MACCHINE E AZIONAMENTI ELETTRICI
Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica
Anno Accademico 2012-2013
Macchina asincrona
Docente Prof. Francesco Benzi
Università di Pavia
e-mail: [email protected]
Macchina asincrona
Realizzato per la prima volta da Galileo Ferraris nel 1885.
Attualmente il mercato italiano dei motori elettrici in
bassa tensione è indicativamente
così suddiviso (statistiche ANIE 2000-2004) :
• Motori Asincroni Trifasi 80%
• Motori Brushless 16%
• Motori in Corrente Continua 4%
Macchina asincrona
Macchina asincrona, 4700 kW, 10000 V, 4 poli
Macchina asincrona
Macchina asincrona
Macchina asincrona, spaccato
Macchina asincrona
Rotore a gabbia di scoiattolo
Macchina asincrona
Rotore avvolto
Macchina asincrona
Rotore avvolto
Circuito equivalente della macchina asincrona
•Macchina asincrona
trifase
B
•Costruzione simmetrica
b
•Alimentazione
simmetrica equilibrata
•Funzionamento a
regime alternato
sinusoidale
•Si considera il circuito
equivalente per fase
ws
wr
Campo magnetico
rotante
Fms
a
A
c
C
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
9
Circuito equivalente di una singola fase
jws ( L s –M)
jwsM
Fms
ers
J(ws– wr)( Lr–M)
~
Is
Rs
Rr
ers(ws– wr)/ ws =sers
Ir
Vs
esr ws/(ws– wr)
~
esr
J(ws-wr)M
Fmr
Il circuito è riferito allo statore
Rapporto spire unitario > Lls= Ls - M
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
10
Rapporto spire unitario > Lls= Ls - M
N1F 1 N1F m1
L1  L 1  Lm1 

i1
i1
N 2 F 21
M 21 
i1
Se:
F 21
N1
N1  N2
N2
Lm  M 21  M
L1  L 1  M
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
11
Equazioni di una fase

vs   Rs  jws ( Ls  M ) I s  jws MI s  jws MI r


0   Rr  j (ws  wr )( Lr  M ) I r  j (ws  wr ) MI r  j (ws  wr ) MI s
w s  wr
Dividendo per s 
ws
vs  Rs  jw s ( Ls  M )I s  jw s MI s  jw s MI r


 Rr

0   s  jw s ( Lr  M ) I r  jw s MI r  jw s MI s



Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
12
Circuito equivalente (2)
v s  R s  jwsLls Is  jwsMIs  jwsMIr '


 Rr '

