Elettrodinamica 3
30 ottobre 2014
Alternatore
Valore efficace
Circuiti in corrente alternata
Circuito R
Circuito C
Circuito L
Circuito LR
Alternatore
• È un generatore di fem alternata
B

E (t )  E0 sin t
2
Valore efficace
• Per una grandezza che varia sinusoidalmente,
è definito come la radice quadrata della media
del quadrato della grandezza
T
T
1
1
1 2
2
2
2
G   G (t )dt   G0 sin tdt  G0
T0
T0
2
2
eff
• È pari all’ampiezza diviso radice di due
3
Circuito R
• Applichiamo la 2° legge di
Kirchhoff
E  VR  0
E  VR  RI
R
E
E E0
I

sin t
R
R
• La corrente ha la stessa fase
della fem
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Circuito R
• Potenza assorbita: è sempre >=0
E 2 E0 2
P  IE 

sin 2 t
R
R
R
E
• Potenza media
T
T
2
E
1
1 E0 2
1
2
0
P   P(t )dt  
sin tdt 
T0
T0 R
R 2
2
2
E
1
2
0
sin
xdx

0
2 R
• In termini di valore efficace
Eeff2
1 E0
P 

2 R
R
2
5
Quesito
• Riconsideriamo l’esercizio dell’interruttore della luce in
una stanza, supponendo ora di avere una fem alternata
del tipo E (t )  E0 sin t con una frequenza di rete di
50 Hz
• Qual e` l’ampiezza D0 dello spostamento x di un
elettrone nel filo?
• Soluzione nella pagina seguente
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Quesito
• La corrente nel filo e` data da I E0 R  sin t
ricordando l’espressione dellacorrente in termini di

velocita` di deriva: I  vd  A  nqvd A ; quindi
I 0 sin t
dx
I
 vd 

dt
neA
neA
• Troviamo D0 integrando su un quarto di ciclo:
T /4
I0 T /4
I0 1
D0   vd dt 
sin tdt 


neA 0
neA 
0
1
1
 235nm
28
19
6
8.47 10 1.6 10 10 100
• Cioe` una distanza di poche migliaia di atomi

7
Circuito C
C
E
• Applichiamo la 2° legge di Kirchhoff
E  VC  0
1
E  VC  Q
C
Q  CE  CE0 sin t
• La corrente si trova differenziando Q
E0
dQ


I
 CE0 cos t 
sin  t  
dt
XC

grafico
2
• Riscriviamo il coseno in termini di seno per poter meglio
confrontare lo sfasamento rispetto alla fem
• La corrente è in anticipo di fase di /2 sulla fem
1 è detta reattanza capacitiva, e ha le
XC  
C dimensioni di una resistenza
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Circuito C
• Potenza assorbita: può essere positiva o negativa
P  IE  CE0 2 sin t cos t
grafico
• Potenza media
T
1
1
2
2
P   CE0  sin t cos tdt  CE0 
T0
2
2
 sin x cos xdx  0
0
• In un condensatore ideale non c’è dissipazione di
potenza
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Circuito L
L
• Applichiamo la 2° legge di Kirchhoff
dI E E0
dI


sin t
E  EL  E  L
0
dt
L
L
dt
• La corrente si trova integrando
E0
E0
E0


I   sin tdt  
cos t 
sin  t  
L
L
XL 
2
• Riscriviamo il coseno in termini di seno per poter
meglio confrontare lo sfasamento rispetto alla fem
• La corrente è in ritardo di fase di /2 sulla fem
X L  L è detta reattanza induttiva, e ha le
dimensioni di una resistenza
E
grafico
10
Circuito L
• Potenza assorbita: può essere positiva o negativa
E0
P  IE  
sin t cos t
L
2
grafico
• Potenza media
T
 E0 2  1
1  E0 2 
 sin t cos tdt   

P    
T 0  L 
 L  2
2
 sin x cos xdx  0
0
• In un solenoide ideale non c’è dissipazione di potenza
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Circuito LR
L
E
• Equazione del circuito:
dI
E  EL  VR  E  L  RI  0
dt
• Riordinando dI
L  RI  E0 sin t
dt
• Questa equazione ha come soluzione generale la
somma di una sua soluzione particolare e della
soluzione generale dell’equazione omogenea associata
• Come già sappiamo la soluzione generale di dI
L  RI  0
dt
L
t 
• è I t   Ae
con  
R
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Circuito LR
• Una soluzione particolare si ottiene dalla soluzione di
prova I * t   I 0 sin t  f 
• Ove I0 e f sono costanti da determinare in modo tale da
rendere l’equazione differenziale una identità
• NB: queste costanti non dipendono dalle condizioni
iniziali
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Circuito LR
• Sostituendo I* nell’equazione differenziale
dI *
d
*
L
 RI  L I 0 sin t  f   RI 0 sin t  f   E0 sin t
dt
dt
• Differenziando e sviluppando seno e coseno, otteniamo
LI 0 cost  f   RI 0 sin t  f  
 LI 0 cos t cos f  sin t sin f   RI 0 sin t cos f  cos t sin f  
 E0 sin t
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Circuito LR
• Raggruppando i termini in sin t e cos t
cos tI 0L cos f  I 0 R sin f   sin t I 0L sin f  I 0 R cos f E0   0
• Ovvero, chiamando A e B le costanti in parentesi quadre
A cos t  B sin t  0
• Il primo membro è una funzione del tempo e affinché sia
identicamente nullo, occorre che A e B siano nulli
I 0 L cos f  R sin f   0
I 0L sin f  I 0 R cos f  E0  0
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Circuito LR
• Questo è un sistema di due equazioni nelle due
incognite I0 e f; la prima equazione dà
ωL
tgφ  R
• Da cui ricaviamo
sin φ  -
cos φ 
X L  L
ωL
R  ωL 
2
2
R
R 2  ωL 
2
XL
Z
R

Z
• Che sostituiamo nella seconda equazione
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Circuito LR
• Dalla seconda equazione otteniamo I 0
E0
• Da cui
I0 
Z
L 2  R 2
Z
 I 0 Z  E0
E0
sin t  f 
• La soluzione particolare è dunque I t  
Z
• Con
 XL 
f  arctg  

 R 
*
2
2
• e Z  R  X L  R  L è l’impedenza del circuito
• L’impedenza per un circuito in CA è la grandezza che
corrisponde alla resistenza in un circuito in CC
2
2
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Circuito LR
• La soluzione generale dell’equazione
E
è quindi
I t   Ae t   0 sin t  f 
Z
• Per determinare la costante A di
integrazione bisogna, come al solito,
imporre la condizione iniziale per la
corrente I(0)
• Possiamo però notare che la soluzione
dell’omogenea è esponenzialmente
decrescente, per cui se non siamo
interessati a quel che accade per
piccoli valori del tempo, ma piuttosto
E0
sin t  f 
alla soluzione su tempi lunghi, allora: I t  
Z
• Quindi asintoticamente la soluzione
coincide con la soluzione particolare
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Circuito RC
• In modo simile può essere trattato il circuito RC
dQ Q
Q * t   Q0 sin t   
R
  E0 sin t
dt C
• In tal caso la costante di fase f (sfasamento tra corrente
e fem) è

1
 XC 
f  arctg  
f  
XC  

2
C
 R 
• e l’impedenza
 1 
2
Z  R2  X C  R2  

 C 
2
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