Grandezze scalari e vettoriali
•
•
•
•
•
•
•
•
Massa
Tempo
Temperatura
Pressione
Posizione lungo un asse (linea)
Volume
Lavoro
Energia
•
Mentre per rappresentare una grandezza scalare è sufficiente un numero (
con le relative unità di misura), per rappresentare una grandezza vettoriale
sono necessari tre parametri:
–
–
–
•
•
•
•
•
•
•
•
Spostamento
Posizione
Velocità
Accelerazione
Forza
Quantità di moto
Impulso
Momento della quantità di moto
il modulo
la direzione
ed il verso
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I vettori
•
•
•
Quando si ha a che fare con un problema in fisica conviene sempre fare un
disegno, uno schizzo.
Un vettore si rappresenta con una freccia per indicare la direzione ed il verso
del vettore. La lunghezza della freccia rappresenta invece il modulo del
vettore.
Vettori paralleli (stesso verso e
stessa direzione) e con lo stesso
modulo sono uguali.
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Il vettore spostamento
• Lo spostamento è l’esempio più immediato di grandezza vettoriale
• Consideriamo un punto materiale in moto su un piano
– All’istante iniziale to il punto di trova in Po. all’istante t1 nel punto P1
– Lo spostamento subito dal punto materiale nell’intervallo tra to e t1 è
rappresentato dal segmento orientato PoP1(a)
– Come appare dalla figura: lo spostamento è caratterizzato da
• un modulo : la distanza tra Po e P1
• una direzione: quella della reta passante per Po e P1
• un verso: quello da Po a P1
• Tutti i vettori, non solo lo spostamento possono essere rappresentati
con un segmento orientato.
P1
a
Po
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Il vettore spostamento
• Due vettori saranno uguali se e solo se
–
–
–
•
hanno lo stesso modulo
la stessa direzione
lo stesso verso
Tutti i segmenti orientati paralleli al segmento PoP1 di pari lunghezza
rappresentano lo stesso vettore
• In alcuni casi si parla di punto di applicazione del vettore: è il punto da cui
inizia il segmento orientato.
•
Nel caso dello spostamento il punto di applicazione può essere fatto coincidere con
il punto di partenza Po
P1
a
a
a
Po
a
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Il vettore spostamento
• Supponiamo ora che all’istante di tempo tempo t2. successivo a t1, il
punto materiale abbia raggiunto P2.
• Lo spostamento nell’intervallo tra t1 e t2 sarà rappresentato dal
segmento orientato P1P2 ( b )
• Lo spostamento complessivo nell’intervallo tra to e t2 sarà
rappresentato dal segmento orientato PoP2 ( c )
• Il vettore c è la somma di due vettori a e b
P1
b
a
P2
c
Po
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Somma di due vettori
Regola del parallelogramma
Si riporta a partire da un punto Po il primo vettore ( a), dalla punta del primo
vettore si riporta il secondo vettore ( b), il vettore somma c si ottiene
collegando il punto iniziale del primo vettore con il punto finale del secondo
vettore
Ma posso fare anche il contrario: a partire da Po riporto il secondo vettore ( b)e
poi dal suo estremo riporto il primo vettore ( a). Il vettore somma c si ottiene
collegando il punto iniziale con il punto finale.
La somma dei due vettori coincide con la diagonale del parallelogramma
costruito coni due vettori.
P1
P1
•
•
•
b
a
P2
P2
c
c
Po
c
a
Po
b
b
a
a
b
c = a + b = 2004/05
b+a
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Somma di due vettori
•
•
•
Regola del parallelogramma
Si riporta il primo vettore, a
partire dalla fine del primo
vettore si riporta il secondo.
