Controlli LS
Esercitazione 4
Prima Parte
Esempio 11.6 (Khalil)


Si consideri il sistema del secondo ordine
dove y è l’uscita misurata del sistema
Si vuole che y=yR dove yR è un opportuno
segnale di riferimento

Problema di tracking mediante output feedback
Controllore gain-scheduling



IDEA: utilizzare yR come scheduling variable e
implementare una legge di controllo gainscheduling per il sistema non lineare
Utilizzo il procedimento visto a lezione
HP1 (da teoria):
con  costante

1: cerco le soluzioni del sistema

dove:
Controllore gain-scheduling

R1:

2: Linearizzazione
Controllore gain-scheduling

2: Linearizzazione

Infatti:

Controllore gain-scheduling


R2: Sistema linearizzato
Verifica controllabilià:
La controllabilità non
dipende da 
Controllore gain-scheduling

Verifica osservabilità:

Conclusione:


Posso scegliere un controllore per il sistema linearizzato
parametrizzato da cui poi ottenere la legge di controllo
gain-scheduling
Caso 1:


L’osservabilità non
dipende da 
1.1: progetto
1.2: progetto
Hurwitz
Hurwitz
Caso 1

1: progetto analitico di

impongo autovalori:
Equazione caratteristica:
Caso 1

impongo autovalori:

Equazione caratteristica desiderata:



Da cui:
Risultato: posso assegnare una coppia desiderata di poli
complessi coniugati per il controllore
Caso 1

1: progetto analitico di

impongo autovalori:
Equazione caratteristica:
Caso 1

impongo autovalori:

Equazione caratteristica desiderata:



Da cui:
Risultato: posso assegnare una coppia desiderata di poli
complessi coniugati per l’osservatore
Caso 1

Legge di controllo:

Legge di controllo complessiva:

Controllore gain-scheduling:
Osservatore
Caso 1

Per il controllore sintetizzato vale la
proposizione generale del gain
scheduling

Esercizio: valutare le proprietà di
robustezza della legge di controllo
ottenuta

Perturbo i parametri del sistema:
Caso 1: prove Simulink

Assegno la dinamica del sistema:


Il sistema
con il
controllore
1 sembra
poter
ottenere un
tracking
pratico del
segnale di
riferimento
wnC=1 wnO=6 deltaC=0.8 deltaO=0.7
Osservo uscita del sistema: (SIMULINK)

wnC=1 wnO=6 deltaC=0.8 deltaO=0.7


wnC=10 wnO=50 deltaC=0.8 deltaO=0.7


Il valore a regime differisce da quello desiderato
Il valore a regime è più vicino a quello desiderato
wnC=100 wnO=400 deltaC=0.8 deltaO=0.7

Il valore a regime è ancora più vicino a quello desiderato
ma il transitorio peggiora
Caso 2

Implementazione di una legge di
controllo di tipo integrale

Sistema lineare (yR =  cost.)

Legge di controllo:
Caso 2

Sistema esteso:

Verifica controllabilià:
Controllabile per ogni >0
Caso 2

Guadagni suggeriti

Autovalori:


Controllore:
Osservatore:
Caso 2 (Simulazioni)


Verifica comportamento ottenuto al gradino e alla
rampa (vedi SIMULINK)
Prova di robustezza:


Sistema perturbato:
Risultato: la legge di controllo garantisce inseguimento
asintotico anche in presenza di incertezze

Tracking asintotico di segnali costanti
Caso 2 (Simulazioni)

Prova SIMULINK:

Gradino di 0.6 e successivo gradino di 0.2
(sovrapposizione)

OSSERVAZIONE:



la risposta del secondo gradino è oscillatoria!
 Patologia dovuta agli zeri del sistema
Possibile instabilità del sistema a fronte di perturbazioni
Confrontare successione di gradini:


0.6, 0.2
1, 0.2
Caso 2


Studio del sistema lineare (di sintesi)
closed loop
riscrivo: (r=yR- , costante)
Caso 2

Sistema esteso:
Caso 2

Gain-scheduling controller

Non-linear system:

Da teoria:

La linearizzazione attorno all’equilibrio differisce
nella sola matrice B
Caso 2

Linearizzazione sistema non lineare (con
ingresso forzante u=r)
Termini aggiuntivi

Idea: implementare un’azione in avanti per
assegnare gli zeri del sistema al variare di 
(anche soluzioni euristiche essendo il
sistema complicato!)
Caso 2

Gain-scheduling controller with FF
Attraverso u influenzo entrambi i termini

ATTENZIONE: a causa della presenza del termine di
feed-forward altero l’equilibrio del sistema
Caso 2

Analiticamente

Imposizione degli zeri del sistema lineare di progetto (vedi
teoria):

Soluzione di un’equazione di progetto


Imposizione analitica degli zeri


Soluzione di una nuova equazione di progetto che tenga conto
della nuova scelta di zeri desiderata
Scelta euristica dell’azione in feed-forward

Mediante considerazioni analitiche e prove sperimentali


Non sempre l’equazione è risolubile!
Utile solo nei casi in cui analiticamente è difficile risolvere il
problema
Esistono alti schemi per la soluzione del problema in
casi “complicati” (vedere Khalil)
Caso 2 (prove simulative)


Verificare come imponendo un termine
aggiuntivo nella legge di controllo funzione di
yR il transitorio del sistema si modifica.
Cercare (verificando empiricamente)
un’azione di feed-forward che migliori il
transitorio

Esempio:


uff = -2yR
uff = +7yR-12yR2
Controlli LS
Esercitazione 4
Seconda Parte
Esercizio 11.5 (Khalil)

Obiettivi:
Progetto di un regolatore per un levitatore
magnetico (sistema non lineare) mediante
linearizzazione
 Verifica delle proprietà di robustezza del sistema
ottenuto
Tipologie di controllo:
 Azione integrale
 LQR
 ...

