2
1
4
3
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2
INTERNA MONOCENTRICA
INTERNA POLICENTRICA
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ESTERNA (TORNANTE)
3
Le curve circolari rappresentano la proiezione sul piano orizzontale dell’asse
stradale in curva. Nello spazio, cioè sul terreno, il raccordo circolare non è, in
generale, una curva piana, ma un arco di elica che avvolge una superficie
cilindrica.
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4
Il punto V, intersezione planimetrica dei due rettifili AV e BV, e chiamato vertice
dei rettifili, si realizza solo sul piano di riferimento.
Sono le proiezioni dei rettifili a intersecarsi in V, mentre i rettifili nello spazio
sono, in generale, linee sghembe, e in corrispondenza della verticale tracciata da
V, V1 e V2 presentano quote (QV1, QV2) diverse e generano perciò un dislivello DV.
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5
 = 180° – 
t = R  tg  /2
t = R  cotg  /2
c = 2 R  sen  /2
s = R (1 – cos  /2)
s = 2 R  sen2  /4
s
b=
cos  /2
R
S = -------------180°
S = R  rad
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6
Elementi noti: AB, , .
La curva è un arco del cerchio ex-inscritto al triangolo ABV.
AV 
AB  sen δ
sen α
BV 
AB  sen 
sen α
S
1
AV  BV  sen α
2
Raggio della curva
S
R=
p – AB
R = p  tg

2
t’= t  AV
t”= t  BV
Per controllo : t’ + t” = AB
AT1 = AT2 = t’ = R  cotg  /2
BT2 = BT3 = t” = R  cotg /2
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7
Elementi noti: AB, , .
La curva è un arco del cerchio inscritto al triangolo ABP.
AP 
AB  sen δ
AB  sen 
BP 
sen α
sen α
S
1
AP  BP  sen ε
2
Raggio della curva
S
R = (p – a) tg
R=
p

2
ω  400 C  (  δ)
Posizione dei punti di tangenza
p–a
p–c
t’ = p – a = R  cotg  /2
t” = p – b = R  cotg /2
t’” = p – c = R  cotg /2
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8
Rilievo di P per allineamenti e squadri: misura di VH=x e HP=y
 =arctg(y/x)
’ = /2 – 
d = y/sen 
Applicando il teorema dei seni al triangolo VPO:
sen 
sen  '

