Riconnessione magnetica 3D in
plasmi non colisionali
D. Borgogno, D. Grasso, F. Porcelli
Burning Plasma Research Group, Politecnico di Torino e
INFM
F. Califano, F. Pegoraro
Dip. di Fisica, Università di Pisa
D. Farina
Ass. EURATOM-ENEA-CNR, Milano
Outline
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•
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
•
Motivazioni
Equazioni del modello
Codice numerico
Geometria 3D:
Perturbazioni a singola elicità
Perturbazioni a doppia elicità
Conclusioni
Motivazioni (1)
• Negli ultimi anni la riconnessione magnetica in regimi non collisionali
è stata ampiamente analizzata nell’ambito di modelli fluidi 2D
•
•
Legge di Ohm generalizzata:

 1 
 me dJ 1
E  v  B  J  2
 pe
c
ne dt ne
Lunghezze di scala caratteristiche
c
Electron skin depth
de 
 pe
s 
Te
i
Ti
Ion sound Larmor radius
• In regimi non collisionali, l’inerzia elettronica è responsabile del processo di
riconnessione, rilassando il vincolo di congelamento delle linee di campo e
fornendo l’impedenza necessaria allo sviluppo di un campo elettrico in direzione
parallela al campo magnetico
Motivazioni (2)
• In un gran numero di lavori è stato mostrato che, partendo da
equilibri 1D con grandi valori del parametro D’, il processo di
evoluzione non lineare di isole magnetiche instabili è accompagnato
dallo sviluppo di scale molto piccole (inferiori alla lunghezza di scala
inerziale)
• La comparsa di queste piccole lunghezze di scala può essere messa
in relazione con la presenza di speciali campi, che si conservano
lagrangianamente e che impongono importanti vincoli topologici
durante l’evoluzione di instabilità di riconnessione.
• L’approccio allo stato saturato nella riconnessione non collisionale è
stato associato ad un processo di phase mixing di tali campi
conservati.
Motivazioni (3)
• In geometria 3D le proprietà di conservazione cambiano.
In che modo questi cambiamenti influenzano il processo
di riconnessione?
• In geometria 3D l’hamiltoniana per le linee di campo
magnetico non è più integrabile. Qual è l’effetto della
stocasticità delle linee di campo sul processo?
• Come si comportano gli strati di corrente in presenza di
stocasticità?
Equazioni del modello (1)

 


   d e  
   s U
2
2
  ,  d e     s U ,  
t
z
2
U

2
 
  ,U      , 
t
z
2


con
 
 
ex  ey
x
y
 f , g   ez   f   g
 
U   
J : corrente
 : stream function
U : vorticità



B  Bz ez   ( x, y)  ez
2
J   
 
v  ez  
2
2

Equazioni del modello (2)
G
    G 
   , G  
t
z
  d e  2  G  G  / 2
d e  s   G  G  / 2
dove
G    de J  de  sU ,     
2
s
de

• Conservazione dell’energia

H   dxdydz     d e  2   s  2
2
2
2
2

Equazioni del modello (3)
• Geometria 2D


  0
 z

G
   , G   0
t
C   dxdyh G 
G conservano la propria
topologia
2 famiglie infinte di Casimirs
• Geometria 3D
C   dxdydzG ,

C   dxdydz G  G
2
2

Geometria 3D – codice numerico (1)
•
Le equazioni del modello possono essere riscritte nella forma:
G 
 
 v   G 
t
z
in cui v  x
 
 
s

, v y 
, v z  
y
x
de
• Applicando uno schema ai volumi finiti si ottengono le equazioni di evoluzione
temporale per i valori medi dei campi G
 1  
G
1 