Il vettore somma si ottiene
congiungendo il punto
iniziale del primo vettore
con quello finale del
secondo vettore
y
x
La somma è commutativa, posso
invertire il ruolo del primo vettore con
il secondo
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La somma di più vettori
d
a
b
c
Po
• Se si devono sommare più di due vettori…. a partire da un punto scelto
arbitrariamente Po si riporta il primo vettore, dall’estremo del primo
vettore si riporta il secondo, dall’estremo del secondo si riporta il terzo,
e così di seguito. Il vettore somma sarà rappresentato dal segmento
orientato che parte dal punto iniziale del primo vettore, Po ,e finisce
nel punto finale dell’ultimo vettore.
• La somma di vettori gode della proprietà associativa e distributiva
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Prodotto di un vettore per uno scalare
• Il risultato del prodotto di un vettore, a , per uno scalare k
b = ka
• è
– Un vettore
b , di
• Modulo pari a valore assoluto di k volte il modulo del vettore a
• Direzione quella del vettore a
• Verso: quello di a se k è positivo, quello opposto se k è negativo
a
a
b = 3a
b = -a
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Differenza tra vettori
• La differenza tra vettori
d = a-b
• Si definisce come la somma tra d = a + (-b)
• La differenza tra due vettori è la seconda delle due diagonali del
parallelogramma costriuto con i due vettori.
-b
d = a-b
a
Po
b
P1
b
c=a+b
P2
a
d = a-b
c=a+b
a
b
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Versori
• Sono vettori di modulo unitario
• I versori non hanno dimensioni
Indichiamo con u a il versore del vettore a,
con a il modulo del vettore a, allora si può scrivere:
a = au a
infatti au a ha lo stesso modulo, la stessa direzione e
lo stesso verso del vettore a , pertanto è uguale al
vettore a.
a
ua
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Vettori componenti di un vettore
•
•
Qualunque vettore a può essere
pensato come somma di due
vettori a x e a y , il primo
parallelo all’asse x, il secondo
all’asse y
a x e a y sono i vettori
componenti di a .
y
a = ax + ay
a
ay
ax
x
N.B. Nello spazio i vettori
componenti sono tre: a x, a y
e az
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Le componenti cartesiane
• Definizione delle componenti cartesiane attraverso i vettori
componenti
+modulo del vettore componente a x se a x concorde con l'asse x
ax =
-modulo del vettore componente a x se a x discorde con l'asse x
ay =
+modulo del vettore componente a y se a y concorde con l'asse y
-modulo del vettore componente a y se a y discorde con l'asse y
quadrando e sommando memmbro a membro
ax = a cos j
ay = asin j
y
ax2 + ay2 = a 2 cos2 j + a 2 sin 2 j = a 2 (cos2 j + sin 2 j )
ß
a = ax + ay
a
j
a = ax2 + ay2
ay
j = arctan
ax
ay
ax
x
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Somma di vettori usando le componenti
(A + B) x = A x + Bx
(A + B) y = A y + By
Ax
Bx
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Significato di una relazione vettoriale
å F = ma
(å F) = å F
(å F) = å F
x
x
( ma ) x = ma x
x
y
( ma ) y = ma y
Due vettori sono uguali se sono uguali le componenti
åF
åF
x
= ma x
y
= max
Un’equazione vettoriale
corrisponde a due (nel piano),
tre (nello spazio) equazioni
scalari
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Un’automobile viaggia verso est per 50 km, poi verso nord per 30 km e
infine in direzione di 30° a est rispetto al nord per 25 km.
Si disegni il diagramma dei vettori e si determini lo spostamento totale
dell’auto dal punto di partenza.
Applicaz
ione
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La lancetta dei minuti di un orologio a parete misura 10 cm dall’asse alla
punta. Qual è il vettore spostamento della punta
dal quarto d’ora alla mezz’ora
durante la mezz’ora successiva
durante l’ora successiva
Applicaz
ione
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Il vettore B sommato al vettore A da per risultato 6.0i+1.0j. Se si sottrae
B da A il risultato è -4.0i+7.0j. Quant’è il modulo il modulo di A.