VO
R
sen   VO 
sen  '
R
Dal triangolo retto VOT1: VO 
d
H
R
sen (α / 2)
Sostituendo nella precedente si ottiene:
sen ’
* = arcsen (-----------)
sen  /2
ATTENZIONE è:  = 180° – *
d sen ’
R=
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sen 
9
Definizione di pendenza all’interno della curva
D T1T2
p
π Rω
200 C
p
D T1T2
S
QT2  QT1
p
π Rω
200C
DT1T2  DT1V1  DV1V2  DV2T2
DT1T2  p1 t  DV1V2  p2t  t ( p1  p 2 )  DV1V2
D T1T2  R  tg
ω
( p1  p 2 )  DV1V2
2
Sostituendo nella precedente definizione
di pendenza e semplificando:
R
DV1V2
pπω
ω
 ( p1  p 2 ) tg
C
200
2
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10
1° caso particolare:
rettifili orizzontali a diversa quota p1=p2=0:
DV1V2
R
pπω
200 C
2° caso particolare:
rettifili che si intersecano nello spazio DV1V2=0:
ω
R  tg ( p1  p 2 )  DV1V2
2
p
π Rω
200C
ω
tg ( p1  p 2 )
p 2
πω
200C
In questo caso particolare la pendenza non
dipende dal raggio ma dalle pendenze dei
due rettifili, oltre che dall’angolo .
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11
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Sono curve circolari formate da due o più archi di
circonferenza con diverso raggio.
L’impiego di questo tipo di curve spesso pone problemi
alla circolazione; tuttavia possono venire utilizzate nei
progetti stradali quando particolari esigenze topografiche, o
di economia, lo richiedano.
Le curve composte più usate sono:
tornanti;
a due centri (bicentriche);
a tre centri;
policentriche.
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13
Sono curve esterne che consentono una rapida inversione, più o meno
completa, della direzione dell’asse stradale. Essi permettono anche il
superamento di forti dislivelli in brevi spazi.
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2° rettifilo
R
1 = arcsen (------)
V1V
2a controcurva
1 = 100C– 1
2 = 100C– 2
1 = 1
2 = 2
V1 T3 = R tg 1
V2 T4 = R tg 2
t1= V1 T3 – m
t2= V2 T4 – n
1°
rettifilo
1a controcurva
Risvolto
R= Rmin
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R1= t1 cotg (1/2)
R2= t2 cotg (1/2)
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Elementi fondamentali (5) , t1, t2, R1, R2
I centri O1 e O2 sono allineati col punto di
tangenza T comune ai due archi.
La tangente V1V2 comune ai due archi è
ortogonale in T alla congiungente O1 e O2.
Tra gli angoli al centro e quelli al vertice
dei due archi sussistono le seguenti relazioni:
1 + 2 = 200C + 
1 + 2 = 200C  
Elementi noti (4) , t1, t2, R1
2
t1 sen   R1cos  
R1
tg ---- = --------------------------------2
t2  R1sen   t1cos 
t2  R1sen   t1cos 
R2 = R1 + ------------------------------sen 2
1 = 200C  (2 + )
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F”CF’C
FC=0
F’C0
FC=0
Il passaggio da una curvatura a un’altra determina un salto più o
meno grande nell’intensità della forza centrifuga FC a cui è soggetto un
veicolo in curva, a causa della sua velocità.
Ciò può determinare grosse difficoltà al moto dei veicoli e
compromettere la sicurezza della circolazione.
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Costituisce la logica premessa ai raccordi progressivi.
Curva circolare
primitiva
R0< R
R1= 2 R0
p= spostamento primitiva
Inserimento a centro
conservato
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Le norme non consentono di raccordare i rettifili direttamente con curve circolari, ma prescrivono che tra rettifilo e
curva circolare sia interposto un tratto a raggio
variabile.
Si tratta di elementi curvilinei con raggio R variabile tra un
valore infinito, in corrispondenza dei rettifili, e il valore R0
della curva circolare.
IL PROBLEMA nasce dal fatto che il passaggio dalla traiettoria del veicolo, dal
rettifilo alla curva circolare, è praticamente impossibile perché l’azione sterzante
non può essere istantanea (nel punto di tangenza), ma al contrario richiede un
certo tempo durante il quale il veicolo descrive una traiettoria che si discosta da
quella circolare dell’asse della corsia, tagliando la corsia vicina.
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LA SOLUZIONE:
per migliorare le condizioni di efficienza nel
moto del veicolo si
provvede a inserire,
tra il rettifilo e la curva
circolare, un opportuno
raccordo di raggio R
variabile con continuità
da R = , sul punto di
tangenza col rettifilo, a
R
=
R0
in
corrispondenza del punto
di tangenza con il tratto
circolare.
Ramo progressivo
Ramo circolare
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Le norme affermano che le curve a raggio variabile vengono inserire tra due
elementi del tracciato a curvatura costante, estendendo con ciò al rettifilo il
significato di elemento curvilineo con raggio di curvatura costante di valore infinito (R
= ).
TIPOLOGIE DI CURVE PROGRESSIVE
Di transizione, se uniscono un
rettifilo a una curva circolare.
Di flesso, se uniscono due
curve circolari percorse in verso
opposto.
Di continuità, se uniscono due
curve circolari percorse nello
stesso verso.
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Accelerazione centrifuga
di un veicolo che percorre la curva
a velocità v costante
v2
aC =
(m/sec2)
R
a”C
CONTRACCOLPO: è la variazione dell’accelerazione centrifuga nella unità di tempo:
c = Da / t (m/sec3)
a ’C
in cui: Da
= a”C – a’C
LE NORME prescrivono che il
contraccolpo non superi il seguente valore limite (m/sec3):
Rt > Rt+1
50,4
cmax =
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VPsup
23
Il graduale passaggio dalla sagomatura a tetto in rettifilo a quella a falda nel
tratto circolare, si ottiene facendo ruotare la carreggiata stradale, o parte di
essa (cioè una o più corsie), intorno al suo asse, oppure intorno al suo ciglio
interno.
La rotazione si esegue in ogni caso lungo i tratti a raggio variabile del
tracciato, e la legge di rotazione è tale da dar luogo a un andamento lineare
del profilo dei cigli della carreggiata.
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24
Per evitare ristagni d’acqua
durante la rotazione della
piattaforma, le norme prescrivono per il ciglio esterno
(quello che si solleva) una
pendenza longitudinale non
inferiore a un valore Dimin;
mentre per limitare il rollio del
veicolo nel suo moto la stessa
pendenza non dovrà superare il
valore assegnato Dimax.
Profilo dei cigli
asse
Dimin = 0,1· B (%)
B
Dimax = 18 · ---- (%)
Vp
Di
ciglio esterno
ciglio interno
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doppia spirale di Cornu (Alfred)
La clotoide (nome dovuto al matematico italiano Cesàro) è una curva in cui
la lunghezza del percorso compiuto su di essa fino a un certo punto P (sviluppo
s), è inversamente proporzionale al raggio di curvatura R nello stesso
punto.
Cloto: figura mitologica che
dipanava il filo della vita dei
mortali, avvolgendolo sul fuso.
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La clotoide può essere definita come il luogo dei punti per i quali è costante il prodotto
tra raggio di curvatura R e la lunghezza dell’arco s misurato da un’origine fissa.
Nella progettazione stradale viene impiegata una parte limitata della curva clotoide,
il cui raggio di curvatura varia con continuità da un valore infinito, in corrispondenza
dell’origine, a un valore infinitesimo (dunque passante per un valore intermedio finito R0).
Equazione della clotoide
R · s = A2
s = A2/R
A: parametro della
clotoide o di scala
(espresso in m).
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Angolo tra il rettifilo e la tangente
alla clotoide nel generico punto P.
s
 = ----- (rad)
2R
essendo
s = A2/ R
A2
 = ----- (rad)
2R2
In corrispondenza del punto T di
tangenza si ha: s = LT e R = R0 .
A2
0 = ----- (rad)
2R02
IMPORTANTE: la lunghezza dello sviluppo del ramo di transizione
LT deve essere superiore a un valore limite
Lmin prescritto dalla normativa.
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0 0
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Il parametro A deve (NORME) assumere valori tali che i raccordi progressivi progettati siano
in grado di garantire i seguenti criteri:
1. una variazione di accelerazione centrifuga (contraccolpo) contenuta entro valori
accettabili;
2. una limitazione della pendenza longitudinale (o sovrappendenza) dei cigli della
piattaforma;
3. la percezione ottica corretta dell’andamento del tracciato.
2° – Limitazione della
3° – Criterio
1° – Limitazione del
sovrappendenza
contraccolpo
A  Amin 
V3
3,63 c
essendo: (qfqi)  0

