Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 4 Ordinamento Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Lower bound • Delimitazione inferiore alla quantità di una certa risorsa di calcolo necessaria per risolvere un problema • W(n log n) è un lower bound al numero di confronti richiesti per ordinare n oggetti • Consideriamo un generico algoritmo A, che ordina eseguendo solo confronti: dimostreremo che A esegue (nel caso peggiore) W(n log n) confronti 2 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano …alcuni richiami… Definizione (upper bound) Un problema P ha una complessità O(f(n)) rispetto ad una risorsa di calcolo se esiste un algoritmo che risolve P il cui costo di esecuzione rispetto quella risorsa (nel caso peggiore) è O(f(n)) Definizione (lower boud) Un problema P ha una complessità W(f(n)) rispetto ad una risorsa di calcolo se ogni algoritmo che risolve P ha costo di esecuzione (nel caso peggiore) W(f(n)) rispetto quella risorsa 3 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano …per il problema dell’ordinamento… • Upper bound: O(n2) – Insertion Sort, Selection Sort, Quick Sort • Un upper bound migliore: O(n log n) – Merge Sort • Lower bound: W(n) – banale: dimensione dell’input Abbiamo un gap di log n tra upper bound e lower bound! Possiamo fare meglio? 4 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Ordinamento per confronti Dati due elementi ai ed aj, per determinarne l’ordinamento relativo effettuiamo una delle seguenti operazioni di confronto: a i aj ; ai aj ; a i aj ; ai aj ; ai aj Non si possono esaminare i valori degli elementi o ottenere informazioni sul loro ordine in altro modo. Notare: Tutti gli algoritmi di ordinamento considerati fino ad ora sono algoritmi di ordinamento per confronto. 5 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Gli algoritmi di ordinamento per confronto possono essere descritti in modo astratto in termini di alberi di decisione. Un generico algoritmo di ordinamento per confronto lavora nel modo seguente: -Confronta due elementi ai ed aj (ad esempio effettua il test ai aj); - A seconda del risultato – riordina e/o decide il confronto successivo da eseguire. Albero di decisione - Descrive i confronti che l’algoritmo esegue quando opera su un input di una determinata dimensione. I movimenti dei dati e tutti gli altri aspetti dell’algoritmo vengono ignorati 6 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Alberi di decisione • Descrive le diverse sequenze di confronti che A potrebbe fare su istanze di lunghezza n • Nodo interno (non foglia): i:j – modella il confronto tra ai e aj • Nodo foglia: – modella una risposta (output) dell’algoritmo: permutazione degli elementi Input: a1,a2,a3 Š 1,2,3 Š 2:3 Š 1,3,2 7 1:2 Š 1:3 3,1,2 2,1,3 1:3 2:3 Š 2,3,1 3,2,1 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Osservazioni • L’albero di decisione non è associato ad un problema • L’albero di decisione non è associato solo ad un algoritmo • L’albero di decisione è associato ad un algoritmo e a una dimensione dell’istanza • L’albero di decisione descrive le diverse sequenze di confronti che un certo algoritmo può eseguire su istanze di una certa dimensione 8 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati NonsenseSort (A) Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Esempio if n 3 then 1. 2. if A[1]>A[n] then 3. scambia A[1] con A[n] 4. scambia A[2] con A[n] 5. Albero di decisione di NonsenseSort con n > 2 else 1: n 6. scambia A[1] con A[2] 7. if A[1] > A[n] then 8. scambia A[1] con A[2] n,1,3,…,n-1,2 2: n > 2,1,3,…,n 9 > 1,2,3,…,n Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano …alcune definizioni… Sotto-albero sinistro Š 1,2,3 2:3 Š 1,3,2 radice 1:2 Š 1:3 Š 3,1,2 Sotto-albero destro 2,1,3 1:3 2:3 Š 2,3,1 3,2,1 Profondità di un nodo: lunghezza del cammino che lo congiunge alla radice. Altezza di un albero: valore massimo della profondità dei nodi. 10 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Proprietà • Per una particolare istanza, i confronti eseguiti da A su quella istanza rappresentano un cammino radice – foglia • L’algoritmo segue un cammino diverso a seconda delle caratteristiche dell’input – Caso peggiore: cammino più lungo – Caso migliore: cammino più breve • Il numero di confronti nel caso peggiore è pari all’altezza dell’albero di decisione • Un albero di decisione di un algoritmo che risolve il problema dell’ordinamento di n elementi contiene almeno n! foglie 11 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Altezza in funzione delle foglie • Un albero binario con k foglie tale che ogni nodo interno ha esattamente due figli ha altezza almeno log2 k • Dimostrazione per induzione su k 12 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Il lower bound W(n logn) • Consideriamo l’albero di decisione di un qualsiasi algoritmo che risolve il problema dell’ordinamento di n elementi • L’altezza h dell’albero di decisione è almeno log2 (n!) • Formula di Stirling: n! (2pn)1/2 ·(n/e)n h log2(n!) > log2 (n/e)n = = n log2 (n/e) = n! > (n/e)n = n log2 n – n log2 e = = W(n log n) 13 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Esercizio Fornire l’albero di decisione del seguente algoritmo per istanze di dimensione 3. InsertionSort2 (A) 1. for k=1 to n-1 do 2. x = A[k+1] 3. j=k 4. while j > 0 e A[j] > x do 5. A[j+1] = A[j] 6. j= j-1 7. A[j+1]=x 14 Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl