Atomi idrogenoidi: Ze Potenziale: E p r Aspetti importanti da conoscere con sicurezza: - numeri quantici e livelli energetici - funzione d’onda e distribuzione spaziale - eccitazione e transizioni (termiche e radiative) sono la base per capire la fisica degli atomi a molti elettroni, delle molecole e dello stato solido 2 Atomi idrogenoidi: descrizione classica Ze2 Potenziale: E p r Costanti del moto: - energia totale E=Ecin+Ep L pr - momento angolare (modulo) L -direzione del momento angolare sono permessi tutti i valori di E e, a parità di E, sono permessi tutti i valori di L, in modulo e direzione pt2 pt2 r 2 p2 pr2 pr2 pr2 Ecin EL 2 2m 2m 2m 2m 2mr 2m con EL L2 2mr 2 Orbita classica Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel moto classico di un elettrone con orbita circolare di raggio pari al raggio di Bohr (0,53 Å) atomo H: momento angolare massimo 50 40 30 energia (eV) 20 10 0 EL potenziale effettivo Ep+EL L2 2mr 2 potenziale centrifugo EL ao -10 energia totale E -20 -30 -40 -50 -60 0,00 energia coulombiana Ep 1,00 2,00 Ze2 Ep r 3,00 distanza dal nucleo (angstrom) 4,00 Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel moto classico di un elettrone con orbita ellittica di semiasse maggiore pari al raggio di Bohr (0,53 Å) Orbita classica atomo H: momento angolare qualunque 50 40 30 energia (eV) 20 potenziale effettivo Ep+EL potenziale centrifugo EL 10 0 -10 -20 energia totale E perielio afelio -30 -40 -50 -60 0,00 energia coulombiana Ep 1,00 2,00 3,00 distanza dal nucleo (angstrom) 4,00 Atomo di idrogeno: moto di un elettrone con semiasse maggiore dell’ellisse pari al raggio di Bohr (0,53 Å) Orbita classica orbita elettrone 0,60 p 0,40 orbita con L massimo orbita con L inferiore al massimo pper y (angstrom) 0,20 0,00 afelio perielio nucleo paf -0,20 -0,40 -0,60 -1,20 -1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00 x (angstrom) 0,20 0,40 0,60 0,80 Atomi idrogenoidi: descrizione quantistica Ze Potenziale: E p r 2 Numeri quantici: - n energia totale En= - ERZ2/n2 - l momento angolare L2 = l(l+1) 2 - ml componente di L lungo z Lz= ml - mz componente dello spin lungo z Sz= ms sono permessi solo i valori di E, L2, Lz corrispondenti ai valori interi dei numeri quantici n1 ; 0 l < n ; -l ml l Livelli energetici: diagramma di Grotrian E (eV) 4 -0.85 3 -1.5 2 -3.4 1 -13.6 rappresentazione n,l,ml ,ms> (2) (6) (10) (2) (6) (10) (2) (6) (2) 0 n 0 s -1 0 1 p +1 -2 -1 0 +1 +2 2 d ml l Atomo di idrogeno: equazione di Schrödinger 2 2 pr2 L Ze (r , , ) E (r , , ) H (r , , ) 2m 2mr 2 r (r , , ) R(r )Yl ml u (r ) ml ( , ) Yl ( , ) r 2 ml 2 ml L Yl (, ) l (l 1) Yl (, ) interpretazione fisica della “funzione d’onda z 2 2 ( r, , ) r dr dΩ probabilità di trovare l’elettrone 2 nell’elemento di volume r dr dΩ intorno al punto (x,y,z) r y |u(r)|2 dr x probabilità di trovare l’elettrone a una distanza fra r e r+dr Oggi il valore medio di (r, , ) 2si può misurare direttamente, ad es. con un Microscopio a Forza Atomica (AFM) Funzione d’onda radiale termini di energia “di posizione” termine cinetico 2 d 2u (r ) l (l 1) 2 Ze 2 E u (r ) 2m dr 2 2mr 2 r curvatura della funzione d’onda 2 d u (r ) dr 2 Eeff E u (r ) 2 funzione d’onda 2m Eeff = EL + Ep coefficiente di proporzionalità Le dimensioni atomiche conviene introdurre la “distanza ridotta ”, tale che: nao r 2Z ao è il “raggio di Bohr” ao h2 4 2e2me c 10 0 , 53 10 m 2 mec dipende solo dalle costanti naturali (h, c, e, me) che compaiono nell’equazione di Schrödinger u10 ( r ) Cre / 2 nao/Z determina la rapidità della caduta esponenziale della funzione d’onda dopo il flesso Funzione d'onda n=1 14,0 12,0 0 1 2 3 4 r (angstrom) 5 6 punto di flesso 10,0 Atomo di idrogeno: n=1 Eeff =Ep 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 -2,0 -4,0 -6,0 Energia (eV) -8,0 0,0 -10,0 -5,0 -10,0 n=1 -15,0 punto di inversione -20,0 Potenziale e livelli energetici -25,0 -30,0 0,00 1,00 2,00 3,00 r (angstrom) 4,00 5,00 6,00 - i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0 - dopo il flesso, la curvatura della funzione d’onda cambia segno e la funzione tende a zero asintoticamente Funzioni d'onda l =0 r (angstrom) 14,0 12,0 0 2 4 10,0 8 10 12 punti di flesso n=3 8,0 6,0 6 n=1 Atomo di idrogeno: l=0, n=1, 2, 3 Eeff =Ep 4,0 2,0 0,0 -2,0 n=2 -4,0 -6,0 Energia (eV) -8,0 0,0 -10,0 n=3 n=2 -5,0 - il numero di “nodi” della funzione d’onda aumenta con n -10,0 n=1 -15,0 punti di inversione -20,0 - dopo l’ultimo flesso, la funzione d’onda tende a zero asintoticamente Potenziale e livelli energetici -25,0 -30,0 0,00 - i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0 2,00 4,00 6,00 r (angstrom) 8,00 10,00 12,00 Energia (eV) Atomo di idrogeno: livelli energetici ed energia potenziale n=2, l=0 e 1 30,0 n=2, l=0 n=2, l=1 20,0 EL per l=1 10,0 Eeff per l=1 0,0 -10,0 flesso di l=0 flessi di l=1 n=1 Potenziale e livelli energetici -20,0 -30,0 0,00 n=3 n=2 2,00 4,00 6,00 r (angstrom) 8,00 10,00 12,00 Funzioni d'onda n =2; l = 0,1 r (angstrom) 10.0 0 5.0 2 4 6 8 10 12 l=1 punti di flesso 0.0 Eeff =EL+ Ep Energia (eV) -5.0 l=0 - i punti di inversione del moto classico sono punti di n=3 flesso della funzione n=2 d’onda perché E-Eeff=0 - il numero di “nodi” della n=1 parte radiale della funzione punti di inversione d’onda diminuisce con l, a parità di n 10.0 -10.0 5.0 0.0 -5.0 -10.0 -15.0 -20.0 -25.0 -30.0 -35.0 0.00 Funzione d’onda radiale n=2, l=0, 1 2.00 4.00 6.00 r (angstrom) 8.00 10.00 12.00 Espressione di u(r) per n=1, 2 r = nao/Z, quindi nao/Z determina la rapidità della caduta esponenziale della funzione d’onda dopo l’ultimo flesso l’andamento per r 0 va come rl+1 (quello di R(r) va come rl) il flesso • si “allontana” al crescere di n •si “avvicina” al crescere di Z l 0 u10 ( r ) 2 C r e / 2 n2 l 0 u20 ( r ) 1 n2 l 1 u21 ( r ) n 1 2 2 1 C r (2 ) e / 2 2 6 C r e / 2 integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1 l = 0; n =2 l = 0,1 r (angstrom) 1,2 0 1,0 n=1 l=0 2 4 6 8 10 12 Andamento vicino all’origine della funzione d’onda radiale 0,8 n=2 l=1 0,6 0,4 0,20 integrale del quadrato delle funzioni d'onda l = 0; n =2 l = 0,1 0 0,5 1 1,5 n= 1 r (angstrom ) 2 0,15 n=2, l=0 0,2 0,10 0,0 0,05 Funzioni d'onda n=1 l=0 10,0 n= 1 l =0; n =2; l = 0,1 0,00 r (angstrom) n=2 l=1 5,0 - al crescere di n, la funzione d’onda si sposta verso l’esterno 0,0 -5,0 n=2, l=0 -10,0 0 2 4 6 8 10 12 - l’andamento per r 0 va come rl integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1, 2, 3 e tutti i valori di l 1,2 1,0 n=1 l=0 n=3, l=2 0,8 n=2 l=1 0,6 0,4 integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1, 2, 3 e tutti i valori di l n=2 l=0 0,15 n=3, l=1 0,10 0,2 n=3, l=0 0,0 0 2 4 6 Funzioni d'onda 8 2 n=3 l=2 4 6 n=3 l=1 4,0 2,0 0,0 -2,0 -4,0 -6,0 10 0,05 12 r (angstrom) 0 6,0 r (angstrom) n =3; l = 0,1,2 10,0 8,0 Andamento vicino all’origine della funzione d’onda radiale n=1, 2, 3 n=3, l=0 8 10 0,00 12 0 r (angstrom) 1 2 3 4 - al crescere di n, la funzione d’onda si sposta verso l’esterno - l’andamento per r 0 va come rl u10 ( r ) 0 0 100 ( r, , ) R10 ( r )Y0 ( , ) Y0 ( , ) Ce r / ao r 1s 6,00 Dipendenza angolare: “orbitale” 1s funzione d'onda 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 -4 -3 -2 -1 0 1 z (angstrom) 2 3 4 Z u21 ( r ) 0 0 210 ( r, , ) R21 ( r )Y1 ( , ) Y1 ( , ) C (2 r / ao )e r / 2ao cos r Z andamento in funzione di x a z>00,25 2pz 0,20 0,15 funzione d'onda 0,10 X 0,05 0,00 -0,05 -0,10 andamento in -0,15 funzione di x-0,20a z<0 2pz -0,25 0,15 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 x (angstrom) 3 4 5 6 funzione d'onda 0,10 0,05 andamento in funzione di z per x = 0, y = 0 0,00 -0,05 -0,10 -0,15 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 z (angstrom) 3 4 5 6 7 8 “orbitale” atomico 2p0 7 8 211 ( r, , ) R21 ( r )Y11( , ) C (2 r / ao )e r / 2ao sen ei C (2 r / ao )e r / 2ao sen (cos i sen ) parte immaginaria parte reale _ + _ + “orbitale” atomico 2p+