Motore Asincrono: Regime Stazionario
Si consideri una macchina asincrona con il rotore avvolto o a gabbia.
• Lo statore viene collegato ad una rete a potenza infinita con tensioni
concatenate simmetriche e valore efficace costante.
• All’albero viene applicata una coppia resistente costante.
• Negli avvolgimenti di statore circola un sistema di correnti
equilibrate (per le condizioni di simmetria costruttiva della macchina),
limitate principalmente dalla fem indotta.
• Le correnti assorbite danno origine ad un campo magnetico rotante
la cui espressione si deriva partendo da alcune ipotesi semplificative
(Ipotesi di Campo):
1) permeabilità magnetica del ferro infinita (f= => Hf=0);
2) distribuzione del campo magnetico identica in tutti i piani
perpendicolari all’asse di macchina (si trascurano gli effetti di bordo
nelle testate);
3) andamento radiale delle linee di flusso al traferro (le componenti
tangenziali del campo devono essere nulle. Si trascurano le
perturbazioni di campo dovute alle cave).
Con riferimento alla fondamentale, il campo rotante viene descritto
dall’espressione:
12 2
3
x
HM 
K a qnc I
H ( x ,t )  H M [cos e ( t  )]
 
2
vc
Il profilo dell’induzione al traferro viene descritto dalla relazione:
x
x
3
B ( x ,t )  0 H M [cos e ( t  )]  B0 [cos e ( t  )]
2
vc
vc
Il flusso medio per polo si calcola tenendo conto della superficie del
polo Sp=pl dove p è il passo polare ed l la lunghezza del pacco
magnetico.
K B  l
f
0
p
Questo flusso, concatenandosi sia con lo statore che con il rotore,
induce una f.e.m. il cui andamento è sinusoidale.
Se il rotore è fermo è possibile esplicitare l’espressione fasoriale delle
f.e.m. indotte sullo statore e sul rotore:
es ( t )  EM s sin( et )
Es  jK s N s e 
er ( t )  EM r sin( et )
Er  jK r N r e 
Es K as N s
m

Er K ar N r
Dove m è il rapporto di trasformazione.Ks e Kr differiscono per il
diverso coefficiente di avvolgimento.
Se il rotore è di tipo avvolto, Er è misurabile ai morsetti aperti del
rotore.
Se il rotore ha i terminali aperti, nello statore viene assorbita una
corrente di magnetizzazione che genera il campo rotante (e sostiene le
perdite nel ferro) che vale:
Is0 è circa i 20 - 30 % di In contro il 5%
dei trasformatori, a causa della presenza
V f  Es0
I s0 
di un largo traferro.
Rs  jX s
Possiamo immaginare che:
I s0  I a  I 
Allo spunto (avvolgimenti di rotore in corto), le f.e.m. di rotore fanno
circolare una terna di correnti equilibrate Ir nelle fasi di rotore:
Ers  Rr I rs  jX r I rs
Le correnti di rotore generano, a loro volta, un campo rotante di rotore,
sincrono con quello di statore. Il suo n°di poli è pari a quello di statore.
Se il rotore è fermo, la velocità del campo rotante è identica alla
velocità angolare del campo rotante di statore (induttore).
c 
es
p

er
p
Siamo in condizione di sincronismo tra campi magnetici rotanti.
L’insieme delle forze che si esercitano tra conduttori di statore e di
rotore determina la coppia motrice che trascina il motore in rotazione
nella direzione di rotazione del campo rotante.
Una volta che il rotore si è messo in movimento si ha una diversa
velocità relativa tra campo rotante ed il rotore.
Diminuisce la velocità con cui le linee di forza del campo tagliano le
barre rotoriche e si modifica il regime elettrico indotto negli
avvolgimenti di rotore.
Per una generica pulsazione di rotore m = 2nm/60 e per l’assegnata
pulsazione del campo rotante c = e / p (nc), i conduttori di rotore si
concatenano con il campo rotante con una pulsazione c - m.
Nel rotore si instaura un regime elettrico che dipende dalla velocità
relativa c - m.
Se ne tiene conto introducendo il concetto di scorrimento. Si definisce
come scorrimento il rapporto tra la velocità relativa del campo
rispetto al rotore:
2
2
n  n
( vc  vmr ) Rc  Rmr 60 c 60 mr nc  nmr
s



2
vc
Rc
nc
nc
60
S esprime la frazione di giro che il rotore perde ogni giro completo del
campo rotante.
Il periodo con cui un conduttore di rotore si concatena con il campo di
di statore è:
2 p
2 p
2 p
Tc
ma Tc 
Ne segue che Tcr 
Tcr 

s
vc  vr svc
vc
1
1

 f cr  sf c
Con riferimento alla frequenza,
f cr sf c
Il concatenamento con velocità ridotta origina grandezze elettriche
caratterizzate da una frequenza ridotta rispetto a quella di
alimentazione e pari a:
pf cr  spf c  f er  sf
e l’induzione di rotore può essere espressa come:
x'
Br ( x' ,t )  B0 [cos( er t 
)]
p
Tenendo conto della relazione tra frequenze di rotore e statore:
x'
Br ( x' ,t )  B0 [cos( ses t 
)]
p
In condizioni di perfetto sincronismo tra campo rotante e rotore vr=vc
=> s=0 =>
x'
B( x' ,t )  B0 [cos( 
 *' )]
p
B(x’,t) è costante nel tempo. Il rotore vede un campo rotante fermo
perché si stanno muovendo con la stessa velocità e cessa il fenomeno
dell’induzione elettromagnetica di rotore e con esso la coppia motrice.
La coppia resistente fa rallentare il motore, ma se la macchina rallenta
s0 e quindi er(t)0 ed il rotore ridiventa sede di correnti e di coppia
motrice.
La macchina si porta in un punto di equilibrio in cui il ritardo del
rotore sul campo rotante produce un regime di correnti tale da creare
una coppia motrice che equilibra quella resistente.
Il regime elettrico del rotore è determinato dalla velocità relativa tra
campo rotante e rotore. La f.e.m. indotta sul rotore è legata alla
frequenza del campo rotante visto dal rotore ed è pari a
Er  jKr N r er  sapendo che fer=sf => Er  jK r N r ses 
La f.e.m. di rotore Er=Er(s)=sEr(s=1) varia al variare dello scorrimento.
Lo scorrimento dipende dal carico, precisamente dalla coppia resistente
che esso è chiamato a vincere.
A vuoto Er(s=0)=0, non ci sono f.e.m. e quindi correnti nel rotore.
Er ( s )  jK r N r ses 

Er ( s )  sEr ( s  1 )
Tenendo conto che il rotore è in corto, se applichiamo il II°p di
Kirchoff ai circuiti elettrici di rotore possiamo scrivere che
Er ( s )
Er ( s )  Rr I r ( s )  jX r ( s )I r ( s ) I r ( s ) 
Rr  jX r ( s )
Er(s) fa circolare correnti con una frequenza fer.
Le correnti di rotore generano a loro volta un campo magnetico
rotante che ruota, rispetto al rotore con un numero di giri pari a
60 f er
nel verso di rotazione del campo induttore, cioè
ncr 
p
60 f er 60 sf
ncr 

 snc  nc  nr
p
p
Il campo rotante di rotore si muove sul rotore che ha un numero di giri
pari ad nr. Un osservatore esterno, solidale con lo statore vede un
campo rotante di rotore che ruota con un numero di giri pari a
nr+(nc-nr)=nc [giri/min]
sincrono, cioè con il campo rotante di statore.
Da questo si può desumere che il rotore ruota, rispetto allo statore con
un numero di giri pari a nmr= nc- snc=(1-s) n c
resistenza
R2
induttanza
L2
a rotore
fermo (s = 1)
reattanza
X 2  2 f 2 L2  2 s f1 L2
impedenza
 Z 2  R2  j s X 0

2
2
2
Z

R

s
X
2
2
0

X 0  (5  10) R2
;
X 0  2 f1 L2
a rotore in
movimento (s  1)
X 02  (25  100) R22
;
X2  s X0
R22  X 02
Con riferimento alle condizioni di corto possiamo scrivere:
sEr ( 1 )  Rr I r ( s )  jsX r ( 1 )I r ( s )
Rr
Er ( 1 ) 
I r ( s )  jX r ( 1 ) I r ( s )
s
Er ( 1 )
La Ir può essere vista come circolante
Ir ( s ) 
in un rotore immobile (fr=fs) ma con
Rr
 jX r ( 1 ) un carico di tipo ohmico Rr/s:
s
Modello Elettrico di Macchina
V f  ( Rs  jX s )I s  Es Equazioni elettriche relative ad una
s
Rr
singola fase di macchina
0 (
 jX r )I r  Er
s
La relazione tra fem indotta e flusso è data dalla:
Es  jK s N s e 
Er  jK r N r e 
Le grandezze elettriche sono iso-frequenziali, quindi possono essere
confrontate tra loro nel medesimo piano di Gauss.
Il carico resistivo Rr/s può essere scomposto nella componente
resistiva di rotore, Rr, e dell’immagine elettrica del carico Rr(1-s)/s.
Le equazioni elettriche diventano:
Il che equivale a una macchina a
V f  ( Rs  jX s )I s  Es
s
rotore bloccato le cui fasi
1  Rr
una
resistenza
0  ( Rr  jX r )I r 
I r  Er alimentano
s
aggiuntiva di Rr(1-s)/s per fase.
Analogia con il Trasformatore
Se si considerano le equazioni relative ad ogni fase di un motore
asincrono trifase il cui rotore ha uno scorrimento s e riportiamo il
circuito equivalente
V  ( R  jX )I  E
fs
s
s
s
s
1 s
0  ( Rr  jX r )I r 
Rr I r  Er
s
Rs
I
s
Si nota subito la
somiglianza con il
circuito equivalente Vfs
del trasformatore (a
meno
magnetizzazione).
della
Xs
Xr
Is
Es
Rr
Ir
Er
Rr(1-s)/s
se s=0 (sincronismo) Rr/s => : la macchina funziona come un trasf. a
vuoto (secondario aperto)
se s=1 (spunto) Rr/s => Rr : la macchina funziona come un trasf. in corto
Rr(1-s)/s=0
Corrente a vuoto
R1
I1t
V
X1
X2
I1
Rp
E1
R2
I2
E2
R
Xm
Iv
Ip
V
Im
Iv: corrente a vuoto
Rp
Xm
Ip: corrente di perdita
Im: corrente di magnetizzazione
Iv
Ip
Im
Ip<<Im
2
V
2
Perdite a vuoto Pp  R p I p 
Rp
Perdite a vuoto sincrono
(scorrimento nullo)
• perdite nel ferro primario
Pfe  C p ( f f n )1, 2 B 2
Perdite a vuoto effettivo
(coppia resa nulla)
• perdite nel ferro primario
Pfe  C p ( f f n )1, 2 B 2
• perdite meccaniche
Pm  (0,7  0,8) Pn n
Cp = cifra di perdita a 1T e frequenza nominale [W]
Pn = potenza nominale [W]
n = velocità di rotazione [giri/min]
Il circuito equivalente diventa:
Is
Rs
Xs
Xr
I’s
Vfs
Es
Ra
Xm
Rr
Ir
Er
Rr(1-s)/s
Da cui si può ricavare il diagramma fasoriale al pari dei trasformatori
Si riporta la corrente di magnetizzazione ed il flusso da essa generato
sull’asse reale.
Sfasati di 90° il ritardo si riportano le fem indotte di statore e di
rotore.
Le cadute sull’impedenza caratteristica sul secondario chiudono il
triangolo sulla fem di rotore.
Le cadute sull’impedenza caratteristica di statore chiudono i fasori di
tensione di fase e di fem di statore ...
Il diagramma fasoriale
jXsIs
V
RsIs
-Es
I’s
Is
Io
Ia
Im
(Rr/s)Ir(s=1)
Ir
Er
jXr(s=1)Ir(s=1)
Es

E’ possibile ottenere un modello semplificato riportando il modello di
rotore allo statore e viceversa. Il circuito equivalente visto dallo statore
si ricava facilmente. Si considera la equazione elettrica di rotore:
Si moltiplicano ambo i membri per il rapporto
Rr
Er  (
 jX r )I r
di trasformazione m e moltiplico per m/m solo
s
il II° membro
Rr
m
Ir
2 Rr
mEr  (  jX r )m I r  m (  jX r )
s
m
s
m
Ir
Rr '
2 Rr
mEr  Es ;
 I s' ; m

m
s
s
Rr '
Si ha : Es  (
 jX r ' )I s '
Rs
I
s
s
V f  ( Rs  jX s )I s  Es
s
Vfs
Rr '
V f  ( Rs 
)I s ' 
Ra
Xm
s
s
 j( X s  X s ' )I s '
Ricordando che
X r X r'
; m

s
s
2
Xs I’
s
X’r
R’r
I’r
R’r(1-s)/s
Diagramma delle Correnti al Variare dello Scorrimento
Con il circuito equivalente ridotto è possibile verificare come variano
le correnti di statore al variare dello scorrimento s.
I° ipotesi semplificativa
Le perdite meccaniche di rotore sono conglobate nelle perdite del
ferro di statore (variazione effettiva dell’1% tra vuoto e carico). Ne
segue che a vuoto s=0 ed Ir=0.
Lo statore assorbe una corrente ed una potenza a vuoto pari a:
I   I 0 sin 0 ; I a  I 0 cos 0
P0  3 E f I 0 cos 0
; Q0  3 E f I 0 sin 0
P0  Pmecc  Pfe  Pcu 0
II° ipotesi semplificativa
Si trascurano le cadute di tensione sullo statore.
E f  cos t  Es  cos t  f  cos t    cos t
Er ( 1 ) 
Es
m
Se applico all’asse una coppia resistente, il rotore rallenta ed in
posizione di equilibrio scorre rispetto al campo rotante di s. Ciò
determina una corrente rotorica pari a:
Ir ( s ) 
Er ( 1 )
2
 Rr 
2

X
(
1
)
 
r
s
 
A cui corrisponde una
Xr(1)
Xr(1)
; tan  r ( s ) 
s
Rr
Rr
s
Ir ( s )
I s'  
m
oltre che alla I0
Vediamo cosa succede al vettore I2(s) al variare di s.
1) Se s=0 ( vuoto) => I r ( s )  0
2) Se s=1 ( corto=spunto) =>
I r ( 1 ) cc 
Er ( 1 )
Rr  X r ( 1 )2
2
Xr(1)
tan  rcc ( 1 ) 
Rr
3) Se s= (ideale) =>
I r ( s ) s  
Er ( 1 )
Xr(1)
Er ( 1 )
; Ir ( s )   j
Xr(1)
S= significa far ruotare artificialmente il rotore in senso opposto al
campo rotante con velocità infinita.
nc  nm
s
 s   se  nm  
nc
2()=90° di ritardo su Er.
Ciò significa che coincide
con l’asse reale negativo.
Si può anche scrivere
Ir ( s ) 
Er ( 1 )
Xr(1)
X r ( 1 )  R 2
2
r

X
(
1
)
 
r
s
 
ma
Xr(1)
2
 Rr 
2

X
(
1
)
 
r
s
 
 sin  r ( s )  I r ( s )  I r (  )sin  r ( s )
Con riferimento ai fasori, il
triangolo O, P2, P2() è
rettangolo in P2.
Variando s, P2 descrive la
semicirconferenza che ha
come diametro Ir() .
Un qualsiasi valore di
coppia resistente determina
una corrente di rotore pari ad Ir il cui vertice, P2, si muove lungo una
semicircoferenza di diametro Ir(), i cui punti caratteristici sono
l’origine degli assi e P2() sull’asse reale negativo.
Il campo di variazione per Ir va da 0 a Ircc.
Corrispondentemente, allo statore
viene richiamata una corrente I’s
che si compone con la I0 per
originare la Is.
E’ facile verificare che il vertice del
fasore Is si muove in corrispondenza
al
perimetro
della
semi
circonferenza P0 , P1 , P1() .
Il centro O1 della semi
circonferenza si trova
sull’orizzontale
condotta per P0 ed il
suo diametro è P0P1()
rappresentato
dal
vettore I’s()=Ir()/m.
I vettori condotti dall’origine O ai
vari punti della semi circonferenza
rappresentano le correnti assorbite
dallo statore al variare di s
Per s=0 => Ir=0 => I’s=0 => Is=I0
Per s=1 =>
I r ( 1 ) cc 
Er ( 1 )
Rr  X r ( 1 )2
2
Xr(1)
tan  rcc ( 1 ) 
Rr
Vf
C
Iscc
Is’
Is
1
A
O
O’
P
I0
Iscc rappresenta la corrente di corto circuito primaria (a tensione piena)
e l’angolo relativo è l’angolo di corto
Una volta dimostrate le caratteristiche, si fa riferimento al diagramma
di statore per la possibilità di conoscere alcuni punti caratteristici
tramite determinate misure.
Diagramma Circolare o di Heyland
E’ un diagramma, a flusso costante, che consente di determinare lo
stato della macchina in condizioni di stazionarietà a partire dal
diagramma delle correnti di rotore e di statore. Per gli scopi pratici, è
sufficiente fare riferimento alle sole correnti di statore.
I° ipotesi semplificativa
Le perdite meccaniche di rotore sono conglobate nelle perdite del
ferro di statore.
II° ipotesi semplificativa
Si trascurano le cadute di tensione sullo statore.
Tracciamento del diagramma circolare
Per tracciarlo basta conoscere 2 punti del perimetro ed il centro. In
particolare, interessano i punti che si possono facilmente verificare
con prove di tipo come quella a vuoto (s=0) ed in corto circuito (s=1).
La macchina è un carico simmetrico ed equilibrato. Bastano un
voltmetro, un amperometro e due wattmetri in inserzione Aron.
Schema di misura
A
W13
V
W23
M


La Prova a Vuoto
Se Tr=0, s0. Con V si controlla la tensione nominale di fase mentre
con A si misura la I0. Dai wattmetri si misura la potenza assorbita a
vuoto (P0=W13+W23). Dalla lettura degli strumenti si determina il
P0
cos0.
cos 0 
3V f I 0
Noti I0 e cos0, si riporta il primo punto P0 del diagramma circolare.
La Prova in Corto Circuito
Si blocca il rotore (s=1) e si alimenta il motore con tensione ridotta
Vfcc (Vfcc  1530 Vfn) in modo che circoli la corrente nominale di
statore Is. Dai wattmetri si ricava la potenza assorbita P’scc.
Si ricava il coscc
P' scc
cos cc 
3V fcc I sn
si riportano le condizioni di corto dalla tensione ridotta a tensione
piena (Isn=>Iscc) considerando che alimento sempre la stessa
impedenza caratteristica di macchina
V fcc Vsn
Vsn
Z' e 

 I scc 
I sn
I sn I scc
Vscc
a tensione ridotta e tensione piena, le potenze assorbite sono:
P' scc  3V fcc I sn cos cc
; Pscc  3Vsn I scc cos cc
eguagliando rispetto all’angolo di corto
P' scc
Pscc
 cos cc 
3V fcc I sn
3Vsn I scc
Vsn I scc
 Pscc 
P' scc
V fcc I sn
P’scc e P’scc forniscono le perdite Joule in condizioni nominali e di
corto, rispettivamente.
Si riportano sul grafico il modulo Iscc e l’angolo coscc e si ricava il
secondo punto Pcc.
Per costruire il diagramma circolare si congiunge P0 e Pcc;
Dal punto di mezzo di P0Pcc si porta una perpendicolare;
All’incrocio con la direzione orizzontale passante per P0 si ricava il
centro del cerchio O’;
Con centro O’ e raggio
Vf
Pcc
O’P0 si traccia un arco di
cerchio che passerà per Pcc
Icc
è il diagramma circolare
I’cc
Un qualsiasi punto P
cc
tracciato sul diagramma 0
O’
fornisce:
I0 P0
O
la corrente assorbita (0P)
La corrente rotorica riferita
al primario (P0P)
Fattore di Potenza e Diagramma Circolare
Dato un punto di lavoro P sul diagramma circolare posso determinare
il cos su una apposita scala predisposta sul diagramma circolare.
Si tracci un quarto di circonferenza nel primo quadrante e si tari una
scala unitaria sull’asse verticale.
Per ogni vettore di
corrente, il relativo
cos si determina
proiettando sull’asse
verticale la proiezione
del punto di incontro
della direzione del
vettore di corrente con
il cerchio di raggio
unitario.
La lettura è diretta sulla scala predisposta.
Allo stesso modo posso leggere il cos0 ed coscc.
Il motore viene costruito in modo tale da realizzare il max cos a
pieno carico.
Questa condizione si ha in corrispondenza alla direzione tangente al
diagramma circolare, passante per l’origine.
Il modulo della corrente nominale è proporzionale al segmento OP
Potenze, Perdite e Diagramma Circolare
Quando all’asse di un motore è applicata una coppia frenante Tr, lo
statore assorbe dalla rete una potenza reale pari a: Pa  3V f I s cos 
La corrente statorica, percorrendo gli avvolgimenti, determina le
perdite per effetto Joule valutabili con la relazione: Pcus  3Rs I s 2
Il campo rotante statorico, generato dalla corrente magnetizzante,
concatenandosi in modo variabile con il circuito magnetico statorico,
determina le perdite nel ferro per isteresi magnetica e correnti
parassite
Tali perdite, essendo legate a fs ed a B2 (il flusso è costante), rimangono
costanti da vuoto a carico.
Vanno anche considerate le perdite addizionale dovute alle armoniche
di campo. Le Norme CEI 2-6/80 le stimano uno 0.5% della Pa.
La differenza tra Pa e Pfe+Pcus corrisponde alla potenza elettrica
trasformata in meccanica dal campo magnetico PT (PT= Pa -Pfe-Pcus )
Affinchè tale interazione avvenga, è necessario che il rotore “scorra”
rispetto al campo rotante. In questo modo, il fenomeno dell’induzione
elettromagnetica genera delle correnti di rotore che generano il
relativo campo rotante rotorico.
La corrente rotorica determina a sua volta, delle perdite per effetto
Joule pari a : Pcur  3Rr I r 2
La potenza meccanica generata sarà quindi: Pmg= PT -Pcur
Si ricorda che nel rotore funzionante in condizioni normali, si
possono trascurare le perdite nel ferro per la bassa frequenza delle
grandezze elettriche.
La potenza trasmessa e la potenza meccanica generata possono essere
espresse in funzione della coppia generata e del numero di giri.
In particolare, la potenza trasmessa dal campo magnetico rotante PT al
rotore può essere vista come una coppia generata, Tg, per la
pulsazione del campo rotante, c: PT = Tg c
Mentre la potenza meccanica generata sarà legata alla effettiva
pulsazione di rotore m: Pm = Tg m
tenendo conto del bilancio delle potenze di rotore:
Pcur  PT  Pm  Tg c  Tg m  Tg ( c  m )
Pcur  Tg sc  sPT
Pcur
s
PT
Lo scorrimento può essere visto come rapporto tra perdite
nel rame di rotore e potenza trasmessa del campo rotante.
Alla potenza meccanica generata andranno sottratte le perdite
meccaniche per attrito e ventilazione (Pmecc) che dipendono dalla
velocità di rotazione. Possono essere considerate praticamente
costanti al variare dalle condizioni di vuoto a quelle di carico.
Si viene così a determinare la potenza utile che traina il carico.
Schema del bilancio delle potenze
potenza elettrica assorbita
Pa  3Vs I s cos s
perdite rame statore 3 Rs I s2
 B2
perdite ferro statore
potenza trasmessa al rotore PT  3 Er I r cos r  Tg
Pcur  3 Rr I r2
perdite rame rotore
potenza meccanica prodotta Pm  Tg
2
nc
60
2
nm
60
Pm  3 Rr
perdite meccaniche
potenza resa
rendimento
Pr

Pr
Pass
1 s 2
Ir
s
Pcur  PT  Pm  Tg
2
nc  nm 
60
Pcur nc  nm

s
PT
nc
Pa  3V f I s cos 
La potenza assorbita dalla rete è:
Vf=cost. Per le diverse condizioni di carico si ha che Pa  Is coss
P
Pcc
Pa
Se P è il punto di lavoro nel
diagramma delle correnti, la
P
Icc
Is
sua
proiezione
sull’asse
I’cc
s
verticale è  Is coss .
Se si moltiplica la scala
C
O’
B
cc
Po
B
verticale per 3Vf , l’asse y
P
I0 0
O
viene tarato in una scala di
A0 A
Acc
potenze attive e tutto il
diagramma circolare viene
tarato in potenza funzione dello scorrimento s.
Il segmento PA è  a Pa . Analogamente, P0A0 è  a P0 (P0 tiene conto
di Padd , Pfe , Pcu0 se misurato con una prova a vuoto). Ora, il segmento
BccAcc è  a P0 per ipotesi, quindi il segmento PccAcc è  a P0+Pcc ed il
segmento PccBcc è  a Pcc
Pcc
.
. ..
..
Se si considera la direzione P0Pcc , si dimostra che, per un dato carico
(punto P), le perdite nel rame sono proporzionali al segmento BC.
Dall’analisi della figura si
P
Pcc
rileva che i triangoli
P
P0BC e P0BccPcc sono simili:
BccPcc : BC = P0Bcc : P0B
.
. BC
.P ..
Anche i triangoli P0BccPcc e
P P0PccP sono simili perché
0
O
rettangoli in Pcc e in Bcc ed
A0
hanno l’angolo in P0 in comune => P0Bcc : P0Pcc = P0Pcc : P0P
ne segue: P0Bcc = (P0Pcc )2 / P0P
I triangoli P0BP e P0PP sono simili perché rettangoli in P e in B ed
hanno l’angolo in P0 in comune => P0B : P0P = P0P : P0P
=> P0B = (P0P )2 / P0P
Sostituendo i segmenti P0B e P0Bcc nella prima espressione di
similitudine si ha che BccPcc : BC = P0Bcc : P0Bcc diventa
..
Bcc
BccPcc : BC = (P0Pcc )2 / P0P : P0P / (P0P )2
BccPcc : BC = (P0Pcc )2 : (P0P )2
ora, BccPcc è un segmento proporzionale a Pcc;
P0Pcc e P0P sono segmenti proporzionali al modulo della corrente di
corto e di carico, rispettivamente, ne viene che:
(P0Pcc )2  (I’scc)2 e (P0P )2  (I’s)2 allora
BccPcc : BC = (I’scc )2 : (I’s )2 e si conclude che
BC = Pcc*(I’s /I’scc )2
Il segmento BC rappresenta le perdite nel rame per effetto Joule Pcus
in corrispondenza al punto di lavoro P.
Il segmento AC=AB+BC=P0+Pcus è proporzionale alle perdite totali
di macchina quando questa lavora nel punto P.
Ora, dato che il segmento AP è proporzionale a Pa, ne viene che il
segmento PC=AP-AC=Pa-(P0+Pcus)=Pr è proporzionale alla potenza
meccanica generata (Pr), disponibile all’asse del motore.
La direzione P0->Pcc
prende il nome di retta
delle potenze rese e
fornisce una indicazione
immediata della potenza
resa all’asse per un
determinato valore di
scorrimento s.
Vf
Pcc
Icc
Pr
Pass
Is
retta delle potenze rese
Is’
s
Pcu
Po
O
I0
Pp
Pfe
retta delle potenze assorbite
Vf
S=1
Pr
Pcurot
S=0
O
I0
Icc
perdite rame
rotore
perdite rame
statore
Pcustat
P0
perdite a vuoto
Se si conosce la
resistenza di statore, Ps,
o le perdite di statore in
condizioni di cc Pccs
(Pccs=3RsIscc2) allora è
possibile determinare le
perdite di statore e
rotore a carico normale.
Si riporta il valore Pccs sul segmento BccPcc e trovo il punto Dcc.
I segmenti
P
Pcc
Pcc
BccDcc  Pccs
P
Pa
DccPcc  Pccr
Icc
Is
Dcc
I’
cc
s
in condizioni di corto.
Per
ottenere
la
C
Bcc
Po
D
separazione delle perdite
B
P
I0 0
O
nel rame di statore e di
A0 A
Acc
rotore per ogni altra
V
condizione di funzionamento si
I
P
traccia la direzione P0Dcc.
Sia D l’intercetta con il
P
segmento BC. Si ha così che i
P
segmenti BD  Pcus e DC 
P
I
O
Pcur
ne segue che PD  PT infatti PD=PC+CD= Pm + Pr = PT
.
..
. ..
..
f
S=
1
r
curo
t
custat
S=0
0
0
cc
perdite
rame
rotore
perdite
rame
statore
perdite a
vuoto
Coppia e Diagramma Circolare
PT 60
60 f
Tg 
nc 
Essendo che
2 nc
p
il segmento DP fornisce, in un’altra scala, anche la misura di coppia
(Se as es. 1mm => 1W allora 1mm => 60/2nc J)
La scala delle potenze viene ritarata in quella delle coppie.
La direzione P0Dcc viene detta “retta delle coppie” e partendo da
questa retta si possono rappresentare tutte le coppie sul diagramma
circolare.
V
Il rotore ruota con nm<nc
I
Tg
e la potenza generata è
P
2
Pm  Tg
nm
60
1
cc
perdite rame
rotore
trasmessa
retta delle coppie
perdite rame
statore
la differenza viene
dissipata in calore
0
Pcur  sPT
negli avvolgimenti
I0
perdite a vuoto
Con riferimento al circuito equivalente delle m.a., la Pm impressa al
rotore equivale alla potenza elettrica dissipata in una resistenza di
1 s
carico fittizia 1  s
tale che
Rr
Pm  3
Rr I r ( s )2
s
s
PT Pcur
P

sP

Sapendo che cur
e Tg 
T
c sc
60 3 Rr I r ( s )2 60 p 3 Rr ( sEr ( 1 ))2
Tg 

2nc
s
2 60 f s s Rr2  ( sX r ( 1 ))2
3 p Es 2 Rr
sRr
3 p Vf 2
Rr
Tg 
(
)

(
)
2
2
2 f s m
s Rr  ( sX r ( 1 ))
s m Rr 2
 sX r ( 1 )2
s
Che è l’espressione della coppia già ricavata.
Vi sono altri modi per ricavarla o definirla
fem indotta a rotore fermo Er ( 1 )  K r  nc
nc 
Er ( 1 )
Kr
Pe  3 Er I r cos r
2  nc
potenza meccanica trasmessa al rotore PT  Tg c  Tg
60
potenza elettrica trasmessa al rotore
Pe  PT
3 Er I r cos r  Tg
2  nc
2  Er
 Tg
60
60 K r 
Tg  K  I r cos  r
Tg  3
60
K r  I r cos r
2
Tg  K  I r cos  r
Tg  K
K n R
s Er Rr
sR
 K  s r c r  K f  2 nc 2r
Zr Zr
Zr Zr
Zr
Tg  K f  2 nc
s Rr
Rr
2

K

n
f
c
Rr2
Rr2  s 2 X r2
 s X r2
s

Tg  f  2 , s

si suppone  = cost. (in realtà 
diminuisce all’aumentare del carico
per effetto della reazione d’indotto del
rotore, e quindi varia con lo
scorrimento)
sR
Tg  K f  nc 2 22 2
R2  s X r
2
T
A  K f 2 nc Rr
Tmax
Tg 
As
Rr2  X r2 s 2
A
s
Rr2
A 1
s   0 ,2 ; s 2 X r2  Rr2  T  2
Xr s
s   0 ,05 ; s 2 X r2  Rr2  T 
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
s 1.00
Coppia massima
Tg ( s ) 
As
Rr2  X r2 s 2
Tg 
A
Rr2 s   X r2 s
Rr2
s  2
Xr
R
sM  r
Xr
2
M
Il denominatore
diventa minimo per
  Rr2
d  Rr2 
2
2
   X r    2  X r   0
ds  s 

  s
lo scorrimento che corrisponde alla coppia massima è dato dal rapporto fra
la resistenza e la reattanza a rotore fermo dell’avvolgimento d’indotto.

sM Rr
Rr X r Rr
Rr2 X r
2
2
TM  T ( sM )  K f  nc 2 2 2  K f  nc 2
 K f  nc 2
2
2
Rr  sM X r
Rr  Rr2
Rr  Rr X r  X r
2
 2 nc
TM  K f
2Xr
Coppia in funzione del flusso
(motore a 4 poli – n0 = 1500 g/min)
T
1,2 n
1,1 n
Tmax
n
Tmax
 2 nc
 Kf
2Xr
0,9 n

1200
1275
1350
1425
1500
0,05
0
s
0,2
scorrimento di coppia massima sm = 5%
n (g/min)
T
s
Tmax
R2b
Tavv
nc  n
nc
nm  ( 1  s ) nc
R2a
R2c
R2d
coppia massima
TM  K f
R2a < R2b < R2c < R2d
R2c = X0
n0
0
s
n
1
0
scorrimento per la coppia massima
sM = Rr/Xr
coppia di avviamento massima per
Rr = Xr (sm = 1)
 2 nc
2Xr
Rapporto fra coppia di avviamento e coppia nominale
Tn  Er I rn cos rn  I rn Z r I rn
Funzionamento a carico nominale
Is
Rs
Xs
Xr
I’s
Rr
I0
Vf
1  R
Rrt  Rr  Rr   1   r
s
 s
Ir
Es
Ra
1 
R  Rr   1
s 
Er
Xm
Tn 
Funzionamento allo spunto (corto circuito)
Is
Rs
Xs
Xr
Is
I0
Vf
Rr
2
Pcur  Rr I rcc
Ircc
Es
Ra
Rrt
 I rn2 Rrt
Zr
Er
2
Ts  Rr I rcc
Xm
Ts
Tn
I 
 sn  r cc 
 I rn 
2
Rr 2
I rn
sn
Coppia nominale, di spunto, massima e diagramma circolare
T
Tg
Tm
s
1200
0,2
1275
1350
1425
0,05
1500
0
n (g/min)
Va precisato che
Tg = Tm + Tp
e che Tp sono proporzionali alle
perdite joule di rotore
Il campo di funzionamento
normale da TM a 0 (s=0).
In tale intervallo lo scostamento tra nc ed nm è limitato (s => 25%)
Come si può notare, i ragionamenti svolti su una curva possono
essere estesi anche all’altra.
Si deve anche tener presente l’approssimazione EsEf.
Con il cambio di scala, il diagramma viene riferito alle coppie.
In particolare, i segmenti DP e PC diventano proporzionale alla Tg
ed alla Tm , rispettivamente, per una assegnato punto di lavoro P.
Variando s da 0 a 1, misurando tutti i relativi segmenti DP e DC
riportandoli poi su un grafico Tg e Tm in funzione di s, si ottengono
per via grafica le due caratteristiche meccaniche prima indicate.
Se s=1 si valuta la coppia di spunto che corrisponde al segmento
DccPcc. Tutta la PT viene dissipata sull’avvolgimento di rotore.
Per TM basta valutare il segmento PD di lunghezza massima. E’
facile dimostrare che portando la tangente alla retta delle coppie sul
diagramma circolare si ottiene un punto PM. Se si porta una verticale
su PM si ottiene il
V
P
punto DM .
P
P
I
T
Il segmento PMDM
è proporzionale alla
T
T
D
TM.
I
C
f
M
cc
M
cc
perdite rame
rotore
s
n
cc
n
perdite rame
statore
D
Bcc
0
I0
B
A
perdite a vuoto
Acc
Resistenza di avviamento e diagramma circolare
Per migliorare l’avviamento si incrementa la resistenza di rotore con
resistenze aggiuntive che verranno disinserite man mano che la
macchina si avvia.
Sappiamo che la modifica di Rr non modifica la TM.
E’ possibile valutare sul d.c. il valore della Ragg per avere la coppia
massima allo spunto. E’ sufficiente ruotare la retta delle coppie in
modo che il punto Pcc coincida con il punto PM
Vf
PM
Retta delle potenze
rese con reost.
Pcc
I’cc
Icc
’cc
D’cc
cc
0
Retta delle potenze
rese senza reost.
I0
Dcc
Retta delle coppie
Se il rotore è senza
reostato, allo spunto
assorbe una corrente Icc
sfasata di cc e la coppia
di
spunto
è
proporzionale a PccDcc.
Se Rr cresce, la retta delle potenze rese si sposta perché aumentano le
perdite di rotore mentre rimane invariata la posizione della retta delle
coppie (PT non dipende da Rr). Il segmento P’ccD’cc > PccDcc.
Icc è tanto minore quanto maggiore è Rr.
T aumenta fino a TM poi torna a diminuire.
La cond. di TM allo spunto è s=1 => Rr= Xr(1) => Ravv= Xr(1)- Rr.
Il calcolo della Ravv con il d.c. è più preciso rispetto alla formula ma
rimane l’approssimazione EsEf.
Il segmento P’ccH è
proporzionale
alla
V
P
potenza assorbita allo
P
Retta delle potenze
spunto
rese con reost.
I’
P’ccH  3Ravv I’2cc
H
Retta delle potenze
I
D
rese senza reost.
I’cc assorbita allo spunto
’
D’
si legge direttamente dal
Retta delle coppie

segmento 0P’cc
f
M
cc
cc
cc
cc
cc
cc
0
cc
I0
Scorrimento e Diagramma Circolare
Sia s=Pcur/PT  DC/DP
Se s=0 ( a vuoto), P si sovrappone a P0
Se s=1 ( in corto), P si sovrappone a Pcc
Si può ottenere sul d.c. una scala per la misura diretta di s.
Si tracci una parallela alla retta delle coppie e si identifichi il
segmento S0S1.
Lo divido in 100 parti
ed ottengo la scala di s.
Lo scorrimento si
legge prolungando
la direzione OP
fino ad
intercettare la scala s.
Rendimento e Diagramma Circolare
Sia =Pu/Pa  PC/PA
La lettura di  può essere effettuata sul d.c. su una scala ottenuta
prolungando la direzione P0Pcc fino a tagliare l’asse reale in R.
In R porto una verticale t’.
Traccio una generica retta orizzontale che intercetta le direzioni
indicate nei punti E0E1. Taro E0E1 in 100 parti ed ottengo la scala .
Per leggere  prolungo
PR fino ad incontrare
la scala di  e leggo
la indicazione.
Si noti che a vuoto
E => E0
Curve Caratteristiche del Motore Asincrono
Il diagramma circolare consente di ricavare tutte le curve
caratteristiche di macchina (Pa, Pu, Tg, Tm, cos, s,  in funzione
della corrente di carico basta immaginare di frenare gradatamente la
macchina, da vuoto fino al corto.
P si muove da
P0 a Pcc
ed Is varia da
I0 ad Icc .
Sui diversi
diagrammi si
leggono le relative
grandezze e si
riportano in funzione
della Is.
Andamento qualitativo delle caratteristiche di un motore asincrono in
funzione della potenza meccanica resa sull’asse

cos1
I1
Pp
0
s
Presa
100%
Pn
Studio della Caratteristica Tm(s) per -s+
Esaminiamo i possibili modi di funzionamento per le macchine
asincrone:
1) Motore: Pe>0; Pm>0
Pe
M
3
U
Pm
La macchina riceve potenza elettrica dalla
rete, Pe, e la converte in potenza
meccanica, Pm, che viene fornita al carico,
U.
2) Generatore: Pe<0; Pm<0
Pe
M
3
U
Pm
E’ la macchina primaria U che invia
potenza meccanica al motore il quale la
trasforma in elettrica e la invia in linea.
1) Freno: Pe>0; Pm<0
Pass
M
3
U
Nella condizione di freno, la macchina
riceve potenza sia dalla rete che dal carico
e la dissipa al suo interno.
Pm
Vediamo per quali intervalli di scorrimento si realizzano questi tipi di
funzionamento per la macchina asincrona. A tal fine è sufficiente
analizzare i segni di Pe e di Pm.
(1 s )
2
A) per la Pm sappiamo che: Pm  3 s Rr I r
(1 s )
ed il suo segno è dettato dal fattore
s
Pm>0 se 0s1;
Pm<0 se -s0 e se 1s+.
B) Per la potenza elettrica Pe, trascuriamo le perdite nel ferro che
sono costanti al variare di s, e mi riferisco al circuito equivalente
trasformatorico riferito al primario:
I s' 2 
1

2
2
2 (1 s )
2
Pe  3 Rs I s  Rr ' I s ' 
Rr ' I s '   3 I s  Rs  Rr ' ( ) 
s
s
Is 



Is
Ora, il circuito equivalente può
I
Is
essere visto come un parallelo tra Z0
Zs
Zr ’
Z0
e Zr’
Vfs
~
Rr '
Z 0  jX  Z r ' 
 jX r ' ( s  1 )
s
Considero la formula del partitore di corrente in un parallelo e lo
2
2
s
X
inserisco nella espressione della
I s' 2

( ) 
I
R ' 2  s 2 ( X  X ' )2 potenza elettrica, Pe.
’
s
r

r
2
2


s
X
1
2


Pe  3 I s Rs  Rr '
2
2
2 

s
R
'

s
(
X

X
'
)
r

r


2
2
2
2
2


R
s
(
R
'

s
(
X

X
'
)
)

s
R
'
X
2 s
r

r
r
 
Pe  3 I s
..............
2
2
2


s( Rr '  s ( X   X r ' ) )


2

 2
3
I
s
( s ( X   X r ' )2 Rs  s Rr ' X  2  Rs Rr ' 2 )
.....Pe   2 2
 R '  s ( X  X ' )2 

r
 r

L’analisi del segno di Pe si riconduce all’analisi del segno del
trinomio al numeratore. Pe risulta positiva all’esterno dell’intervallo
delimitato dagli zeri del polinomio, s1 ed s2.
s1,2
2

2
4 Rs  X r ' ( s  1 )  
Rr '


1 1 2 1
 
X  
X
 X r' ( s  1 )  
 
 
2 Rs  1 

X



s1  0
X  X ' ( s  1 )
Se si fanno le seguenti
ipotesi semplificative:

r
X   Rs
=>
Rr '
s2  
Rs
Cioè Pe<0 per s2ss1;
Pe>0 per -ss2 e per s1s+.
S2
S
-
Pm
S1 0
-
0
1
S
1

Pm
+
-
-
Pe
+
S2
-
freno
Generatore
Motore
generatore
s2<s<s1
s2<s<s1
S1
+
freno motore
Pe
freno
s<s2
Freno

1<s
s1<s<0

Studio delle Armoniche nei Motori Asincroni
Ipotesi di campo:
1) permeabilità magnetica del ferro infinita (f= => Hf=0).
2) distribuzione del campo magnetico identica in tutti i piani
perpendicolari all’asse di macchina (si trascurano gli effetti di bordo
nelle testate).
3) andamento radiale delle linee di flusso al traferro (le componenti
tangenziali
del campo devono essere nulle).
ni

2
Con valore costante del campo al traferro ed
4 poli
p
in regime di linearità, il campo rotante può
e
essere espresso in funzione di una sola
x
variabile lineare, x, valutata lungo il
perimetro del traferro.
Si è già visto che il campo H è rettangolare
x lungo lo sviluppo planare e periodico
 :  p  e : x
e 
 perché valutato su una circonferenza
c
p
Essendo H(x) rettangolare e periodica, posso svilupparla in serie di
Fourier:
nc i
2

nc i
2
4
4 1
4 1
H (  e )  Hsin (  e )  H sin( 3 e )  ......  H sin( n e )

 3
 n

nc i
2 nci 1
x
dove H 
=>
H (x) 
sin( n )
2
p
n 1( dispari)   n
In presenza di q cave per polo e per fase sfasate tra loro del passo di
cava, c, otteniamo una serie di q profili rettangolari sfasati tra loro
del passo di cava, ognuno dei quali può essere sviluppato in serie.
Le fondamentali sono identiche
ma risultano sfasate tra loro
dell’angolo elettrico, c, che
sottende il passo di cava, c.
Il profilo delle Asp al traferro,
sviluppato su un piano, è a
gradini, con un andamento
periodico a valor medio nullo.
Il
profilo
dato
dalla
composizione
delle
fondamentali sfasate è ancora
una funzione trigonometrica
Il diverso sfasamento fa si che la somma algebrica delle onde
differisca da quella geometrica (come nel caso delle f.e.m.).
Introduciamo di nuovo il coefficiente di avvolgimento, Ka.
1
x
H 1 ( x )  K f K a qnci  cos(
)

p
Ora ci ricordiamo della corrente
che attraversa i conduttori ha una
legge di variazione temporale in
stato stazionario:
i( t )  I M cos( et )  2 I cos( et )
L’espressione della f.m.m. è funzione di tempo t e di spazio x:
1
x
H 1 ( x ,t )  K f K a qnc 2 I cos( et )  cos(
)

p
12 2
x
HM 
K a qnc I
H 1( x ,t )  H M cos( et )  cos(
)
 
p
Se applichiamo il teorema di Prostaferesi otteniamo:
1
x
1
x
H 1( x ,t )  H M cos( et 
)  H M cos( et 
)
2
p
2
p
1
x
x
H 1( x ,t )  H M [cos e ( t 
)  cos e ( t 
)]
2
e  p
e  p
Se vc è la velocità periferica di questo campo di f.m.m. ed e è la
pulsazione elettrica, possiamo ipotizzare che nel medesimo tempo t*
in cui un singolo polo investe un conduttore si ha una variazione di 
della grandezza elettrica. Quindi:
t 
*
p
vc
ma

t 
e
*

vc 
 p e

1
x
x
H 1 ( x ,t )  H M [cos e ( t  )  cos e ( t  )]
2
vc
vc
La fondamentale di una fase può essere scomposta in due
componenti che pulsano nel tempo con la stessa frequenza e che si
muovono nello spazio con la stessa velocità e versi opposti (onda
progressiva concorde con la direzione di x ed onda regressiva.
Sistema Trifase Equilibrato
L’onda di un campo magnetico stazionario generato al traferro da una
corrente di fase sinusoidale è equivalente a due campi controrotanti di
eguale ampiezza (1/2 HM) ed uguale velocità in modulo.
Se si ripetono le stesse considerazioni per gli altri avvolgimenti
sfasati di 120° e 240°, rispettivamente, abbiamo, per le fondamentali:

x
 H A ( x ,t )  H M cos( et )  cos( )
p


2
x 2
 H B ( x ,t )  H M cos( et  )  cos(  )
3
p 3


4
x 4 
 H C ( x ,t )  H M cos( et  )  cos(  )
3
p 3

Applichiamo di nuovo Prostaferesi.

1
x
x
H
(
x
,
t
)

H
[cos(

t

)

cos(

t

)]
 A
M
e
e
2
p
p


1
2 x 2
2 x 2
H
(
x
,
t
)

H
[cos(

t



)

cos(

t

  )]
 B
M
e
e
2
3 p 3
3 p 3


1
4  x 4 
4  x 4 
 H B ( x ,t )  H M [cos( et    )  cos( et    )]
2
3 p 3
3 p 3

Per l’ipotesi di linearità, in ogni punto x del traferro e per ogni
istante, i singoli campi si sommano in un campo risultante:
3
x

H
(
x
,
t
)

H
[cos(

t

)] 
M
e

2
p


 1 H [cos(  t  x )  cos(  t  x  4  )  cos(  t  x  8  )]
e
e
e
 2 M
p
p 3
p 3
Il secondo termine da la somma di tre vettori uguali in modulo e
sfasati di 120° uno dall’altro che è uguale a zero. Il campo magnetico
viene descritto dalla relazione al primo termine.
L’equazione:
3
x
3
x
H ( x ,t )  H M [cos( et 
)]  H M [cos e ( t  )]
2
p
2
vc
12 2
Descrive il campo magnetico rotante
HM 
K a qnc I
 
nello spazio con pulsazione  ,
c
sincrono con il campo di rotore, in
condizioni di stazionarietà, che pulsa
nel tempo seguendo l’andamento delle
correnti che lo generano.
Si conclude che in un sistema
equilibrato di correnti, la somma delle
componenti inverse del campo da esse
generato si annullano mentre quelle
dirette danno origine ad un unico
campo rotante.
Le Armoniche di Ordine Superiore al I°
Si vogliono studiare gli effetti delle armoniche create dalla struttura a
gradini del campo magnetico.
Se si sviluppa un’onda quadra spaziale in serie di Fourier si nota che le
armoniche si dispongono per coprire spazi proporzionali al passo
polare, p.
La fondamentale copre lo spazio
Fondamentale
5a armonica
p/5
p
di 2p prima di ripresentarsi
uguale a se stessa; la terza
armonica si presenta uguale a se
stessa dopo (2p/3); la quinta dopo
(2p/5) e così via. In generale,
2 i 
2 p
 i 
p
i
i
Il passo della i-ma armonica è proporzionale all’inverso del proprio
ordine rispetto al passo polare della fondamentale.
Se consideriamo la composizione di armoniche dovute alla presenza
di q cave/polo/fase sfasate del passo di cava c si deve modificare
anche il coefficiente di Blondel.
Se
 q e 
sin 

2 

K a1 
 e 
qsin  
 2 

 qi e 
sin 

2 

K ai 
 i e 
qsin 

 2 
Perché si riferisce a stelle di frequenza aumentata con un coefficiente
pari all’ordine della armonica.
Campo di i-ma armonica in avvolgimenti ad m fasi.
Si considera la i-ma armonica della prima fase di un avvolgimento ad
m fasi. L’espressione della relativa f.m.m. è:
4 1
x
4 nci 1
x
H iA ( x )  H qK ai cos( i ) 
qK ai cos( i )
 i
p
 2 i
p
2
x
H i A ( x ,t ) 
nc I M qK ai cos( i ) cos( et )
i
p
2
H M iA 
nc I M qK ai
Se si pone
L’espressione diventa
i
x
H i A ( x ,t )  H M iA cos( i ) cos( et )
p
Per la seconda fase, e per le successive, devo tener conto dello
sfasamento
x 2
2
H iB ( x ,t )  H M iB cos[ i( 
)] cos( et 
)
p m
m
x
2
2
H iK ( x ,t )  H MiK cos[ i(  ( K  1 ) )] cos( et  ( K  1 ) )
p
m
m
Con
H M i  H M iB  H M iC  ....  H M i  ....  H M i
A
K
L’espressione del campo di f.m.m. dovute alle m fasi della i-ma
armonica si ottiene sommando i singoli contributi.
m
H i ( x ,t )  H M i 
K 1
x
2
2
cos[ i(  ( K  1 ) )] cos( et  ( K  1 ) )
p
m
m
Si applica di nuovo Prostaferesi
m

1
x
2
2  
H i ( x ,t )  H M i  cos[ i(  ( K  1 ) )  ( et  ( K  1 ) )]  
2
p
m
m 
K 1 

m

1
2
x
2  
H M i  cos[( et  ( K  1 ) )  i(  ( K  1 ) )] 
2
m
p
m 
K 1 

m
1
H i ( x ,t )  H M i 
2
K 1
m
1
H Mi 
2
K 1

x
2
2  
cos[ i  i( K  1 )  et  ( K  1 ) ]  
p
m
m 


2  x
2  
cos[ et  ( K  1 )  i  i( K  1 ) ] 
m
p
m 

Quindi
m
1
H i ( x ,t )  H M i 
2
K 1

x
2  
cos[ i  et  ( i  1 )( K  1 ) ]  
p
m 


x
2  
cos[ et  i  ( i  1 )( K  1 ) ] 
p
m 

Analizzando questi termini si vede che (K-1) è comunque un numero
intero perché varia entro il numero di fasi, m (K=1=>m).
m
1
H Mi 
2
K 1
Caso A). Se i termini (i-1)/m ed (i+1)/m sono interi, i prodotti
(K-1)(i-1)/m ed (K-1)(i+1)/m sono multipli di 2 e mantengono
in fase i contributi vettoriali delle sommatorie. La somma dei
componenti è diversa da 0.
Caso B). Se i termini (i-1)/m ed (i+1)/m non sono interi, le
sommatorie che li contengono sono uguali a 0 perché stelle
simmetriche di fasori.
Oss.: non ci sono armoniche spaziali di ordine inferiore ad m, con
l’eccezione della prima armonica inferiore a m se questo è pari.
Esempio: caso m=3
3
1
H i ( x ,t )  H M i 
2
K 1
3
1
H Mi 
2
K 1

x
2  
cos[ i  et  ( i  1 )( K  1 ) ]  
p
3 


x
2  
cos[ et  i  ( i  1 )( K  1 ) ] 
p
3 

Fondamentale i=1 (m=3)
3
1
H 1 ( x ,t )  H M 1 
2
K 1
3
1
H M1 
2
K 1

x
2  
cos[  et  ( 2 )( K  1 ) ]  
p
3 


x
2   3
x
cos[ et   ( 0 )( K  1 ) ]   H M 1 cos[ et  ]
p
3  2
p

Il primo termine entro parentesi si annulla perché è la sintesi di una
stella di fasori equispaziati. La seconda sommatoria ci la la nota
espressione del campo rotante
Terza Armonica i=3 (m=3)
3
1
H 3 ( x ,t )  H M 3 
2
K 1