g V R 0  q f  qi
3,6 c
A  Amin 

estetico
Raccordi di transizione
A  Amin 
R0
100  Bi  qi  q f
Dimax

R0  A  R0/3
V3
3,63 cmax
Raccordi di continuità
essendo: cmax =50,4/V
A  0,021 V 2
essendo: smax =Lt=A2/R0
V3
Lt  Lmin = ----------------3,63  cmax  R0
A  Amin 
B i (q f q i )
1

  1   Dimax
 R R  100
f 
 i
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1° Angolo al centro del tratto circolare:
’ =  - 20
2° Traslazione della primitiva:
YT – R0(1 – cos 0)
D = -------------------------cos /2
3° Lunghezza del ramo di clotoide da S a T:
V3
Lt = ----------------3,63  cmax  R0
4° Posizione punto di tangenza S sul rettifilo
SV = ( XT – R0 sen 0) + [(YT – R0(1 – cos 0)]  tg /2 + R0 tg /2
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1° MODO: Tavole clotoide unitaria: A=1
2° MODO: Polinomio di Mc Laurin
1
1 4
1


X T  A  2   0  1   02 
0 
 06  ...
216
9.360
 10

1
1
1
1

YT  A  2   0    0   03 
 05 
 07  ...
42
1.320
75.600
3

L’angolo φ0 deve essere utilizzato in
radianti.
Il calcolo del valore della parentesi
quadrata (detto polinomio di Mac
Laurin) può essere senz’altro approssimato al secondo termine in entrambe
le espressioni.
Tutti gli elementi lineari della tabella dovranno
essere moltiplicati per il parametro di scala A.
Esempio: XT= x  A e YT= y  A
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PROBLEMA: Si debba realizzare un raccordo di transizione per collegare una curva circolare
primitiva di raggio R0=250 m, con due rettifili formanti un angolo =94c. Essendo V=80
km/h la velocità di progetto nella curva, determinare gli elementi fondamentali del raccordo
di transizione trascurando gli effetti della sagomatura trasversale della carreggiata.
Soluzione
Essendo il raccordo simmetrico, basta studiare il primo ramo.
 = 200C – 94C = 106C: angolo al centro della primitiva
T1V= t = 250 tg (106C/2) = 274,75 m: tangente della primitiva
cmax = 50,4/80 = 0,63 m/sec3: valore massimo del contraccolpo
A
803
3,63 0,63
 131,98 m
: parametro di scala della clotoide (criterio 1: contraccolpo)
250/3 < A < 250: verifica della clotoide secondo il criterio estetico (criterio 3)
803
Lt = -------------------- = 69,67 m: sviluppo complessivo dell’arco di clotoide
3,63  0,63  250
131,982
0 = ----------- = 0rad,13935 = 8C,8713: angolo che la tangente alla clotoide nel suo punto terminale
2 2502
’=106C – 2  8C,8713 = 88C,2574: angolo al centro dell’arco di primitiva T’1T’2 da raccordare alla clotoide
250  88C,2574  
S’ = ----------------------- = 346,58 m: sviluppo dell’arco di primitiva T’1T’2 da raccordare alla clotoide
200 C
STOT =
69,67 + 346,58 + 69,67 = 485,92 m: sviluppo totale del raccordo di transizione
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Le coordinate XT e YT del punto di tangenza T (punto finale della clotoide e iniziale per la curva
circolare) si ricavano dal polinomio di Mac Laurin approssimando il calcolo al secondo termine:
 0,139352 
X T  131,98  2  0,13935  1 
  69,53 m
10


 0,13935 0,139353 
YT  131,98  2  0,13935  

  3,23 m
3
42


3,23 – 250  (1 – cos 8C,8713)
D = ----------------------------------- = 1,20 m: valore della traslazione della primitiva lungo la bisettrice
cos (106 C/2)
SV = [69,53 – 250  sen 8C,8713] + [3,23 – 250  (1 – cos 8C,8713)]  tg (106 C/2) + 274,75 =
= 34,80 + 0,88 + 274,75 = 310,43 m: distanza del punto iniziale della clotoide dal vertice V
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