 jwsLlr '  Ir ' jwsMIr ' jwsMIs
0  
 s


Is
Vs
Rs
jws L ls
jwsM
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
jws Llr’
Rr’/s
Ir’
13
Circuito equivalente (3)
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Ir ’
Vs
Rm
jwsM
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
1
Rr ' (  1)
s
14
Significato dei parametri del circuito equivalente
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Ir ’
Vs
Rm
jwsM
1
Rr ' (  1)
s
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
15
Significato dei parametri del circuito equivalente
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Ir ’
Vs
Rm
jwsM
1
Rr ' (  1)
s
Vs, Is Tensione e corrente di statore per fase
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
16
Significato dei parametri del circuito equivalente
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Ir ’
Vs
Rm
jwsM
1
Rr ' (  1)
s
Vs, Is Tensione e corrente di statore per fase
Rs Resistenza statorica ( 3R sIs 2 Perdite conduttori statore)
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
17
Significato dei parametri del circuito equivalente
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Ir ’
Vs
Rm
jwsM
1
Rr ' (  1)
s
Vs, Is Tensione e corrente di statore per fase
Rs Resistenza statorica ( 3R sIs 2 Perdite conduttori statore)
Lls Induttanza relativa al flusso disperso statorico
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
18
Significato dei parametri del circuito equivalente
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Ir ’
Vs
Rm
1
Rr ' (  1)
s
jwsM
Vs, Is Tensione e corrente di statore per fase
Rs Resistenza statorica ( 3R sIs 2 Perdite conduttori statore)
Lls Induttanza relativa al flusso disperso statorico
Rm, M Ramo magnetizzante (
3R mIm 2
)
Perdite nel ferro
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
19
Significato dei parametri del circuito equivalente
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Ir ’
Vs
Rm
1
Rr ' (  1)
s
jwsM
Vs, Is Tensione e corrente di statore per fase
Rs Resistenza statorica ( 3R sIs 2 Perdite conduttori statore)
Lls Induttanza relativa al flusso disperso statorico
Rm, M Ramo magnetizzante (
3R mIm 2
)
Perdite nel ferro
Rr’, Llr’ Impedenza di rotore riportate allo statore
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
20
Significato dei parametri del circuito equivalente
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Parametro meccanico
Ir ’
Vs
Rm
1
Rr ' (  1)
s
jwsM
1
3R r(' - 1 I ) r '2
Perdite nella
s
resistenza rappresentative della
potenza meccanica totale
sviluppata dalla macchina (dal
bilancio di potenze) incluse le
perdite meccaniche.
Vs, Is Tensione e corrente di statore per fase
Rs Resistenza statorica ( 3R sIs 2 Perdite conduttori statore)
Lls Induttanza relativa al flusso disperso statorico
Rm, M Ramo magnetizzante (
3R mIm 2
)
Perdite nel ferro
Rr’, Llr’ Impedenza di rotore riportate allo statore
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
21
Significato dei parametri del circuito equivalente
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Parametro meccanico
Ir ’
Vs
Rm
1
Rr ' (  1)
s
jwsM
1
3R r(' - 1 I ) r '2
Perdite nella
s
resistenza rappresentative della
potenza meccanica totale
sviluppata dalla macchina (dal
bilancio di potenze) incluse le
perdite meccaniche.
Ir’, Rr’ … Grandezze
rotoriche riportate
Vs, Is Tensione e corrente di statore per fase
Rs Resistenza statorica ( 3R sIs 2 Perdite conduttori statore)
Lls Induttanza relativa al flusso disperso statorico
Rm, M Ramo magnetizzante (
3R mIm 2
)
Perdite nel ferro
allo statore mediante il
rapporto spire (rotore
avvolto), o il rapporto
di trasformazione delle
tensioni (rotore a
gabbia)
Rr’, Llr’ Impedenza di rotore riportate allo statore
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
22
Definizione di scorrimento di una macchina asincrona
Scorrimento s di una macchina asincrona è il rapporto fra
velocità relativa del campo rotante di statore rispetto alla velocità
meccanica di rotore e
velocità del campo rotante di statore
w  wm
s
w
[rad / s]
[rad / s]
Lo scorrimento è indipendente dall’unità di misura scelta
purché sia usata coerentemente:
n  nm [ giri / min]
f  f m [ Hz ]
s
; s
n [ giri / min]
f
[ Hz ]
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
23
Definizione di scorrimento di una macchina asincrona
Lo scorrimento può essere definito in termini di pulsazioni e frequenze
elettriche. In questo caso la velocità meccanica di rotore deve essere
riportata al suo equivalente elettrico attraverso (pp)
w1 pulsazione elettrica di statore
w1  wr [rad / s]
s
;
w1 [rad / s] wr  wm ( pp )velocità di rotore in termini elettrici
w1  wr  w2
frequenza delle grandezze elettriche di rotore
w2  s  w1
frequenza delle grandezze elettriche di rotore
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
24
Potenza e coppia nella macchina asincrona
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Circuito equivalente per fase
Ir ’
Potenza meccanica totale
Vs
Rm
jwsM
1
Rr ' (  1)
s
1
Pm  3 Rr (  1)  I r '2
s
'
Potenza elettromagnetica (Funzionamento a regime !)
1
1 s
3 Rr ' (  1)  I r '2 3 Rr ' (
)  I r '2
'
Pm
R
3(pp)
s
s
r
Ce 



Ir '2
wm
wr /( pp)
w1 (1  s) /( pp)
ω1
s
La Coppia dipende dallo scorrimento, ovvero dalle condizioni di funzionamento.
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
25
Potenza e coppia nella macchina asincrona
Macchina allo spunto (ωr = 0; s=1)
Is
Rs
jws L ls
Vs
Rm
jws Llr’
jwsM
Rr ’
Allo spunto la macchina è
alimentata, ma non ancora in
Ir ’
movimento. Non è una
condizione di regime, ma si può
1
pensare tale se si immagina di
Rr ' (  1) bloccare (frenare) il rotore per
s
un tempo sufficiente a stabilire
un regime elettrico.
w1  wr
s
1
w1
3(pp) R r ' '2
Ce 
Ir > 0 ; ωm = 0; Pm  Ce  ωm  0
ω1
s
• La coppia allo spunto è diversa da zero (macchina autoavviante).
• La velocità è nulla, e così la potenza meccanica convertita.
• L’impedenza sul lato rotorico è minima e si ha quindi un assorbimento elevato di
corrente.
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
26
Potenza e coppia nella macchina asincrona
Macchina a vuoto (ωr = ω1; s=0)
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Ir’ =0
Vs
Rm
A vuoto completo (condizione
solo ideale) la coppia resistente
è nulla e la velocità quella di
sincronismo
jwsM
w1  wr
s
0
w1
ω1
3(pp) R r ' '2
Ce 
Ir = 0; ωm =
; Pm  Ce  ωm  0
ω1
s
(pp)
• La coppia a vuoto è nulla.
• La velocità è massima nel funzionamento da motore e pari a quella di sincronismo.
• L’impedenza sul lato rotorico tende a infinito e la corrente di rotore è nulla.
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
27
Potenza e coppia nella macchina asincrona
Funzionamento nominale (ωr < ω1; 0<s<1)
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
In condizioni nominali la
velocità della macchina è vicina
ma inferiore a quella di
sincronismo
Ir ’
Vs
Rm
Pm ~>
jwsM
1
Rr ' (  1)
s
w1  wr
0 s
1
w1
3(pp) R r ' '2
Ce 
Ir > 0 ; ωm > 0; Pm  Ce  ωm  0
ω1
s
• La convenzione usata per il verso dell’energia è quella degli utilizzatori.
• Potenza meccanica convertita positiva significa funzionamento da motore.
• Valori tipici dello scorrimento vanno da 0,05 a 0,01 (per macchine di potenza nominale
crescente).
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
28
Potenza e coppia nella macchina asincrona
Funzionamento da generatore (ωr > ω1; s<0)
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Ir ’
Vs
Rm
jwsM
1
Rr ' (  1)
s
<~ Pm
La velocità del rotore supera
quella di sincronismo solo se
esso è trascinato da un motore
primo, una turbina meccanica
che fa da motore primo
w1  wr
s
0
w1
3(pp) R r ' '2
Ce 
Ir < 0 ; ωm > 0; Pm  Ce  ωm  0
ω1
s
• La potenza è negativa, ovvero trasmessa dal motore primo alla rete
• La macchina deve essere comunque collegata in rete o magnetizzata attraverso altre
•
sorgenti (es. condensatori) per operare da generatore
Il funzionamento da generatore è poco comune per la macchina asincrona.
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
29
Potenza e coppia nella macchina asincrona
Funzionamento da freno in controcampo (ωr < 0; s>1)
Is
Rs
jws L ls
Vs
Rm
jws Llr’
jwsM
Rr ’
La velocità del rotore è
negativa, cioè opposta a quella
Ir ’
del campo magnetico rotante.
Questo può accadere se si
1
invertono due fasi di
Rr ' (  1) alimentazione durante un
s
funzionamento in regime da
motore.
<~ Pm
w1  wr
s
1
w1
3(pp) R r ' '2
Ce 
Ir < 0 ; ωm > 0; Pm  Ce  ωm  0
ω1
s
• La potenza è negativa, ovvero trasmessa dal motore primo alla rete
• La macchina deve essere comunque collegata in rete o magnetizzata attraverso altre
•
sorgenti (es. condensatori) per operare da generatore
Il funzionamento da generatore è poco comune per la macchina asincrona.
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
30
Potenza e coppia nella macchina asincrona
Funzionamento da generatore (ωr > ω1; s<0)
Is
Rs
jws L ls
jws Llr’
Rr ’
Ir ’
Vs
Rm
jwsM
1
Rr ' (  1)
s
<~ Pm
La velocità del rotore supera
quella di sincronismo solo se
esso è trascinato da un motore
primo, una turbina meccanica
che fa da motore primo
w1  wr
s
0
w1
3(pp) R r ' '2
Ce 
Ir < 0 ; ωm > 0; Pm  Ce  ωm  0
ω1
s
• La potenza è negativa, ovvero trasmessa dal motore primo alla rete
• La macchina deve essere comunque collegata in rete o magnetizzata attraverso altre
•
sorgenti (es. condensatori) per operare da generatore
Il funzionamento da generatore è poco comune per la macchina asincrona.
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
31
Espressione della coppia in funzione della tensione di statore
CALCOLO SEMPLIFICATO
-Si trascura Rm
-Si utilizza un circuito equivalente semplificato.
Is
Rs
X’lr
Xls
R’r /s
Is
I0
Vs
Rs
Xls
X’lr
R’r /s
I0
Xm
Ce =
I’r
Vs
I’r
Xm
3(pp)Rr ' Vs 2
2

Rr '  
2

sω  Xs + X'r  +  R s +
 
s  


Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
32
Caratteristica meccanica della macchina asincrona
Ce
Ce max
Vs costante
f costante
Ce sp
motore
1
0
sCe max 0
w0
s
wm
generatore
Cemax
3(pp)Vs 2
=
2ω×(Z ±Rs )
sCemax = ±
Rr '
Z
Z=
X
s
+ Xr ')2 +Rs2 
+ motore
- generatore
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
33
Caratteristica meccanica della macchina asincrona
Vs costante
f costante
Ce
Ce max
motore
Punto di lavoro
a regime
Ce sp
1
0
s 0
wm w
0
s
•Il punto di lavoro si colloca nella regione
della caratteristica lineare a pendenza
negativa.
•La velocità è prossima a quella di
sincronismo e lo scorrimento prossimo a 0.
Valori tipici 0,01-0,05 (1-5%).
•Una pendenza ripida assicura che le
variazioni di velocità con il carico siano
contenute.
•In questa regione il funzionamento è
meccanicamente stabile e il rendimento
elevato.
•Punti di lavoro a sinistra del valore di coppia
massima sarebbero energeticamente
insostenibili (vedi andamento della corrente)
•La coppia di spunto deve essere superiore
alla coppia resistente a velocità nulla.
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
34
Caratteristica elettromeccanica (corrente / velocità)
Circuito equivalente semplificato.
Is
Rs
Xls
X’lr
R’r /s
Is = I0 +(- I r ')
I0
Vs
I’r
Xm
Vs
I0 = cost; Ir ' =
 Xs + X'r 
Is
Ir ’
Ce sp
I0
1
0
0
s
wm w
0
s
2

