Intelligenza Artificiale
Conoscenza e ragionamento incerto
Prof. M.T. PAZIENZA
a.a. 2014-2015
Conoscenza e ragionamento in
situazioni di incertezza
Incertezza come problema reale della descrizione di
problemi su cui decidere:
• Un agente può acquisire informazioni incerte
sull’ambiente
• Il problema non può essere descritto totalmente
(mancanza di alcune informazioni / numero infinito di
affermazioni possibili)
L’incertezza non è evitabile in mondi complessi, dinamici
o inaccessibili.
Incertezza
• Quando gli agenti non hanno accesso all’intera
conoscenza dell’ambiente (cartello VIETATO FUMARE
illeggibile)
• Quando gli agenti hanno una incompleta, o non totalmente
corretta, comprensione delle proprietà dell’ambiente
(simbolo nuovo di VIETATO FUMARE).
• Quando le regole sul dominio risultano incomplete in
quanto ci sono “troppe” condizioni da enumerare
esplicitamente o alcune condizioni sono ignorate.
Conoscenza incerta
Caso della diagnosi ( in qualunque settore, necessità
di prendere una decisione con conoscenza incerta)
Si è in una situazione di incertezza in quanto la lista
di situazioni e cause da descrivere non può essere
esaustiva (praticamente infinita per la mancanza di
conoscenza universale)
Logica e conoscenza incerta
Non si può usare la logica del primo ordine per gestire la
diagnosi:
• impossibilità di elencare l’insieme praticamente infinito
di antecedenti e conseguenti per evitare eccezioni
• mancata conoscenza metodologica completa
• mancata conoscenza applicativa completa
L’agente non potrà mai agire con una piena consapevolezza
di verità e correttezza, avrà solo un grado di credenza
sulla bontà delle azioni da intraprendere e dei risultati.
Incertezza
Massimizzare la misura delle prestazioni, date
le informazioni che si hanno sull’ambiente.
La cosa giusta da fare, la decisione razionale,
dipende sia dall’importanza relativa degli
obiettivi, che dalla probabilità e dal grado con
cui verranno raggiunti.
Conoscenza e ragionamento con incertezza
Teoria della probabilità
fornisce le basi per il trattamento di sistemi che ragionano con
incertezza: assegna un
valore, tra 0 ed 1, di credenza nella formula
La probabilità esprime l’incapacità dell’agente di raggiungere
una decisione definita a proposito della verità di una
formula e riassume le credenze di un agente.
Teoria dell’utilità
pesare la desiderabilità degli obiettivi e la probabilità di
raggiungerli (in quanto le azioni non sono più certe del
raggiungimento degli obiettivi)
Teoria della probabilità
Valore 0 <--> credenza non equivocabile che la
formula è falsa
Valore 1 <--> credenza non equivocabile che la
formula è vera
Valori 0,1...0,9 <--> gradi di credenza intermedi
rispetto alla verità/falsità della formula
Il “grado di verità” è oggetto della logica fuzzy
Teoria della probabilità
A cosa si applica la teoria delle probabilità?
All’incertezza - Alle possibilità
Nella teoria delle probabilità, gli enunciati non si riferiscono
direttamente al mondo, bensì esprimono la conoscenza
dell’agente.
Il vantaggio principale del ragionamento probabilistico
rispetto a quello logico consiste nel permettere all’agente di
giungere a decisioni razionali anche quando non vi è
abbastanza informazione per dimostrare che qualsiasi
azione data funzionerà.
Teoria della probabilità
La teoria della probabilità assume la stessa
assunzione ontologica della logica:
i fatti del mondo sono: veri o no
(con una certa probabilità)
Teoria della probabilità
Un valore di probabilità esprime il valore percentuale
a% di casi
indistinguibili tra loro
e considerati veri.
Il valore di probabilità è calcolato con:
• metodi statistici
• regole generali
• regole basate su informazioni ambientali
estemporanee
Definizioni di probabilità
• Approccio oggettivista o frequentista
che considera la probabilità come un’entità misurabile, legata
alla frequenza di accadimento (origine statistica) di un evento
• Approccio soggettivista
che considera la probabilità una misura del grado di attesa
soggettivo del verificarsi di un evento (schema delle scommesse)
ed ha origine cognitiva
Semantica degli enunciati
di probabilità
Nella logica del primo ordine ed in quella proposizionale,
una formula è vera o falsa a seconda dell’interpretazione
del mondo.
