Principio di Huygens
Secondo tale principio, che si applica soltanto all’ottica geometrica (cioè
quando un raggio luminoso può essere approssimabile da una linea
retta), ogni punto del fronte d’onda si comporta da sorgente puntiforme
di un’onda sferica. La posizione del fronte d’onda dopo un tempo Dt si
ottiene dall’inviluppo delle onde sferiche così ottenute.
Con tale principio è possibile giustificare la legge della rifrazione.
Infatti, detto q1 l’angolo tra il fronte d’onda e la superficie di separazione
il tempo impiegato dal raggio a
muoversi da e a c nel mezzo 1 a
velocità v1 sarà uguale al tempo
impiegato dal raggio a muoversi da h
a g nel mezzo 2 a velocità v2 e quindi,
essendo
sin q1 = l1 / hc
sin q2 = l2 / hc
si ottiene, introducendo gli indici di
rifrazione (adimensionali):
n1 = c / v1
e
n2 = c / v2 :
sin q1 l1 v1 c / n1 n2

 

sin q 2 l2 v2 c / n2 n1
Lezione n. 15
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Lunghezza d’onda ed indice di rifrazione
Si noti che la lunghezza d’onda l e la velocità di propagazione
della luce nel mezzo v (oppure c se nel vuoto) sono legate dalla
relazione ln = v T = v / n (oppure l = c T = c / n se nel vuoto)
e siccome il periodo T (e la frequenza n) dell’onda sono gli stessi,
si deve avere:
ln = l v / c = l / n
Questa relazione prevede che la lunghezza d’onda in un mezzo di
indice di rifrazione n dipende dal valore dell’indice di rifrazione.
Questo fatto comporta che la differenza di fase tra due onde luminose può variare se esse
attraversano due mezzi differenti.
Si considerino due mezzi di indici di rifrazione n1 e n2 lunghi L. Il numero di lunghezze d’onda
contenute nei due mezzi sarà dato da:
N1 = L / ln1 = L n1 / l
e
N2 = L / ln2 = L n2 / l
La differenza di fase in lunghezze d’onda sarà data dalla differenza:
DN = N2 - N1 = L (n2 - n1 ) / l
Per avere invece la differenza di fase in unità angolari, basta considerare che una differenza di fase
pari a una lunghezza d’onda l è equivalente ad un angolo giro 2p oppure 360° per cui:
Df = f2 - f1 = 2 p L (n2 - n1 ) / l = 360 L (n2 - n1 ) / l
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Diffrazione
Nel caso in cui il raggio luminoso incontri un ostacolo
di dimensioni paragonabili alla sua lunghezza d’onda,
l’approssimazione dell’ottica geometrica (per cui i
raggi luminosi possono essere considerati rettilinei)
non vale più.
In particolare, si assiste al fenomeno della diffrazione
(l’onda si diffrange oltre l’ostacolo).
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Interferenza: esperimento di Young
In tale esperimento i raggi di una sorgente luminosa vengono convogliati (facendoli entrare nel
forellino S0, che diviene sorgente elementare di un fronte d’onda sferico per diffrazione), nei forellini
S1 e S2, i quali si comportano da sorgenti elementari di onde sferiche (anche qui per diffrazione: vedi
anche il principio di Huygens).
Sullo schermo si osservano una serie di massimi e minimi di luminosità alternati. Sperimentalmente, si
osserva che la posizione dei massimi e
dei minimi dipende dalla lunghezza
d’onda, dall’angolo rispetto alla
perpendicolare al raggio e dalla distanza
tra i forellini S1 e S2.
Tale fenomeno va sotto il nome di
interferenza.
Inoltre, requisito fondamentale per la
formazione delle frange di interferenza
è che la differenza di fase tra le due
onde interferenti sia costante nel tempo
(si dice che le onde debbono essere
COERENTI).