Applicaz
ione
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Sono date le componenti di 4 vettori a,b,c,d. Determinare per ciascuno
di essi l’angolo formato con l’asse delle x:
1)
ax=3
ay=3
2)
bx=-3 by=-3
3)
cx=-3 cy=3
4)
dx=3
dy=-3
Applicaz
ione
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Moto in tre dimensioni
• Traiettoria: luogo di punti via via occupati
•
•
•
•
•
dal punto materiale
La posizione del punto materiale viene
individuato dal vettore posizione
Il vettore posizione rappresenta lo
spostamento a partire dall’origine per
raggiungere la posizione del punto materiale
Legge oraria: posizione in funzione del
tempo.
Le componenti cartesiane del vettore
posizione sono le coordinate del punto
materiale
Il moto nello spazio è la composizione di
tre moti rettilinei dei punti proiezione
sugli assi coordinati
r = r(t) Û
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
Equaz.
parametriche
della
traiettoria
r(t) = x(t)u x + y(t)u y + z(t)u z
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La velocità vettoriale istantanea
•
•
•
Si fissa l’istante t
Si fissa un intervallo Dt maggiore di zero
Si calcola la velocità media nell’intervallo Dt
•
La velocità media è un vettore perché prodotto di
uno scalare per un vettore
•
Si definisce la velocità istantanea come
v = lim Dt®0
•
•
•
r ( t + Dt ) - r ( t )
Dt
Dr r ( t + Dt ) - r ( t )
vm =
=
Dt
Dt
dr
=
dt t
La velocità vettoriale tende ad assumere la
direzione tangente alla traiettoria nel punto P(t).
Il verso è quello del moto.
La velocità vettoriale è la derivata del vettore
posizione valutata all’istante t.
Attenzione è la
derivata di un vettore
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La velocità riferita alla traiettoria
•
•
•
Indichiamo con Ds il percorso effettuato sulla traiettoria
dal punto materiale.
Osserviamo che per
Dt ® 0 anche Ds ® 0
La velocità media può essere scritta:
vm =
Dr Ds Dr
=
Dt Dt Ds
Ds
è la velocità scalare media in Dt
Dt
•
Il limite per Dt che tende a zero ci darà la velocità scalare istantanea.
v = lim Dt ®0
•
Ds
è la velocità scalare istantanea
Dt
Supponiamo di poter calcolare il limite del
rapporto incrementale nel seguente modo:
v = lim Dt®0
Dr æ
Ds öæ
Dr ö
= ç lim Dt®0 ÷ç lim Ds®0 ÷
Dt è
Dt øè
Ds ø
modulo
direzione
e verso
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La velocità riferita alla traiettoria
lim Ds®0
Dr
=1
Ds
•
Osserviamo che
•
La lunghezza dell’arco, per Dt, o Ds che tende a
zero diventa uguale alla lunghezza della corda
lim Ds®0
•
•
•
Dr
Ds
è un vettore di modulo
unitario (versore)
Abbiamo già osservato che lo spostamento, per Dt che tende a zero, si dispone
lungo la direzione della tangente alla traiettoria nel punto considerato nel verso
del moto.
Dr
Quindi possiamo porre
u versore tangente
lim Ds®0
La velocità istantanea può essere scritta:
Ds
=u t
t
v = vut
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Le componenti cartesiane della velocità
• Abbiamo definito la velocità come v =
dr
dt
• Come tutti i vettori la velocità può essere scritta utilizzando le sue
componenti cartesiane come v = vx u x + vy u y + vz u z
• Ricordiamo che r = xu x + yu y + zu z
• Calcoliamo la derivata prima di
dr d
d
d
d
= ( xu x + yu y + zu z ) = xu x + yu y + zu z =
dt dt
dt
dt
dt
du y dz
du z
dx
du x dy
= ux + x
+ uy + y
+ uz + z
=
dt
dt dt
dt dt
dt
v=
=0
=
=0
=0
dx
dy
dz
u x + u y + uz
dt
dt
dt
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Componenti cartesiane della velocita
• Confrontando l’ultima espressione con quella della velocità espressa in
termini delle sue componenti cartesiane si ottiene
v = v x u x + v y u y + vz u z
Þ
v =
dx
dy
dz
ux + uy + uz
dt
dt
dt
dx
dt
dy
vy =
dt
dz
vz =
dt
vx =
• La componente x della velocità dipende solo dalla coordinata x della
posizione, la componente y dalla coordinata y e la componente z dalla
coordinata z.