Modello del sistema

1 DOF Magnetic Bearing:
Controllore
v
y
yR
Modello del sistema

Equazione del moto della palla:

m = massa, y distanza dall’induttore (y=0
implica pallina prossima all’induttore), k
coefficiente di attrito viscoso, F(y ,i) forza
elettromagnetica generata dal magnete
con corrente sull’induttore pari a i.
Modello del sistema

Induttanza del magnete:

L1, L0 e a costanti positive


Nota: l’induttanza cresce quando la pallina è
vicina all’induttore
Energia accumulata nell’elettromagnete:
Modello del sistema

Forza sulla pallina:

Legge di Kirchhoff

R è la resistenza del circuito e
è il flusso del campo magnetico
Modello del sistema


Variabili di stato:
Ingresso del sistema:

Modello non lineare:
Requisito 1


Sia yR>0 la posizione desiderata per la
pallina, trovare i valori Iss e Vss della
corrente e del voltaggio necessari per
mantenere la posizione y=yR a regime.
Steady-state y=yR


Requisito 1

1.1:


1.2:
Requisito 2

Analizzare la stabilità del punto di
equilibrio ottenuto ponendo u = vss
Requisito 2

Sistema lineare ottenuto:


dove:


Requisito 2

Utilizzo Teorema Indiretto di Lyapunov

Studio degli autovalori della matrice A


L’espressione di A è complicata.....
Introduzione al Symbolic Toolbox di
Matlab:

Scopo: calcolo di espressioni letterali

Defizione di una variabile letterale:

Comando syms
 Es: syms x; solve(x^2+2*x+1)
Requisito 2

Non tutte le funzioni Matlab sono
compatibili con variabili simboliche!

Esempio di funzioni utili compatibili:


solve, eig, det
Idea1:

Applico il comando eig sulla matrice A
definita mediante variabili di tipo simbolico

L’espressione ottenuta è comunque molto
complicata!
Requisito 2

Idea2:

Definisco un sistema benchmark:

Dalla condizione necessaria del criterio di Routh deduco
che l’equazione non ha soluzioni tutte con parte reale
negativa. Devo verificare che non siano possibili soluzioni
con autovalori sull’asse immaginario.
Requisito 3.1

Progetto controllore lineare per il
sistema:
Requisito 2

Tabella di Routh:
Almeno in questa posizione
cambia segno!
Requisito 2

Dal criterio di Routh deduco che un
autovalore della matrice A ha parte
reale positiva:

Dal teorema indiretto di Lyapunov deduco
che l’equilibrio
è instabile
Requisito 3

Progettare un controllore per linearizzazione
nel punto di equilibrio che corrisponde al
valore di yR desiderato.


Utilizzare state-feedback
Dati del problema:

m=0.01 kg, k=0.001 N/m/s, a=0.005 m, L0 =
0.01 H, L1= 0.02 H, R =10 Ohm yR = 0.05 m

Posso utilizzare differenti modalità di sintesi del
controllore!



Controllo lineare per assegnamento degli autovalori
Controllo integrale
LQR
Requisito 3.1

Verifica controllabilità

rank(ctrb(A,B))=3


Progetto una retroazione dello stato


Sistema completamente controllabile
con K progettato secondo un qualche
criterio (pole placement, LQR, etc)
Controllore ottenuto:
Requisito 3.1

Verifica delle proprietà di robustezza della
legge di controllo ottenuta


Si supponga che la massa m sia differente da
quella nominale
Verificare in Matlab cosa accade alla variabile di
interesse y(t)


La legge di controllo non è robusta! A fronte di incertezze
il valore a regime differisce da quello desiderato
(osservare non robustezza intrinseca della
data a
regime dal controllo)
IDEA: estensione del sistema con un integratore
Requisito 3.2

Confronto schemi di controllo: (nominal
case)




1:
2:
3:
4:
NOTA: siccome è possibile imporre le condizioni iniziali
dell’integratore è possibile rendere equivalenti i 3 schemi
di controllo! (VEDI SIMULiNK)
Requisito 3.2

Sistema esteso:

Verifica controllabilità

NOTA: il sistema è in equilibrio
Se x1 coincide con yR
rank(ctrb(Ae,Be))=4

Sistema completamente controllabile
Requisito 3.2

Progetto una retroazione dello stato

Legge di controllo completa:

Nota: la legge di controllo per migliorare le
prestazioni include sia il termine di feedforward
dovuto all’azione integrale che quello nominale
Requisito 3.2


K=[K1 K2] progettato secondo un
qualche criterio (pole placement, LQR,
etc.)
In particolare consideriamo un
regolatore ottimo stazionario con
Q=eye(4), R=1

Imponiamo inoltre un margine di stabilità
di 0.1 per garantire autovalori a parte reale
sufficientemente negativa
Requisito 4


Verificare in Matlab/Simulink le
proprietà ottenute svolgendo
considerazioni circa la robustezza delle
differenti leggi di controllo
Stimare la regione di attrazione del
controllore variando lo stato iniziale del
sistema
Controlli LS
Esercitazione 5
Linearizzazione del modello dinamico di
una aereo a decollo verticale (VTOL)
Modello VTOL

VTOL (Vertical Take-Off and Landing)
x
1
F
TM
M : massa del velivolo
J : momento di inerzia
1
rispetto al centro di massa
l : lunghezza alare
l
Mg
y
F
Linearizzazione del modello

Riscrivo il sistema non lineare:

Equilibrio
Linearizzazione del modello

Cambio di variabili:

Modello linearizzato:
Linearizzazione modello

Sistema lineare: