 k m
t
v

v
55
1
2
h
h
2 2
v1 v2
La velocità vettoriale media complessiva è nulla.
G.M. - Edile A 2002/03
Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie
Applica
zione
cont.
x
t
2t
t
G.M. - Edile A 2002/03
La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data
dall’espressione x=3t-4t2+t3, ove x è in metri e t in secondi.
a) qual è la posizione per t=1,2,3 e 4 s?
b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e
t=4s?
c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s?
d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?
e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande
c) e d).
Applica
zione
a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t
nell’espressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti:
x(t)  3t  4t 2  t 3
x(1s)  3x1  4x12  13  3  4  1  0m
x(2s)  3x2  4x2 2  23  6  16  8  2m
x(3s)  3x3  4x32  33  9  36  27  0m
x(4s)  3x4  4x42  4 3  12  64  64  12m
G.M. - Edile A 2002/03
b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e
t=4s?
Applica
zione
cont.
x(t)  3t  4t 2  t 3
x(0)  3x0  4x0 2  0 3  0m
x(4)  3x4  4x42  43  12  64  64  12m
x  x(4)  x(0)  12m  0m 12m
c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s?
x x(4s)  x(2s) 12m  2m
m
vxm 


7
t
t
2s
s
d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?
v x (3s) 

dx

dt t3s
 3  8t  3t
2

t3s

d 3t  4t 2  t 3


dt
t3s
 
d3t  d 4t 2 d t 3 
 



dt
dt
dt



t3s
 3  8x3  3x3  3  24  27  6 m s
2
G.M. - Edile A 2002/03
e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande
c) e d).
Applica
zione
cont.
G.M. - Edile A 2002/03
Il problema del moto
• Conoscendo la legge oraria, ossia conoscendo la posizione
del punto materiale ad ogni istante di tempo:
– Con una prima derivazione possiamo determinare la funzione
velocità
– Con una seconda derivazione possiamo determinare la funzione
accelerazione
dv x (t)
d 2 x(t)
a x (t) 
a x (t) 
dt
dt 2
• Il problema che ora ci poniamo è il seguente:
– Se conosciamo l’accelerazione ad ogni istante di tempo nell’intervallo di
osservazione del moto, conosciamo cioè la funzione a(t),
– siamo in grado di determinare la legge oraria?
– determinare come varia la posizione in funzione del tempo, la funzione x(t)?
Si tratta di risolvere la seguente
equazione:
d 2x(t)
 a x (t)
2
dt
G.M. - Edile A 2002/03
L’equazione differenziale
d 2x(t)
 a x (t)
2
dt
• L’equazione precedente è un’equazione differenziale
– Contiene le derivate
– È del secondo ordine (contiene la derivata seconda)
• Cosa vuol dire risolvere una equazione differenziale come
quella precedente?
– Occorre ricercare tra tutte le possibili funzioni del tempo, quelle la
cui derivata seconda rispetto al tempo coincide con la funzione nota
dell’accelerazione a(t).
G.M. - Edile A 2002/03
Soluzioni dell’equazione differenziale
• Supponiamo di aver trovato una soluzione dell’equazione
differenziale,
– di aver trovato cioè una funzione x1(t) la cui derivata seconda è
proprio uguale alla funzione nota a(t).
d 2x1 (t)
 a x (t)
2
dt
• La funzione x(t)=k1+k2t+x1(t), con k1 e k2 due costanti
reali qualsiasi, è anch’essa soluzione della stessa equazione
differenziale.
dx(t) dk1  k 2 t  x1 (t)
dx1 (t)

 k2 
dt
dt
dt
d 2x(t) d dx(t) d 
dx1 (t)  d dx1 (t) d 2 x1(t)
 
 k 2 


 a x (t)
2
2


dt
dt dt
dt
dt
dt dt
dt
G.M. - Edile A 2002/03
Soluzione formale dell’equazione
differenziale
• Cominciamo con il risolvere un’equazione più semplice:
– Supporremo si conoscere la funzione velocità vx(t)
– e di voler determinare la legge oraria x(t)
– L’equazione differenziale in questo caso è del primo ordine.
dx(t)
 v x (t)
dt
• Fissato un generico istante di
tempo t*
v (m/s)
24
20
– si calcola lo spostamento
subito dal punto materiale tra
t=0 e t*
16
• Si ripete il calcolo per tutti gli
istanti di tempo
8
– si ottiene così la legge oraria
12
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
G.M. - Edile A 2002/03
Soluzione formale dell’equazione
differenziale
• Se conoscessimo la velocità media tra t=0 e t*, lo
spostamento varrebbe:
x(t*)  xo  v mx (t * 0)  vmx t *
• Purtroppo conosciamo
la velocità in tutti gli
istanti di tempo ma non
quella media
• Possiamo fare delle
ipotesi:
– La velocità media è
uguale a quella a t=0
– a quella a t*/2
v (m/s)
24
20
16
12
8
4
t*
t
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
G.M. - Edile A 2002/03
Risoluzione formale dell’equazione
differenziale
• Lo spostamento complessivo invece
n
x(t*)  xo 
n
 x  v
i
i1
x m, i t
i1
• Noi però non conosciamo la velocità media vxm,i in ciascuno
degli n intervalli di tempo,
– sappiamo solo che essa è compresa tra il valore minimo e quello
massimo assunti dalla funzione vx(t) nell'intervallo tra ti-1 e ti
• Per fare una stima dello spostamento supporremo che la
velocità media nell’i-esimo intervallo coincida con la velocità
all’inizio dell’intervallo stesso:
n
x(t*)  xo 
n
 x  v (t
i
i1
x
i1)t
i1
La stima dello spostamento nel grafico corrisponde all’area totale dei
rettangoli di base t e altezza vx(ti-1).
G.M. - Edile A 2002/03
Risoluzione formale dell’equazione
differenziale
• L’approssimazione vxm,i=vx(ti-1) è tanto migliore quanto più piccola è
l’ampiezza degli intervalli t.
– Infatti al diminuire di t diminuisce la differenza tra il valore massimo e
quello minimo della velocità in t.
• Otterremo una stima sempre più precisa dello spostamento man mano
che t tende a zero, o, equivalentemente, man mano che n, il numero
delle suddivisioni, tende all’infinito.
(m/s)
v (m/s)
24
24
20
20
16
16
12
12
8
8
4
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
12
0
14 0 t (s)
t*
2
4
6
8
G.M.
10 - Edile12A 2002/03
14 t
Risoluzione formale dell’equazione
differenziale
• Diremo quindi che lo spostamento tra t=0 e t* del punto materiale è
uguale a:
n
x(t*)  xo  lim n 
 v (t
x
i1 )t
i1
• Questo limite si chiama integrale della funzione vx(t) tra t=0 e t, e si
indica:

t*
x(t*)  xo  v x (t)dt
o
• Si tratta di un integrale definito, in quanto sono specificati gli estremi di
integrazione (t=0 e t*)
G.M. - Edile A 2002/03
Risoluzione formale dell’equazione
differenziale n

t*
x(t*)  xo  v x (t)dt  lim n 
o
 v (t
x
i1 )t
i1
• L’integrale definito corrisponde all’area sotto la curva tra t=0 e t*.
– Attenzione l’area deve essere presa con il segno
• Positiva nei tratti in cui la funzione è positiva
• Negativa nei tratti in cui la funzione è negativa
v (m/s)

t*
x(t*)  xo  v x (t)dt
o
Calcolando l’integrale per ogni
istante t* si ottiene la legge oraria
x(t)  x o 

t
vx (t)dt
o
24
20
16
12
8
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
G.M. - Edile A 2002/03
La velocità media
• Siamo ora in grado di valutare la
velocità media nell’intervallo tra
t=0s e t*.
• Applicando la definizione:
Da cui si ottiene:
v m t 

x(t*)  xo  v x (t)dt
o
x x(t*)  x o
vm 


t
t

t*
v x (t)dt
o
t
v (m/s)
t*
o

t*
vx (t)dt
L’area del rettangolo di base t e
altezza vm ha un’ area uguale a
quella delimitata dal grafico della
curva, l’asse delle ascisse e gli
estremi dell’intervallo t=0s e t*
24
20
16
12
8
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
G.M. - Edile A 2002/03
Come si risolve l’integrale definito
f
• L’integrale è l’operazione inversa della derivata
• Per calcolare l'integrale definito della funzione f(t),
 f(t)dt
i
– occorre ricercare una qualsiasi funzione della variabile di integrazione, F(t)
• tale che la sua derivata, fatta rispetto alla variabile di integrazione, sia
proprio uguale alla funzione integranda:
dF( t )
 f ( t)
dt
• La funzione F(t) si chiama “primitiva” della funzione f(t)
• Il valore dell’integrale si ottiene calcolando la differenza tra i valori
assunti dalla funzione nell’estremo superiore e nell’estremo inferiore.
• In simboli:
f

f(t)dt  F(t)i  F(t f )  F(t i )
f
i
G.M. - Edile A 2002/03
Esempio
• Dalla definizione di velocità sappiamo che:
v x (t) 
dx
dt
 dx  v(t)dt
•
•
v(t) è la velocità all’istante t
dt è un intervallo di tempo infinitesimo
che comincia all’istante t
dx è lo spostamento infinitesimo subito dal
punto nell’intervallo infinitesimo dt
questa uguaglianza vale in tutti
•
gli infiniti intervalli infinitesimi
in cui ho suddiviso l’intervallo di
osservazione del moto
f
f
L’uguaglianza continuerà a valere
dx  v(t)dt
se sommo, membro a membro, su
i
i
tutti gli infiniti intervalli di
tempo:
• variabile di integrazione x
5=3+2
• funzione integranda f(x)=1
7=5+2
• primitiva F(x)=x
Totale
12=12
f
• usualmente
f
dx  x i  x(t f )  x(t i )  x(t f )  x o
• ti=0s
i
• x(0s)=xo


Valutiamo
f
 dx
i

G.M. - Edile A 2002/03
Proprietà degli integrali
• L’integrale altro non è che una somma, con l’unica particolarità che è
fatta su infiniti termini.
• Siccome in una somma il risultato non cambia cambiando l’ordine con
cui vengono sommati i vari termini, allora ne deduciamo che
– l’integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali
f
f
f
f
i
i
i
i
 f(t)  g(t)dt   f(t)dt  g(t)dt   f(t)dt   g(t)dt
• Inoltre, così come in una somma, se tutti i termini hanno un fattore
comune, questo può essere messo in evidenza, così nell’integrale,
eventuali costanti che moltiplicano i vari elementi infinitesimi da
sommare, possono essere portate fuori del segni di integrale.
f
f
i
i
 kf(t)dt  k f(t)dt
G.M. - Edile A 2002/03
Moto uniforme
• Valutiamo ora il secondo membro:
f
f
i
i
 dx   v(t)dt
– È necessario specificare la funzione vx(t).
– Supponiamo che vx(t) sia costante, moto uniforme, e pari a vxo
x(t f )  x o 

