Algoritmi e Strutture Dati
Capitolo 4
Ordinamento
Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Lower bound
• Delimitazione inferiore alla quantità di una
certa risorsa di calcolo necessaria per risolvere
un problema
• W(n log n) è un lower bound al numero di
confronti richiesti per ordinare n oggetti
• Consideriamo un generico algoritmo A, che
ordina eseguendo solo confronti: dimostreremo
che A esegue (nel caso peggiore) W(n log n)
confronti
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…alcuni richiami…
Definizione (upper bound)
Un problema P ha una complessità O(f(n)) rispetto ad una
risorsa di calcolo se esiste un algoritmo che risolve P il cui
costo di esecuzione rispetto quella risorsa (nel caso peggiore)
è O(f(n))
Definizione (lower boud)
Un problema P ha una complessità W(f(n)) rispetto ad una
risorsa di calcolo se ogni algoritmo che risolve P ha costo
di esecuzione (nel caso peggiore) W(f(n)) rispetto quella
risorsa
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…per il problema dell’ordinamento…
• Upper bound: O(n2)
– Insertion Sort, Selection Sort, Quick Sort
• Un upper bound migliore: O(n log n)
– Merge Sort
• Lower bound: W(n)
– banale: dimensione dell’input
Abbiamo un gap di log n tra upper bound e lower bound!
Possiamo fare meglio?
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Ordinamento per confronti
Dati due elementi ai ed aj, per determinarne l’ordinamento relativo
effettuiamo una delle seguenti operazioni di confronto:
a i  aj ; ai  aj ; a i  aj ; ai  aj ; ai  aj
Non si possono esaminare i valori degli elementi o ottenere
informazioni sul loro ordine in altro modo.
Notare: Tutti gli algoritmi di ordinamento considerati fino ad
ora sono algoritmi di ordinamento per confronto.
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Gli algoritmi di ordinamento per confronto possono essere descritti
in modo astratto in termini di alberi di decisione.
Un generico algoritmo di ordinamento per confronto lavora nel
modo seguente:
-Confronta due elementi ai ed aj (ad esempio effettua il test ai  aj);
- A seconda del risultato – riordina e/o decide il confronto successivo
da eseguire.
Albero di decisione - Descrive i confronti che l’algoritmo esegue
quando opera su un input di una determinata dimensione. I
movimenti dei dati e tutti gli altri aspetti dell’algoritmo vengono
ignorati
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Alberi di decisione
• Descrive le diverse sequenze di confronti che A potrebbe fare su
istanze di lunghezza n
• Nodo interno (non foglia): i:j
– modella il confronto tra ai e aj
• Nodo foglia:
– modella una risposta (output) dell’algoritmo: permutazione degli elementi
Input: a1,a2,a3
Š
1,2,3
Š
2:3
Š
1,3,2
7
1:2
Š

1:3


3,1,2
2,1,3
1:3

2:3
Š

2,3,1
3,2,1
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Osservazioni
• L’albero di decisione non è associato ad un
problema
• L’albero di decisione non è associato solo ad un
algoritmo
• L’albero di decisione è associato ad un algoritmo e
a una dimensione dell’istanza
• L’albero di decisione descrive le diverse sequenze
di confronti che un certo algoritmo può eseguire
su istanze di una certa dimensione
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NonsenseSort (A)
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Esempio
if n  3 then
1.
2.
if A[1]>A[n] then
3.
scambia A[1] con A[n]
4.
scambia A[2] con A[n]
5.
Albero di decisione
di NonsenseSort con n > 2
else
1: n
6.
scambia A[1] con A[2]
7.
if A[1] > A[n] then
8.

scambia A[1] con A[2]
questo albero non
dipende da n
ma è solo
un caso!
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>
n,1,3,…,n-1,2
2: n
>

2,1,3,…,n
1,2,3,…,n
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…alcune definizioni…
Sotto-albero
sinistro
Š
1,2,3
2:3
Š
1,3,2
radice
1:2
Š
1:3


Š


3,1,2
Sotto-albero
destro
2,1,3
1:3

2:3
Š

2,3,1
3,2,1
Profondità di un nodo: lunghezza del cammino che lo congiunge alla
radice.
Altezza di un albero: valore massimo della profondità dei nodi.
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Proprietà
• Per una particolare istanza, i confronti eseguiti da
A su quella istanza rappresentano un cammino
radice – foglia
• L’algoritmo segue un cammino diverso a seconda
delle caratteristiche dell’input
– Caso peggiore: cammino più lungo
– Caso migliore: cammino più breve
• Il numero di confronti nel caso peggiore è pari
all’altezza dell’albero di decisione
• Un albero di decisione di un algoritmo che risolve
il problema dell’ordinamento di n elementi
contiene almeno n! foglie
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Altezza in funzione delle foglie
• Un albero binario con k foglie tale che ogni
nodo interno ha esattamente due figli ha
altezza almeno log2 k
• Dimostrazione per induzione su k
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Il lower bound W(n logn)
• Consideriamo l’albero di decisione di un qualsiasi
algoritmo che risolve il problema dell’ordinamento di
n elementi
• L’altezza h dell’albero di decisione è almeno log2 (n!)
• Formula di Stirling: n!  (2pn)1/2 ·(n/e)n
h  log2(n!) > log2 (n/e)n =
= n log2 (n/e) =
n! > (n/e)n
= n log2 n – n log2 e =
= W(n log n)
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Esercizio
Fornire l’albero di decisione del seguente algoritmo per istanze di
dimensione 3.
InsertionSort2 (A)
1.
for k=1 to n-1 do
2.
x = A[k+1]
3.
j=k
4.
while j > 0 e A[j] > x do
5.
A[j+1] = A[j]
6.
j= j-1
7.
A[j+1]=x
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Soluzione
a1:a2


a2:a3



<a1,a3,a2>


a1:a3
<a1,a2,a3>
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a1:a3
<a2,a1,a3>

<a3,a1,a2>
a2:a3

<a2,a3,a1>

<a3,a2,a1>
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