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Posizione dei massimi e dei minimi
Nel punto P arrivano i due raggi (COERENTI) emessi da S1 e da S2. Mentre in S1 e S2 le due onde
sono coerenti, dopo aver percorso due tratti differenti di DL la loro differenza di fase varia: si ricordi
infatti che f = kx – wt per cui si ha Df = f2 – f1 = k ( x2 – x1 ) = k DL. Si noti anche che, essendo il
numero d’onda k = 2 p / l , questo implica che Df / 2 p = DL / l
La differenza di cammino ottico DL = b S1  d sin q va confrontata con la lunghezza d’onda l: se
essa è pari ad un numero intero di lunghezze d’onda si avrà interferenza costruttiva, cioè:
DLMAX = d sin q = m l
è
la
condizione
per
l’interferenza costruttiva. Tale
relazione può anche essere
scritta come:
DfMAX = 2 m p
Nel caso in cui, invece, DL sia
pari ad un numero dispari di
Si noti che, se D >> d, si ha
semilunghezze d’onda, si avrà
y = D tan q  D q
interferenza distruttiva. Ciò
m l = d sin q  d q
corrisponde a:
per cui la posizione di max e min è:
DLMIN = ( 2 m + 1 ) l / 2
YMAX = m l D / d
DfMIN = ( 2 m + 1 ) p
YMIN = ( m + 1 ) l D / d
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Intensità delle onde nell’esperimento di Young
La somma vettoriale dei due vettori
E1 = E0 sin wt e E2 = E0 sin (wt +f)
è data da
E = E1 + E2 = 2 E0 cos f / 2
Essendo l’intensità I dell’onda  E2, si ha:
I E2
f
 2  4 cos 2
I 0 E0
2
La differenza di fase Df è legata alla differenza di cammino ottico dalla
relazione Df / 2 p = DL / l ed inoltre si ha DL = d sin q per cui si ha:
f
Lezione n. 15
2pd
l
sin q
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Interferenza su pellicole sottili
Se la luce incide su una pellicola di liquido di
spessore L di dimensioni della sua lunghezza
d’onda, i due raggi riflessi direttamente ed
indirettamente (r1 e r2) interferiscono tra loro. La
luminosità dipende dalla differenza di fase tra i
due raggi, ovvero dalla differenza di cammino
ottico (pari a ab+bc).
Inoltre, quando un raggio luminoso si riflette su
una superficie di separazione con un mezzo più
denso, risulta sfasato di 180° o p (analogia con la
corda). La differenza di cammino risulta pari a:
Dl = ab + bc = 2 ab = 2 L cos q2
dove q2 è l’angolo di rifrazione.
Per produrre un massimo di
interferenza, essa deve essere pari
ad un numero intero di lunghezze
d’onda nel mezzo ln2, dove ln2 =
l / n2. Pertanto:
2 L cos q2 = (m + 0.5) l / n2
e per i minimi:
2 L cos q2 = m l / n2
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Interferometro di Michelson
Dispositivo di grande precisione per la misura di lunghezze d’onda per mezzo delle frange di
interferenza.
Il divisore di fascio deflette il raggio luminoso emesso da P verso M in due sottofasci: il primo verso
lo specchio M1, il secondo verso M2. Tali raggi vengono poi
ricombinati in M e rivelati in T. La differenza di cammino
ottico è data da Dl = 2 ( d2 – d1 )
Inserendo un foglio sottile di spessore L e di indice di rifrazione
n tra M e M1, si introduce un’ulteriore differenza di cammino
ottico tra i due raggi.
Il numero di lunghezze d’onda nel materiale (di spessore 2L
perché il raggio va avanti ed indietro!) è dato da
Nm = 2 L / l n = 2 L n / l
mentre, senza il materiale, nello stesso tratto di aria tale numero
di lunghezze d’onda è:
Na = 2 L / l = 2 L / l
per cui la differenza in lunghezze d’onda vale:
N m - Na = 2 L ( n – 1 ) / l
Questo dispositivo permette la misura di L oppure di n.
Lezione n. 15
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