Nella teoria della probabilità, la probabilità che un agente si
affidi ad una proposizione dipende dalle percezioni
ricevute sino a quel momento (prova).
Le probabilità possono cambiare quando si acquisiscono
nuove prove (percezioni ricevute sino a quel momento)
Teoria della probabilità
Probabilità a priori o incondizionata (prima
dell’acquisizione della prova).
Probabilità a posteriori o condizionata (dopo
l’acquisizione delle prove)
Incertezza e decisioni
Un agente logico ha un solo obiettivo ed esegue
un piano che garantisce il suo raggiungimento
(indipendentemente da altre azioni)
Un agente probabilistico è certo di raggiungere
l’obiettivo con qualche probabilità (ed avendo
preferito alcune conseguenze tra quelle
possibili!!!).
Teoria dell’utilità
La teoria dell’utilità permette di rappresentare le
preferenze dell’agente.
Ogni stato ha un grado di utilità ( = qualità
dell’esser utile) per un agente; l’agente preferirà
di volta in volta stati con utilità più alta per lui.
L’utilità non è una proprietà dello stato
Non c’è oggettività nella scelta delle preferenze;
soggettività rispetto a ciascun agente.
Teoria delle decisioni
Le preferenze (utilità) sono combinate con le
probabilità nella teoria delle decisioni.
Teoria delle probabilità + Teoria dell’utilità
=
Teoria delle decisioni
Teoria delle decisioni
Necessità di un linguaggio formale per
rappresentare e ragionare con la conoscenza
incerta
Necessità di gestire formule con un valore di
credenza assegnato e la dipendenza di tale
valore di credenza dalla conoscenza dell’agente
Agente basato sulla teoria delle decis.
Teoria delle decisioni
L’influenza dell’ esperienza dell’agente si manifesta
nella distinzione sintattica tra
• gli enunciati della probabilità a priori e
• gli enunciati della probabilità condizionata che
comprende le prove
Estensione della logica proposizionale
Probabilità a priori P(A)
P(A) è la probabilità incondizionata o a priori
che l’evento/proposizione A sia vero in
mancanza di altre informazioni
La proposizione (che è il soggetto di un enunciato
di probabilità) può essere rappresentata da un
simbolo proposizionale P(A).
Le proposizioni includono variabili casuali.
Probabilità a priori P(A)
P(Tempo= Soleggiato)=0.7
P(Tempo= Piovoso)=0.2
P(Tempo= Nuvoloso)=0.08
P(Tempo= Nevicate)=0.02
Variabili casuali
Le variabili casuali denotano le caratteristiche del
dominio di interesse
Ogni variabile casuale X può assumere valori
possibili (x, y,…z) in un dominio predefinito
Quando si ha un vettore di valori per le probabilità
di ogni singolo stato, si parla di
distribuzione di probabilità
Teoria della probabilità
Le funzioni di probabilità devono soddisfare le seguenti
proprietà:
1. Assumere un valore compreso tra 0 ed 1
2. La sommatoria su tutti i valori possibili delle
variabili deve essere pari ad 1
3. La probabilità di proposizioni necessariamente vere
deve essere 1, quella di proposizioni necessariamente
false deve essere 0
Distribuzione di probabilità congiunta
La distribuzione di probabilità congiunta
specifica completamente le assegnazioni di
probabilità per tutte le proposizioni nel dominio
di un agente.
Si ha un insieme di variabili casuali che possono
assumere determinati valori con certe probabilità
Evento atomico
Un evento atomico è un’assegnazione di valori particolari a
tutte le variabili; è una specifica completa dello stato del
dominio.
La distribuzione di probabilità congiunta assegna
probabilità a tutti gli eventi atomici.
La specifica delle probabilità di un evento atomico può
essere molto difficile se non si dispone di grandi quantità
di dati da cui estrarre stime statistiche.