• Le componenti non si mischiano
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Le componenti della velocità nella
rappresentazione polare
• La rappresentazione polare viene usata per individuare la posizione di
un punto in un piano, quindi si applica ai moti piani
y
r(t)
uq
ur
q (t)
x
r(t) = r(t)u r Þ v =
dr(t) dr(t)ur dr(t)
du
=
=
u r + r(t) r
dt
dt
dt
dt
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La velocità angolare
• Sia q(t) l’angolo formato dal vettore posizione con l’asse x all’istante t
e q(t+Dt) lo stesso angolo all’istante t+Dt
• Nell’intervallo Dt l’angolo è variato di Dq=q(t+Dt)-q(t)
Dq q (t + Dt) - q (t)
w
=
=
• Si definisce velocità angolare media nell’intervallo Dt
m
Dt
Dt
• La velocità angolare istantanea si ottiene passando al limite per Dt che
tende a zero
Dq
q (t + Dt) - q (t) dq
w
=
lim
=
lim
=
•
Dt®0
Dt®0
Dt
y
Dt
dt
t
ripetendo l'operazione di limite per
tutti gli istanti di tempo ottengo:
r(t)
uq
ur
r(t + Dt)
w (t) =
q (t) q (t + Dt)
x
dq
dt
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L’accelerazione angolare
• Sia w(t) la velocità angolare all’istante t
e w(t+Dt) quella all’istante t+Dt
• Nell’intervallo Dt la velocità angolare è variata di Dw=w(t+Dt)-w(t)
• Si definisce accelerazione angolare media nell’intervallo Dt
Dw w (t + Dt) - w (t)
am =
=
Dt
Dt
• L’accelerazione angolare istantanea si ottiene passando al limite per Dt
che tende a zero
Dw
w (t + Dt) - w (t) dw
a
=
lim
=
lim
=
• y
Dt®0 Dt
Dt®0
Dt
dt
t
ripetendo l'operazione di limite per
tutti gli istanti di tempo ottengo:
r(t)
uq
ur
dw d 2q
a (t) =
= 2
dt dt
r(t + Dt)
q (t) q (t + Dt)
x
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La velocità angolare e l’accelerazione
angolare
• Le definizioni della velocità angolare e dell’accelerazione angolare
sono del tutto simili a quelle della velocità ed accelerazione in moto
rettilineo uniforme
• Anche le soluzioni saranno simili:
a (t) = a o = cost Þ
a (t) = -bw Þ
1
2
q = q o + w ot + a ot 2
w = w ot + a ot
q = qo +
wo
1- e )
(
b
-bt
w = w o e-bt
a (t) = -w q Þ
2
p
q = q o cos (w pt + j o )
w = -q ow p sin (w pt + j o )
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Calcolo della derivata del versore u r
y
u r = cosq u x + sinq u y
uq = -sinq u x + cosq u y
r(t)
uq
ur
q (t)
x
du r
d cosq
d sinq
d cosq dq
d sinq dq
=
ux +
uy =
ux +
uy =
dt
dt
dt
dq dt
dq dt
=-
dq
dq
dq
dq
sinq u x + cosq u x = ( -sinq u x + cosq u x ) =
uq
dt
dt
dt
dt
du r
= w uq
dt
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Le componenti della velocità nella
rappresentazione polare
• Tornando al calcolo delle componenti della velocità nella
rappresentazione polare
dr(t)
du r dr(t)
v =
u r + r(t)
=
u r + r(t)w uq
dt
dt
dt
ß
y
dr(t)
vr =
dt
r(t)
uq
ur
vq = rw
componente trasversa
componente radiale
q (t)
x
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L’accelerazione
y
v(t + Dt)
Dv
v(t)
v(t)
v(t + Dt)
x
• Nell’intervallo Dt la velocità è cambiata sicuramente in direzione ma
anche in intensità
• L’accelerazione media nell’intervallo Dt è data da a m = Dv = v(t + Dt) - v(t)
Dt
Dt
• L’accelerazione media è un vettore
• Notare che l’accelerazione è diretta verso la concavità della curva
• L’accelerazione istantanea all’istante t si ottiene con il passaggio al
limite per Dt che tende a zero
Dv
v(t + Dt) - v(t) dv
a = lim
Dt®0
• Ripetendo il limite per tutti gli istanti di tempo
dv d 2 r
a=
= 2
dt dt
Dt
= lim
Dt®0
Dt
=
dt
t
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Le componenti cartesiane della accelerazione
2
dv
d
r
• Abbiamo definito la velocità come a =
= 2
dt dt
• Come tutti i vettori la velocità può essere scritta utilizzando le sue
componenti cartesiane come a = ax u x + ay u y + az u z
• Ricordiamo che v = vx u x + vy u y + vz u z
• Calcoliamo la derivata prima di
dv
d
d
d
d
v=
= ( v x u x + v y u y + vz u z ) = v x u x + v y u y + v z u z =
dt dt
dt
dt
dt
du y dvz
du z
dvx
du x dvy
=
u x + vx
+
u y + vy
+
u z + vz
=
dt
dt
dt
dt
dt
dt
=0
=
=0
=0
dv
dv
dvx
u x + y u y + z uz
dt
dt
dt
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Componenti cartesiane della accelerazione
• Confrontando le due espressioni
a = a x u x + a y u y + az u z
Þ
dvy
dv
dvx
a =
ux +
u y + z uz
dt
dt
dt
dvx d 2 x
ax =
= 2
dt
dt
dvy d 2 y
ay =
= 2
dt dt
dvz d 2 z
az =
= 2
dt dt
• La componente x della accelerazione dipende solo dalla componente x
della velocità, la componente y della accelerazione dalla componente y
della velocità e analogamente per la componente z.
• Le componenti non si mischiano
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Velocità ed accelerazione
• Abbiamo definito la velocità come
v(t) =
a=
dv
dt
dr
dt
dx(t)
vx =
dt
dy(t)
vy =
dt
dz(t)
vz =
dt
dv d 2 r
a=
= 2
dt dt
v = vut
dvx d 2 x
ax =
= 2
dt
dt
dvy d 2 y
ay =
= 2
dt dt
dvz d 2 z
az =
= 2
dt dt
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale vo=60m/s ad un angolo di
60° rispetto all’orizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dell’aria,
la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata).
la velocità di impatto al suolo
la durata del moto
l’altezza massima raggiunta dal proiettile.
il tempo impiegato per raggiungerla.
il valore dell’angolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata.
la gittata quando l’angolo è di 30°.
Applic
azione
y
•
Introdurre il sistema di riferimento
–
–
–
–
•
Asse x orizzontale
Asse y verticale
vo contenuta nel piano xy
Origine nel punto di lancio
vo
60°
Il corpo sarà soggetto all’accelerazione di
gravità
ax = 0
a=g
ay = -g
az = 0
Condizioni iniziali
x
xo = 0
yo = 0
v xo = vo cosq
v yo = vo sen q
zo = 0
vzo = 0
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
2
d x
2 = 0
dt
d2y
2 = -g
dt
d 2z
=0
2
dt
•
•
xo = 0
yo = 0
v xo = vo cosq
v yo = vo sen q
zo = 0
vzo = 0
Applic
ìx(t) = ( vo cosqo ) t
í
azione
v
=
v
cosq
î x
o
o
ìy(t) = ( vo sen qo )t - 12 gt 2
í
îvy = v osinqo - gt
ìz(t) = 0
í
îvz = 0
moto uniforme
moto uniformemente accelerato
moto uniforme
y
Il moto avviene nel piano xy
Le equazioni parametriche della traiettoria:
vo
x(t) = (v o cosq o )t
y(t) = (v o senq o )t - 12 gt
60°
2
Per ottenere l’equazione
della traiettoria y(x)
bisogna eliminare il tempo
x
x
t=
vo cosqo
2
x
x
y(t) = (v o senq o )
- 12 g 2
2
v o cosq o
v o cos qo
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
y(t) = x tan q o - x 2
g
2v2 o cos2 qo
del tipo
y(t) = ax + bx 2
Applic
azione
una parabola passante per l' origine!
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la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata).
æ
ö
1
x
0 = xç tan q o - g 2
÷
2
2 v o cos qo ø
è
2v2o sen qo cosqo
G = x2 - x1 =
g
x1 = 0
tan q o 2v2o cos 2 q o 2v2o cos2 q o senq o
x2 =
=
g
g
cosq o
Þ
Applic
azione
2
2v senq o cosq o
= o
g
y(t) = x tan q o - x 2
g
2
2
2v o cos qo
v2o sen 2q o
G=
= 317.8m
g
G è massima quando
sen2qo è massimo:
2qo=90°
qo=45°
y=0
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
La durata del moto
Troviamo gli istanti di tempo in cui il proiettile è al suolo y=0
1
æ
y = 0 Þ 0 = t è v osinqo - gt öø
2
Applic
azione
t1 = 0
Þ t = 2v osinqo
2
g
2vo sen qo
D = t 2 - t1 =
g
D = 10.59s
La velocità all’impatto t=t2
y(t) = v osinq ot -
v x = vo cosqo
v y = vosinq o - g
vz = 0
x(t) = v o cosq ot
2vosinq o
= -v osinq o
g
La componente y della
velocità ha cambiato di segno
Il modulo della velocità di
impatto è vo
z(t) = 0
1 2
gt
2
vx = v o cosq o
vy = v osinqo - gt
vz = 0
y=0
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
l’altezza massima raggiunta dal proiettile ed il tempo necessario per raggiungerla.
Quando il punto si trova nel punto più alto della traiettoria vy=0
v y = vosinq o - gt
vy = 0
x max
y max
Þ
0 = vosinq o - gt
Þ t3 =
Applic
azione
v osinqo
g
v2o sen qo cosqo
=
= 158.9 m
g
1 v2o sen2 qo
=
= 137.6 m
2
g
La gittata massima
v2o sen 2q o
G=
g
2
v
G max = o = 366.9 m
g
x(t) = v o cosq ot
y(t) = v osinq ot z(t) = 0
1 2
gt
2
vx = v o cosq o
vy = v osinqo - gt
vz = 0
vy = 0
La gittata per qo=30°
v2o sen 2q o v2o sen 60°
G=
=
= 317.8
g
g
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Moto del proiettile
Applic
azione
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La velocità angolare
•
Supponiamo che il punto materiale si muova
con velocità costante sulla retta x=a
L’angolo q formato dal vettore posizione con
l’asse delle x varia nel tempo
ci possiamo calcolare la velocità angolare
•
•
•
vo
Dq
q
Dq
wm =
Dt
w = lim Dt ®0
y
media
Dq
Dt
istantanea
a
w(t) =
x
dq(t)
dt
Se w varia nel tempo ci possiamo calcolare l’accelerazione angolare
Dw
am =
Dt
media
Dw dw
a = lim Dt ® 0
=
Dt
dt t
istantanea
dw(t) d 2q(t)
a(t) =
=
dt
dt 2
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