Corso di biomatematica Lezione 3:
Distribuzioni di probabilità
continue
Davide Grandi
Sommario
•Distribuzioni di probabilità continue:
•Definizioni
•Funzione distribuzione cumulativa
•Densità di probabilità
•Continue - esempi
•La distribuzione di gauss-introduzione
Distribuzioni continue
• Funzione di distribuzione cumulativa
La funzione di distribuzione cumulativa per una variabile
aleatoria continua X è definita come la probabilità che la
variabile X assuma un valore minore di un determinato
valore x:
P(X<x) = F(X)
E’ caratteristica di una variabile aleatoria ed esiste sia per
quelle continue che per quelle discrete.
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Distribuzioni continue
• Funzione di distribuzione cumulativa
Le sue proprietà fondamentali sono:
• F(X) è una funzione non decrescente, cioè per x2 > x1 si
ha F(x2)  F(x1)
• Quando l’argomento della funzione tende a  la
funzione di distribuzione tende a zero,
F( )= 0
•
Quando invece l’argomento tende a + la funzione di
distribuzione tende a uno,
F(+ )= 1
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Distribuzioni continue
• Funzione di distribuzione cumulativa :esempio
Supponiamo di avere una variabile aleatoria discreta che
assume solo cinque valori: le probabilità di ottenere i singoli
valori siano:
Andiamo ora a costruire la funzione di distribuzione
cumulativa, ovvero
F(X)= P(X<x) = S xi <x P(X=xi )
Dove la disuguaglianza xi <x significa che la sommatoria è
estesa a tutti gli xi minori di x
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Distribuzioni continue
• Funzione di distribuzione cumulativa :esempio
Otteniamo dunque:
E il grafico di tale funzione è:
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Distribuzioni continue
• Funzione di distribuzione cumulativa :esempio
Ovvero la funzione di distribuzione cumulativa è sempre una
funzione a gradino (per distribuzioni discrete di probabilità)
i cui salti sono ovviamente in corrispondenza dei valori
possibili della variabile, la somma di tutti i salti è uno
(assioma probabilità).
Per una distribuzione continua aumentano i valori possibili e
diminuiscono gli intervalli, per cui la funzione di
distribuziuone cumulativa diventa una funzione continua
(sempre crescente) caratteristica delle variabili aleatorie
continue.
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Distribuzioni continue
• Funzione densità di probabilità
Definita la funzione di distribuzione cumulativa, vediamo di
considerare la probabilità che la mia variabile aleatoria
assuma valori in un intervallo con estremi per x1 e x2 :
P(x1  X < x2 ) = F(x2 ) – F(x1)
Esprimo la probabilità di questo evento attraverso i seguenti
3 eventi:
• Evento A corrispondente a X< x2
• Evento B corrispondente a X< x1
• Evento C corrispondente a x1  X < x2
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Distribuzioni continue
• Funzione densità di probabilità
Avremo che l’evento A si può esprimere come come la
somme degli altri due, cioè A=B+C e per il teorema di
addizione delle probabilità avremo:
P(X < x2 ) = P(X < x1 ) + P(x1  X < x2 ) d
a cui ricavo la formula
P(x1  X < x2 ) = F(x2 ) – F(x1)
Facendo tendere Dx 0
Calcoliamo il rapporto tra la differenza della funzione di
distribuzione cumulativa e l’intervallo stesso (derivata)
ovvero…
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• Funzione densità di probabilità
Abbiamo
 F ( x  Dx)  F ( x)
lim Dx0 
Dx

 dF ( x)


dx

si definisce quindi funzione di distribuzione o densità di
probabilità:
dF ( x)
p( x) 
dx
La funzione p(x) caratterizza la densità di probabilità dei
valori in un punto x (esprimo la legge della distribuzione)
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Distribuzioni continue
• Condizione di normalizzazione
la condizione di normalizzazione è la generalizzazione al
caso continuo del terzo assioma della probabilità, e dal fatto
che F(+ )= 1 abbiamo:
dF ( x)
 p( x)dx   dx dx



1

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• Distribuzione uniforme
Variabili aleatorie di cui è noto a priori che i loro valori
possibili appartengono ad un dato intervallo e all’interno di
questo intervallo tutti i valori sono equiprobabili si dicono
uniformemente distribuite.
Considero la variabile aleatoria X soggetta ad una legge di
distribuzione uniforme nell’intervallo (a,b) e scrivo la
densità di probabilità p(X), che deve essere costante
nell’intervallo e nulla al di fuori, cioè
p(X)= c per a <x <b
p(X)= 0 altrove
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Distribuzioni continue
• Distribuzione uniforme
Per la condizione di normalizzazione avremo che l’area
delimitata dalla curva sarà uguale all’unità, ovvero:
c(ba) 1
Da cui risulta
c=1/(ba)
Ovvero la distribuzione di probabilità sarà:
p(X)= 1/(ba) per a <x <b
p(X)= 0 altrove
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Distribuzioni continue
• Proprietà della distribuzione uniforme
Le caratteristiche fondamentali della distribuzione aleatoria
sono:
Il valor medio vale
m
a b
2
La deviazione standard vale:

m

b a
2 3
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• Distribuzioni limite
Posso parlare di distribuzioni limite se il numero di eventi
tende all’infinito (o comunque è sufficientemente grande….).
Dopo un certo numero di eventi i risultati ottenuti si
disporranno secondo una determinata distribuzione, che
diventerà sempre più evidente al crescere del numero di
eventi..
Ad esempio vediamo i seguenti istogrammi nel caso in cui si
siano effettuate 10, 100 e 1000 misure della stessa
grandezza
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Distribuzioni continue
•
Distribuzioni limite
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Distribuzioni continue
• Esempio come ottenere la distribuzione di Gauss
Lanciamo un dado e calcoliamo la frequenza con cui escono i
numeri da 1 a 6, dopo un numero abbastanza grande di
ripetizioni.
Ora lanciamo due dadi, facciamo la somma e vediamo con
che frequenza escono i numeri da 2 a 12, dopo un numero
abbastanza grande di ripetizioni.
Ora lanciamo 3 dadi, facciamo la somma e vediamo con che
frequenza escono i numeri da 3 a 18
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Distribuzioni continue
• Esempio come ottenere la distribuzione di Gauss
Lanciamo N dadi e vediamo con che frequenza escono i
numeri da N a 6N.
Rappresentiamo il tutto su dei grafici.
Al limite di infinite misure la frequenza più probabile
sarà…….
N, 6N,6N/2?
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