Probabilità congiunta
La probabilità congiunta è una tavola n-dimensionale con
un valore in ogni cella che fornisce la probabilità che
quello specifico stato (rappresentato da quelle variabili
casuali) si verifichi
A
B 0.04
-B 0.01
-A
0.06
0.89
Sommando lungo la riga o la colonna si ha la probabilità
incondizionata di quella variabile
Probabilità condizionata
E’ possibile fare inferenze a proposito della probabilità di
una proposizione ignota A, data la prova B, calcolando
P(A/B) (probabilità di A dato che tutto ciò che sappiamo
è B) (inferenza probabilistica)
Un’interrogazione ad un sistema di ragionamento probabilistico
chiederà di calcolare il valore di una particolare probabilità
condizionata.
Probabilità condizionata
P(A/B) è la probabilità condizionata o a posteriori
che l’evento/proposizione A sia vera dopo che si
sia verificato l’evento/proposizione B. In generale
P(A,B)=P(A/B)P(B)
fornisce la probabilità congiunta delle variabili nei
domini di variabilità delle variabili casuali.
P(A) e P(B) sono prob. incondizionate
•Probabilità di un evento P(A)
•Probabilità congiunta P(a,b,c,…n)
•Probabilità condizionata a posteriori
P(A/B) = P (A ^ B)
P(B)
Assiomi della teoria della
probabilità
0 < P ( A) < 1
P(VERO) = 1
P(FALSO) = 0
P (A v B) = P(A) + P(B) – P(A ^ B)
Probabilità
Proprietà della teoria della
probabilità
P(A) + P( ¬ A) = 1
P( ¬ A) = 1 – P(A)
P(A v ¬ A) = P(A) + P( ¬ A) – P (A ^ ¬ A)
P (Vero) = P(A) + P( ¬ A) – P (Falso)
Assiomi
Gli assiomi di probabilità
• costituiscono un punto di riferimento fisso (e
stabile) per il ragionamento
• costituiscono un limite alle credenze
probabilistiche che un agente può avere
• proteggono il ragionamento probabilistico da
credenze contraddittorie dell’agente
Regola di Bayes
P(A^B)=P(A/B)P(B)
P(B^A)= P(A^B)=P(B/A)P(A)
da cui
P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A)
e quindi la regola di Bayes
P(B/A)=P(A/B) P(B)
P(A)
che permette di fare inferenza probabilistica
Regola di Bayes
Nei ragionamenti probabilistici, si può valutare
una probabilità avendo delle informazioni su
quanto è accaduto in precedenza.
Dati due eventi A e B, se questi sono in qualche
modo correlati, è ragionevole pensare che il sapere
che uno dei due è già avvenuto possa migliorare la
conoscenza della probabilità dell'altro.
Esempio
Supponiamo di vivere a Londra e di aver notato che in inverno:
• piove (P) il 50% delle volte (p(P)=0.5)
• è nuvoloso (N) l’80% delle volte (p(N)=0.8)
• talvolta è nuvoloso ma non piove.
D’altra parte, il 100% delle volte in cui piove è anche nuvoloso
(p(N|P)=Vero=1).
Qual è la probabilità che piova quando è nuvoloso (p(P|N))?
Per la regola di Bayes si ha:
p(P|N) = p(P)p(N|P)/p(N) = 0.5 x 1.0 / 0.8 = 0.625 = 5/8.
Quindi 5/8 a Londra, quando è nuvoloso, piove.
Reti Bayesiane
Si usa una struttura di dati chiamata
rete bayesiana (o rete di credenze)
per rappresentare la dipendenza fra le variabili
e per dare una specifica concisa della
distribuzione di probabilità congiunta.
Reti Bayesiane
Le reti Bayesiane sono modelli grafici della
conoscenza in un dominio incerto. Basandosi sulla
regola di Bayes, esprimono relazioni di dipendenza
condizionale (archi) tra le variabili in gioco (nodi).
Il vantaggio principale del ragionamento probabilistico
rispetto a quello logico sta nella possibilità di giungere a
descrizioni razionali anche quando non vi è abbastanza
informazione di tipo deterministico sul funzionamento
del sistema (situazioni di incertezza).
Regola di Bayes
Le relazioni di indipendenza condizionale fra
le variabili possono semplificare il calcolo
dei risultati delle interrogazioni e ridurre
notevolmente il numero di probabilità
condizionate che devono essere specificate.
Come catturare conoscenza incerta
Assegnazione di valori di probabilità:
• Partendo da misure di frequenza (di valori di
variabili) effettuate su molti casi reali
(frequentisti)
• Analizzando aspetti reali per cui le misure di
probabilità sono valori intrinseci di un oggetto
(oggettivisti)
• Estrinsecando le credenze di un agente
(soggettivisti)
Calcolo della probabilità
Come si calcola la probabilità di un evento futuro?
Probabilità indefinita (non è stato mai possibile
effettuare una misura)
Probabilità = 1 (misure di eventi analoghi passati
hanno dato sempre valore certo; =0 se sempre falso)
Probabilità = 1-e (per considerare un evento
imponderabile)
Probabilità funzione di altre conoscenze associabili
(soggettività)
Ragionamento probabilistico
I sistemi di ragionamento probabilistico permettono di
prendere decisioni razionali anche quando non vi è
abbastanza informazione per dimostrare che qualsiasi
azione funzionerà.
Per rappresentare la dipendenza fra variabili, si usano le reti
di credenza come struttura dati. Permettono anche di
specificare concisamente le distribuzioni di probabilità
congiunta. Le probabilità riassumono un insieme
potenzialmente infinito di possibili circostanze
Rete di credenza
Una rete di credenze è un grafo orientato aciclico (DAG) in cui:
• i nodi sono un insieme di variabili casuali
• archi direzionali congiungenti coppie di nodi rappresentano
l’influenza diretta di una variabile su un’altra; se c’è un arco dal
nodo A al nodo B si dice che A è parent di B
• il grafo non ha cicli
• ad ogni nodo è associata una tabella (distribuzione) di probabilità
condizionata che esprime gli effetti dei nodi che lo influenzano
(nodi parent/predecessori)
P(Ai | Parents (Ai))
Le reti bayesiane sono chiamate anche reti causali, perché gli archi
che connettono i nodi possono essere visti come se rappresentassero
relazioni causali dirette
Rete di credenza
Una rete bayesiana (di credenza) richiede
che ogni nodo del grafo sia
condizionatamente indipendente
da qualsiasi sottoinsieme di nodi che non
siano discendenti dei predecessori diretti
del nodo stesso
Rete di credenza
Si affida ad un esperto di dominio la definizione della topologia
della rete di credenze (quali nodi e quali relazioni condizionali
di dipendenza), poi si calcolano le influenze dirette e le
conseguenti probabilità
Ciò equivale a definire la conoscenza del mondo in cui può
avvenire un evento
La rete rappresenta le assunzioni che si effettuano su quel
dominio. Le probabilità condizionate tra i nodi riassumono un
insieme potenzialmente infinito di circostanze a noi ignote e
che potrebbero influenzare l’evento.
Rete di credenza
La topologia della rete è la base di conoscenza, generale
ed astratta, dell’ambiente in cui si possono verificare
gli eventi
Rappresenta la struttura generale del processo causale
nel dominio, piuttosto che fornire dettagli su un
particolare elemento.
Nelle reti bayesiane gli archi che connettono i nodi
esprimono le relazioni causali dirette
(causa -> effetto)
Rete di credenza
Una volta definita la topologia bisogna specificare la
tabella delle probabilità condizionate associata ad
ogni nodo.
Ogni riga della tabella esprime la probabilità del valore di
ogni nodo per un caso condizionante (combinazione di
valori dei nodi genitori produttoria delle prob.
condizionate)
Un nodo con nessun genitore è rappresentato dalla
probabilità a priori
Rete di credenza
La topologia della rete codifica le asserzioni di indipendenza
condizionale
• Weather è indipendente dalle altre variabili
• Toothache e Catch sono condizionalmente indipendenti data Cavity
(ognuna dipende da Cavity ma non c’è relazione causale tra le due)
cavity: carie/cavità; toothache:mal di denti; catch:trappola –tra l’altro-
Esempio
Rete di credenze con le probabilità condizionate
Probabilità di un evento
La probabilità congiunta P(a,b,c,..n) è data dal
prodotto degli elementi appropriati delle tabelle
di probabilità condizionate associate alla rete di
credenze.
P(evento)=P(x , x ,…x )=∏ P(x |Parent(X ))
1
2
n
i
i
Poiché la rete di credenze è una rappresentazione
della distribuzione congiunta, può essere usata
per rispondere ad una interrogazione
Probabilità di un evento
Esempio: qual è la probabilità che l’allarme sia
partito ma non è stato né per un ladro, né per un
terremoto ed hanno telefonato sia John che Mary?
P(J^M^A^¬ B^¬ E)
=P(J|A)P(M|A)P(A|¬B^¬E)P(¬B)P(¬E)
=0.90x0.70x0.001x0.999x0.998=0.00062
Costruz. incrementale rete di credenza
1. Identificare un insieme di variabili rilevanti Xi che
descrivano il dominio
2. Scegliere un ordinamento tra le variabili (necessario per
ottimizzare la rete, causa-effetto)
3. Finché rimangono variabili:
–
–
–
Prendere una Xi ed aggiungere un nodo alla rete
Scegliere l’insieme minimo di genitori di Xi indipendenti
condizionalmente tra loro
Definire la tabella delle proprietà condizionate per Xi.
Garantire la compattezza della rete.
Costruz. incrementale rete di credenza
In un sistema localmente strutturato (rete di credenza)
ogni sottocomponente interagisce direttamente solo
con un numero limitato di altre componenti,
indipendentemente dal numero totale di componenti
La probabilità condizionata di un nodo rispetto ai suoi
genitori esprime tutto ciò che si deve sapere sulle
influenze sul nodo di tutti i suoi predecessori
Costruz. incrementale rete di credenza
Causa  Effetto
L’ordine corretto per aggiungere nodi è quello
che prevede prima l’inserimento delle “cause
alla radice”, quindi delle variabili che
influenzano per arrivare poi alle foglie che
non hanno nessuna influenza causale sulle
altre variabili.
Strutture di una rete di credenze
La struttura della rete dipende dall’ordine di
inserimento dei nodi.
Inferenza nelle reti di credenze
Compito fondamentale per un sistema di inferenza
probabilistico è quello di calcolare la distribuzione delle
probabilità a posteriori per un insieme di variabili di
interrogazione, dati i valori esatti per alcune variabili di
prova:
P(Interrogazione/Prova)
In ogni rete di credenza ogni nodo può servire sia come
variabile di prova che di interrogazione.
Un agente acquisisce valori per le variabili di prova dalle proprie percezioni (o da
altro ragionamento) e si informa a proposito di valori possibili per altre variabili
per poter decidere quale azione compiere.
Inferenza
nelle reti di credenze
Inferenza causale o top-down (dalle cause
agli effetti)
Inferenza diagnostica (dagli effetti alle
cause)
Inferenza mista
Inferenza causale o top-down
Operazioni principali:
• Riscrivere la probabilità condizionata desiderata per
il nodo di interrogazione V data l’evidenza in
termini delle probabilità congiunte e di tutti i suoi
genitori (che non fanno parte dell’evidenza), data
l’evidenza
• Riesprimere queste probabilità congiunte di nuovo
con la probabilità di V condizionata a tutti i genitori
Inferenza diagnostica
Ruoli di interrogazione ed evidenza rovesciati
rispetto alla inferenza causale
Si usa un effetto per inferire una causa
Si usa la regola di Bayes per convertire il
problema diagnostico in un problema di
ragionamento causale
Reti di credenza a connessioni multiple
Un grafo è a connessioni multiple se due nodi sono
connessi da più di un cammino.
Ciò accade quando vi è più di una causa per una
qualche variabile e le cause condividono un
antenato
Oppure reti a connessioni multiple rappresentano
situazioni in cui una variabile può influenzare
un’altra attraverso più di un meccanismo causale.
Reti di credenza a connessioni multiple
Reti di credenza a connessioni multiple
rivedere tabella P(S+R=x)
Reti di credenza a connessioni multiple
Ragionamento con incertezza
1. Decidere di cosa parlare
2. Decidere un vocabolario delle variabili
casuali (ed i relativi valori possibili)
3. Codifica delle conoscenza generale per le
dipendenze fra le variabili
4. Descrivere l’istanza specifica del problema
5. Interrogare la procedura di inferenza ed
ottenere risposte