dV
 v   G dS 

t
DV
DV z
in cui
1
G x  
 G dV , DV  DxDyDz
DV DV
Geometria 3D – codice numerico (2)
• I valori medi dei campi G sono fatti avanzare nel tempo
attraverso uno schema esplicito al terzo ordine Adams-Bashford.
Mediante un metodo che utilizza Fast Fourier Transform è possibile
ricostruire il valore dei campi sui punti griglia.
• Il codice è stato parallelizzato attraverso la libreria MPI, secondo
uno schema per cui solo la direzione z è distribuita tra i diversi
processori.
Risultati 3D: perturbazioni a singola
elicità (1)
•  eq ( x)  0.48 cos x ; de  s  0.24
• Lx  2 , Ly  4 , Lz  32 ;
Dde  1 : riconnesione “veloce”
• Perturbazione a singola elicità:
~ ( x, y, z, t )  ˆ ( x) exp(ik y y  ik z z )
k y  2m / Ly , k z  2n / Lz , m  1, n  1
• Questo caso è equivalente a un problema 2D asimmetrico, con due
superfici razionali poste dove
con
d eq ( x)
k
 z
dx
ky
Risultati 3D: perturbazioni a singola
elicità (2)
Risultati 3D: perturbazioni singola
elicità (3)
• Il tasso di crescita lineare per i modi asimmetrici ( asym )
non è
sostanzialmente diverso da quello per i modi 2D simmetrici ( sym )
k
ky
 asym   sym  O( z )
• Non linearmente compaiono modi con la stessa elicità della perturbazione di
partenza. Questi modi crescono in accordo con la teoria quasilineare
Risultati 3D: perturbazioni a singola
elicità (4)
•
E’ possibile identificare nuovi invarianti Lagrangiani
G *
   * , G *   0
t
 *  d e  2 *  G*  G*  / 2
d e  s   G *  G*  / 2
in cui
G *  G 
kz
x
ky
 *    
kz
x
ky
k
*   z x
ky
 *  const

B   *  0
superfici magnetiche
Risultati 3D: perturbazioni a singola
elicità (5)
•
Analogamente al caso 2D simmetrico, l’avvezione di G  ad opera dei campi
di moto assocciati alle stream functions  conduce al phase mixing
dei due invarianti lagrangiani.
caso asimmetrico
caso simmetrico
Risultati 3D: perturbazioni a singola
elicità (6)
•
Come mostrato in geometria 2D, ci aspettiamo, che nonostante la
dinamica hamiltoniana e la presenza di vincoli topologici, il sistema possa
raggiungere un nuovo stato di equilibrio magnetico.
Riconnessione 3D: perturbazioni a
singola elicità (6)
•
•
Perturbazioni a singola elicità in geometria 3D non hanno una parità
definita nell’intorno delle superfici magnetiche risonanti. Il flusso di plasma
associato con queste perturbazioni, quindi, non presenta punti di
stagnazione nei punti ad X e ad O delle isole magnetiche.
Punti ad X e ad O mostrano una deriva non lineare lungo la direzione x
con la velocità fluida:
vX  


, vO  
y X
y O
Risultati 3D: perturbazioni a elicità
multipla (1)
•  eq ( x)  0.48 cos x ; de  s  0.24
• Lx  2 , Ly  4 , Lz  32 ;
Dde  1 : riconnesione “veloce”
• Perturbazione a doppia elicità:
~ ( x, y, z, t )  ˆ ( x)exp(ik y y  ik z z )  exp(ik y y  ik z z )
con
k y  2m / Ly , k z  2n / Lz , m  1, n  1
• Linearmente le superfici razionali giacciono dove:
d eq ( x)
k
 z
dx
ky
Risultati 3D: perturbazioni a elicità
multipla (2)
Risultati 3D: perturbazioni a elicità
multipla (3)
•
Non linearmente appaiono nuove elicità. I loro tassi di crescita mostrano
un buon accordo con la teoria quasi lineare.
Risultati 3D: perturbazioni a elicità
multipla (4)
•
•
Le regioni in cui la
corrente raggiunge i
valori massimi si spostano
al variare di z lungo le
superfici cilindriche
(isosuperfici di corrente)
E’ evidente la
separazione dei picchi di
corrente a tutti i piani
z=const
Risultati 3D: perturbazioni a elicità
multipla (5)
Risultati 3D: perturbazioni a elicità
multipla (6)
•
•
A tempi fortemente non lineari i
massimi di corrente non traslano con
velocità fluida, ma il loro moto è
conseguenza dell’intensa interazione
tra modi con differenti elicità.
Per effetto delle interazioni non
lineari la struttura a due canali di
corrente, propria della fase non
lineare iniziale, è transita ad una
struttura ad un unico canale.
Risultati 3D: perturbazioni a elicità
multipla (7)
Geometria 3D: perturbazioni a
elicità multipla (8)
•
Il modello che studiamo prevede un campo magnetico del tipo:



B( x, y, z, t )  B0ez   ( x, y, z, t )  ez
con
B0  const
• In coordinate cartesiane le linee di campo magnetico sono parametrizzate
dal sistema di equazioni:
dy 1  By


dz B0 x Bz
dx
1  Bx


dz
B0 y Bz

• Rappresentano le eq. di Hamilton per un sistema dinamico con Hamiltoniana
B0
che si muove, nel “tempo” z, nello spazio delle fasi rappresentato dalle variabili
canonicamente coniugate x e y
Geometria 3D: perturbazioni a elicità
multipla (9)
• Il sistema precedente può essere trasformato in un equivalente sistema autonomo
a due gradi di libertà, la cui hamiltoniana è data da:
con
•
H ( x , y, z ,  )   ( x, y, z ) / B0    const  0

x  x, y  y , z  z ,   
B0
Le nuove eq. di Hamilton diventano:
H d H
dy H dx

,

,

y
dz x dz
dz z
• Attraverso l’integrazione numerica di queste equazioni, in cui  è fornita ad
ogni tempo fisico t dal codice fluido, siamo in grado di conoscere la struttura
del campo magnetico al variare del tempo.
Geometria 3D: perturbazioni a elicità
multipla (10)
•
In fase lineare, in cui le due perturbazioni inizialmente imposte crescono
indipendentemente, il campo magnetico non mostra alcun segno di caoticità
Geometria 3D: perturbazioni a elicità
multipla (11)
•
All’inizio della fase non lineare si manifestano i primi segni di caoticità
nell’intorno delle separatrici.
Geometria 3D: perturbazioni a elicità
multipla (12)
•
Al crescere delle perturbazioni, le superfici regolari che separano le regioni
caotiche sono sempre più fortemente perturbate e alla fine distrutte.
Comparsa di
stocasticità globale
Geometria 3D: perturbazioni a elicità
multipla (13)
•
Al crescere del tempo la regione stocastica continua a riempire regioni
sempre più ampie dello spazio ….
Geometria 3D: perturbazioni a elicità
multipla (14)
•
… non solo per effetto delle perturbazioni inizialmente imposte …..
Geometria 3D: perturbazioni a elicità
multipla (15)
•
… ma anche per effetto di tutte le perturbazioni di ordine superiore che si
generano per interazioni non lineari.
Geometria 3D: perturbazioni a elicità
multipla (16)
•
Attraverso il calcolo degli
esponenti di Liapunov per le
traiettorie stocastiche, siamo in
grado di dare una misura
quantitativa del grado di caoticità
del campo magnetico.
Conclusioni e work in progress
• Modi a singola elicità sono modi 2D obliqui. I punti ad X e ad O
delle isole magnetiche corrispondenti traslano nonlinearmente con
velocità fluida.
• L’interazione non lineare tra modi con elicità multipla genera nuove
elicità la cui evoluzione temporale iniziale è consistente con la teoria
quasi lineare.
• Forti interazioni non lineari tra elicità differenti modificano
profondamente la topologia degli strati di corrente e vorticità.
• La struttura del campo magnetico evidenzia un alto grado di
stocasticità.
• Come si distribuisce la corrente all’interno delle regioni stocastiche?
• E’ possibile raggiungere uno stato finale saturato in presenza di
perturbazioni a elicità multipla?