tf
tf
v
x odt
0
•
•
•
variabile di integrazione t
funzione integranda f(t)=vxo
primitiva F(t)= vxot
v x odt  v x ot 0f  vx ot f  v x o0  vx ot f
t
0
Si ricava
x(t f )  x o  vx ot f
Questa relazione è valida comunque noi scegliamo l’istante tf in cui
vogliamo smettere l’osservazione del moto.
Si può sopprimere l’indice f
Si ottiene così la legge oraria del moto uniforme:
x(t)  x o  vx ot
G.M. - Edile A 2002/03
Considerazioni
• La legge oraria trovata è soluzione dell’equazione differenziale:
x(t)  x o  vx ot
dx
 v xo
dt
con v xo costante reale
• è come ce l’aspettavamo, la posizione varia linearmente con il tempo :
1,20
• Osserviamo che per qualunque valore di xo, la funzione
precedente è soluzione dell’equazione differenziale.
• L’equazione differenziale non determina la costante xo, essa
viene determinata dalle condizioni iniziali (nel nostro caso
xo è proprio la posizione iniziale, a t=0s).
• L’analisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione
dell’equazione differenziale che soddisfa anche le
condizioni iniziali
0,80
x (m)
– Ci sono infinito alla uno soluzioni dell’eq. diff.
– Infatti l’equazione differenziale è del primo ordine.
1,00
0,60
tan=vxo
0,40
xo
0,20
0,00
0,00
5,00
10,00
15,
– Il numero delle condizioni iniziali pari al grado dell’eq. diff.
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Legge oraria del moto uniformemente
accelerato
• Abbiamo trovato come varia nel tempo la velocità nel caso in cui
l’accelerazione è costante:
v x (t)  v xo  a xo t
• Per arrivare alla legge oraria dobbiamo risolvere la seguente eq. diff.
dx
 v xo + a xo t
dt
con vx o e a xo costanti reali
x(t)  x o 
• Sappiamo che la soluzione di tale eq. diff. è data da:

t
x(t)  x o  (vx o  a x ot)dt  x o 
0

t

t
t
v
0
x odt
 x o  vx o dt  a x o tdt  x o  vx ot  
0
0
t
0

t
 v (t)dt
o
x
t
 a x otdt 
0
 
1 2 t
a xo 2 t 0
 x o  vx ot  12 a x ot 2
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La legge oraria del moto uniformemente
accelerato
x(t)  x o  vxo t  12 a xo t 2 È la soluzione
della eq. diff.
v x (t)  v xo  a xo t
d 2x
2  ax o
dt
con a x o costante reale
• Come già osservato in precedenza, la legge oraria precedente, per
qualunque valore delle costanti xo e vxo è soluzione dell’eq. diff.
– L’equazione differenziale non determina tali costanti:
• Esse vanno determinate utilizzando le condizioni iniziali:
– La posizione xo all’istante iniziale t=0
– La velocità vox all’istante iniziale t=0
• L’analisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione dell’eq.
diff. che soddisfa anche al problema delle condizioni inziali.
• Le due equazioni in testa alla pagina vanno interpretate come l’integrale
generale dell’equazione differenziale del moto uniformemente
accelerato e vanno poi adattate al problema specifico inserendo le
corrette condizioni iniziali.
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Grafico orario del moto uniformemente
accelerato
x(t)  x o  vxo t  12 a xo t 2
v x (t)  v xo  a xo t
• Il grafico orario del moto
uniformemente accelerato è
un arco di parabola.
• xo è la posizione all’istante
t=0s (l’intercetta con l’asse
delle ordinate).
• vxo è la velocità iniziale,
ossia la pendenza del
grafico all’istante iniziale.
• L’andamento della velocità
in funzione del tempo è
lineare.
Grafico Orario
x (m)
25
20
15
tan   v xo
10

xo
5
0
0
1
2
3
4
t (s ) 5
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Moto uniforme ed uniformemente
accelerato
• Il moto uniformemente accelerato, contiene , come caso
particolare il moto uniforme, quando cioè l’accelerazione
axo è uguale a zero.
moto uniformemente accelerato
x(t)  x o  vxo t  12 a xo t 2
v x (t)  v xo  a xo t
moto uniforme
x(t)  x o  vx ot
v x (t)  v x o
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Moto di caduta dei gravi
• Galilei ha determinato che
– in vicinanza della superficie terrestre,
– in assenza di aria
• Tutti i corpi cadono verso il basso con accelerazione g
– g non dipende dalla natura dei corpi (ferro, alluminio, legno, etc)
– g, all’interno di un volume limitato (il laboratorio), non dipende
dalla posizione del corpo.
– g, è quindi anche indipendente dal tempo (costante).
– Se il volume non è limitato
• g dipende dalla quota
• g dipende dalla latitudine, è più grande ai poli, ed è più piccola
all’equatore
• Alle nostre latitudini g vale circa g=9.81 m/s2
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