+ Rs +
Rr '
s

2
•La corrente magnetizzante è circa costante.
•La corrente rotorica decresce con lo
scorrimento.
•Alla velocità di sincronismo la corrente
coincide con I0
•Allo spunto la corrente assume valori 4-7
volte superiore alla corrente in condizioni
nominali.
•Punti di lavoro a sinistra del valore di coppia
massima sarebbero energeticamente
insostenibili (vedi andamento della corrente)
•La coppia di spunto deve essere superiore
alla coppia resistente a velocità nulla.
•NB. I modulo di Is è dato da una somma
vettoriale.
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
35
Variazione della resistenza rotorica
Ce
Is
Ce max
Ce sp3
Rr’ crescente
Rr’ crescente
Ce sp2
Punto di lavoro
a regime
Ce sp1
I0
1
0
sCe max3
'
sCe max2 sCe max1
'
0
w0
s
1
0
s
0
s
wm w
0
'
Rr1 < Rr2 < Rr3
•Cemax non dipende da Rr’.
•La coppia di spunto aumenta con Rr’.
•Il punto di lavoro dipende da Rr’: la
sua variazione è un metodo di
regolazione della velocità
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
•La corrente di spunto diminuisce con
Rr’.
36
Avviamento della macchina asincrona
Problemi e tecniche di avviamento
• L’avviamento della macchina asincrona alla tensione e frequenza di rete può
•
•
•
•
rappresentare un problema a causa del valore elevato della corrente assorbita (5-10
volte la corrente nominale), soprattutto se la sua durata supera i tempi compatibili con
le sue caratteristiche termiche (classe degli isolanti).
In questo caso può essere previsto un dispositivo di protezione.
Tecniche per limitare la corrente assorbita all’avviamento da rete
Inserimento di una resistenza rotorica aggiuntiva durante l’avviamento (macchina a
rotore avvolto)
Riduzione della tensione statorica solo in fase di avviamento
•Resistori variabili, autotrasformatore, regolazione statica di tensione
•Commutazione stella-triangolo
Impiego della doppia gabbia
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
37
Avviamento della macchina asincrona
Rotore avvolto
Impiego del reostato di avviamento
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
38
Avviamento della macchina asincrona
Rotore a gabbia
Impiego della tensione ridotta
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
39
Avviamento della macchina asincrona
Rotore a gabbia
Impiego della tensione ridotta
Commutazione stella-triangolo
Per i motori la cui tensione nominale, per ciascuno dei
suoi avvolgimenti statorici, sia uguale alla tensione
concatenata della linea di alimentazione.
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
40
Avviamento della macchina asincrona
Rotore a gabbia
Impiego della tensione ridotta
Variatore statico di tensione
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
41
Avviamento della macchina asincrona
Rotore a doppia gabbia
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
42
Avviamento della macchina asincrona
Rotore a doppia gabbia
Linee di flusso concatenate
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
43
Avviamento della macchina asincrona
Rotore a doppia gabbia
Caratteristica risultante
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
44
Coppia nell’ipotesi di flusso costante
Rs
X’lr
Xls
R’r /s
Is
I0
Vs
Es
I’r
Xm
Il flusso della macchina è
proporzionale a Es.
L’ipotesi di flusso costante si
verifica alternativamente se:
•Vs è costante e si trascurano Rs e
Xls (rete, circuito semplificato);
•Tenendo conto di Rs e Xls si regola
Vs in modo che Es si mantenga
costante (alimentazione da un
inverter e regolazione V/f).
3(pp)sRr ' Es 2
Ce =
2
2

ω Rr ' +  sX'r  


Cemax
3(pp)Es 2
=±
2ωXr '
sCemax = ±
Rr '
Xr '
Vi è simmetria fra la caratteristica da motore e da
generatore.
+ motore
- generatore
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
45
DIAGRAMMA CIRCOLARE
Circuito equivalente semplificato
DIAGRAMMA CIRCOLARE
Al variare di s da 0 a ∞ il vettore I21 descrive una semicirconferenza
DIAGRAMMA CIRCOLARE
La corrente complessivamente assorbita è data I1=I0+ I21
Diagramma per il circuito approssimato
DIAGRAMMA CIRCOLARE
La corrente complessivamente assorbita è data I1=I0+ I21
Diagramma considerando le cdt sullo statore
DIAGRAMMA CIRCOLARE
A meno di una costante le potenze attive sono rappresentate dalle componenti verticali
dei vettori corrente
DIAGRAMMA CIRCOLARE
La retta (b) individua le perdite nello
statore (s=∞) La potenza totale
assorbita nei vari punti di
funzionamento è suddivisa in
segmenti proporzionali:
PB potenta totale assorbita
di cui:
CB perdite a vuoto
EC perdite nel rame di statore
PE potenza totale trasferita al rotore
DE perdite nel rame di rotore
PD potenza meccanica resa
Trasformazioni nella macchina asincrona
Statore
B
A
C



2
3




1
0
1
2
1

2
3
2
1
2
1 
 
2

3

2 

1 
2 
Q
D
Г
C 0  0
Gli avvolgimenti di statore si trasformano su un sistema di riferimento bifase D,Q fisso
rispetto ad A,B,C
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
52
Trasformazioni nella macchina asincrona
Rotore
wr t
c
2
4 

cos(w
t
)
cos(w
t

)
cos(w
t

)
r
r
r

3
3


2
2
4 
-sen(-wr t ) -sen(-wr t  ) -sen(-wr t  )

3
3
3 


1
1
1




2
2
2
C 0  wr t 
q
d
• Gli avvolgimenti di rotore si trasformano su un sistema di
riferimento bifase d,q rotante rispetto ad a,b,c ad una velocità
pari a –ωr t , in modo che D,Q e d,q si trovano entrambi su un
sistema fisso
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
γ
53
Equazioni della macchina asincrona nel sistema trasformato
[R]
v D  RD
v   0
 Q  
v d   0
  
v q   0
0
RQ
0
0
[L]
0
0
Rd
0
0  i D   LD
0 LDd 0   i D 
0  iQ   0
LQ
0 LQq  d iQ 









0 id
L dD 0
Ld
0 dt id
  
  
Rq   iq   0 L qQ 0
Lq   iq 
[G]
Q
 0
 0
 ωr 
 0

L dD
Avvolgimenti trasformati
PSEUDOSTAZIONARI
q
J
d
D
0
0
-L qQ
0
0
0
0
Ld
0  iD 
 
0  iQ 
-Lq   i d 
 
0   i q 
dwm
 Ce  Cr
dt
Ce  ( pp) i  G i   ( pp )   D i q  Q i d 
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
T
54
Equazioni della macchina asincrona nel sistema trasformato: sintesi
0
Mp
0  iD 
v D  R1  L1p
v  
 i 
0
R

L
p
0
Mp
1
1
 Q  
 Q
v d   Mp
wr M
R2  L2 p
wr L2   id 
  
 
v

w
M
Mp

w
L
R

L
p
 q  
r
r 2
2
2 
 iq 
Jpwm  Ce  Cr
Ce  ( pp ) M  ID i q  IQ i d 
L1 = LD = LQ
Autoinduttanze di statore
L2 = Ld = Lq
Autoinduttanze di rotore
M = M Dd = M dD = M Qq = M qQ
Mutue induttanze fra avvolgimenti di statore
e di rotore
Asincrono – Circuito equivalente – Francesco Benzi
55
Coppia istantanea
Ce  ( pp ) M ID i q  IQ i d 
ID 
3
IQ 
3
2
2
2I A cos(wt   )
2I A cos(wt   

)
2
Id 
3
Iq 
3
2
2
2I a cos(wt  k )
2I a cos(wt  k 

)
2




Ce  3( pp )I AIa M cos(wt   )cos(wt  k  )  cos(wt    )cos(wt  k ) 
2
2


 3( pp )I AIa M sen (wt  k )  (wt   ) 
 3( pp )I AIa M sen  k   
costante
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56
Induttanze della macchina reale
LA = LB = LC  Ls costanti (macchina isotropa)
La = Lb = Lc  Lr costanti (macchina isotropa)
M AB = M BC = M CA  Ms costanti (macchina isotropa)
M ab = M bc = M ca  Mr costanti (macchina isotropa)
M aA = M Aa = M rs cosr
2 



3 

2 

M cA = M Ac = M rs cos  r  
3 

MaB  ... ecc.
M bA = M Ab = M rs cos  r
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57
Induttanze della macchina reale: trasformazioni
LDQ   C0 LABC C0 
T
Ldq   C Labc C 
T
LDQdq   LdqDQ   C0 LABCabc C 
T

LD  LQ  L1  Ls  Ms
Ld  Lq  L2  Lr  M r
LDd  LQq  M 
3
2
Mrs
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58