3x
2  
 et  ( 3  1 )( K  1 ) ]  
cos[
p
3 


3x
2  
 ( 3  1 )( K  1 ) ]   0
cos[ et 
p
3 

Se il sistema è connesso a stella, H3(x,t)=0.
Sulla base di questo ragionamento, tutte le armoniche dispari multiple
di 3 sono nulle.
Quinta Armonica i=5 (m=3)
3

1
5 x
2  
H 5 ( x ,t )  H M 5  cos[
 et  ( 5  1 )( K  1 ) ]  
2
p
3 
K 1 

3
1
H M3 
2
K 1
3

1
5 x
2   3
5 x
H M 5  cos[ et 
 ( 5  1 )( K  1 ) ]   H M 5 cos[
 e t ]
2
p
3  2
p
K 1 

La 5° armonica ruota in senso contrario rispetto alla fondamentale.
Settima Armonica i=7 (m=3)
3
1
H 7 ( x ,t )  H M 7 
2
K 1
7
1
H M7 
2
K 1

7 x
2  
 et  ( 7  1 )( K  1 ) ]  
cos[
p
3 


7 x
2   1
7 x
cos[

t


(
7

1
)(
K

1
)
]

H
cos[

t

]


e
M7
e
p
3  2
p

La 7° ruota in senso opposto alla 5° e nella stessa direzione della 1°
Oss.: la 11°, la 13°, 17°………si calcolano allo stesso modo.
Monofase m=1: ci sono tutte le armoniche dispari.
Bifase m=2: ci sono tutte le armoniche ma ruotano in senso alternato.
Dodecafase m=12: è presente la fondamentale; sono assenti tutte le
armoniche fino alla 10°; dalla 11° in poi sono tutte presenti a versi
alternati.
Conclusione: sono presenti + campi rotanti oltre a quello della 1°arm.
Conclusione: il campo rotante che genera la coppia motrice è relativo
alla fondamentale ma è accompagnato da una serie di armoniche ,
dovute all’andamento a gradini del campo originale, che generano a
loro volta campi rotanti di 5°, 7°, 11°, 13°…. che ruotano con versi
alterni.
• Con una opportuna scelta del riferimento si eliminano tutte le
armoniche pari.
• Con la connessione a stella degli avvolgimenti si eliminano la 3°
armonica e tutti i suoi multipli dispari.
• Le armoniche presenti hanno un indice i=3k1 (con k=0, 2, 4, 6..)
– le armoniche di ordine i=3k+1 ruotano nel verso della
fondamentale.
– Quelle di ordine i=3k-1 ruotano nel verso opposto.
• Se sono presenti più campi rotanti, è necessario studiare la loro
influenza sul rotore perché possono generare sistemi di correnti e
quindi campi rotanti di ordine superiore.
Le Coppie Parassite nelle M.A.
Le armoniche di campo generano campi rotanti che interagiscono con il
rotore dando origine a f.e.m. indotte e, quindi, a correnti di rotore che a
loro volta generano il loro campo rotante (+armoniche relative).
I campi armonici di rotore possono interagire con quelli di statore.
La interferenza tra campi armonici di rotore e di statore può originare
coppie parassite solo se:
1) ruotano alla stessa velocità e nella stessa direzione;
2) hanno lo stesso numero di poli.
Se non sono verificate queste condizioni, le correnti indotte generano
perdite Joule e coppie mediamente nulle ma istantaneamente diverse da
zero (vibrazioni e rumore).
Sappiamo che un campo che ruota con pulsazione s, pari ad una
velocità meccanica c= s/p induce su un avvolgimento fermo un
regime elettrico di pulsazione r = s.
Si consideri la i-ma armonica della fase A:
H i A ( x ,t )  H M i A
Se si applica Prostaferesi si ha :
H i A ( x ,t ) 
x
cos( i
) cos( et )
p
1
ix
1
ix
H M iA cos( et 
)  H M iA cos( et 
)
2
p
2
p
in condizioni di stazionarietà, le funzioni trigonometriche della somma e
della differenza delle variabili t ed x rappresentano onde rotanti a
velocità costante.
Se considero un osservatore solidale con l’onda in una posizione x1, al
tempo t1 questi “vede” un’intensità di campo HiA(x1,t1).
Se l’onda si muove con una velocità costante, v, dopo un tempo t il
nostro osservatore si trova nella posizione x2 e misura un tempo t2.
H1 H2
Se si considera un componente di
campo valutati in H1:
x1, t1
x2, t2
1
ix1
H'i A ( x1 ,t1 )  H M iA cos( et1 
)
2
p
Dopo un tempo t l’osservatore solidale con l’onda ha percorso uno
spazio x alla velocità costante v. L’intensità H rimane inalterata.
Allora:
1
ix2
H'i A ( x2 ,t2 ) 
2
H M iA cos( et2 
p
)
L’uguaglianza dei moduli sussiste se gli argomenti sono uguali
ix1
ix2
et1 
 et2 
p
p
La velocità dell’onda è:
ora
er :   vr :  p

e ( t1  t2 ) 
i( x1  x2 )
p
( x1  x2 )
dx e  p


( t1  t 2 )
dt
i

 er  vr
p
moltiplicando ambo i membri per 1/p e tenendo conto della relazione di
sopra:


vr 

p
p p
er

1  e
cr 

i p  p ip
e p
Un campo generato dalla i-ma armonica, che ruota con pulsazione
ci= s/ip, sempre rispetto allo statore, è come se fosse dotato di ip
coppie polari.
Possiamo studiare la i-ma armonica come se fossimo di fronte ad una
macchina asincrona che ha ip coppie polari.
Ne segue che lo studio degli effetti delle armoniche su una macchina a
p coppie polari è equivalente allo studio di infinite macchine aventi ip
coppie polari (i=3k1).
Rotore in movimento (r)
Si consideri un rotore che ruota con pulsazione r. Per la i-ma
armonica, il processo di induzione è equivalente al caso di rotore fisso
e campo rotante con velocità ridotta:
s
ci  r 
ip
 r
sempre per gli effetti di quanto accade sul rotore, la pulsazione elettrica
delle f.e.m. di armonica i-ma sarà:
ip(    )    ip
(macchina con ip coppie polari)
ci
r
s
r
Queste f.e.m. fanno circolare correnti aventi la stessa pulsazione, le
quali daranno origine ad altri campi rotanti di rotore contenenti
armoniche. E’ il rotore che genera ulteriori armoniche di campo.
Riassumendo:
coppie polari equiv. di statore
campi armonici di statore
p
1°
5p
-5°
7p
7°
11p
-11°
13p
13°
ip
i°
campo armonici di rotore
1°1
5°1
7°1
1°5
5°5
7°5
1°7
5°7
7°7
1°11
5°11
7°11
1°13
5°13
7°13
1°i
5°i
7°i
k°1
k°5
k°7
k°11
k°13
k°i
Si consideri il campo rotante induttore di ordine i e lo si consideri
generato da una macchina equivalente di ip coppie polari rispetto alla
macchina originale e si consideri la ki-ma armonica di rotore ad essa
collegata.
L’armonica indotta ha kiip coppie di poli.
Quale è la velocità meccanica di questo campo di ki-ma armonica di
rotore ?
Rispetto allo statore si ha:
s  ipr
s  ipr ( 1  ki ) s r ( 1  ki )
 r 


ipk i
ipk i
ipk i
ki
Affinchè i campi armonici di rotore e di statore possano interferire,
originando coppie parassite, devono ruotare alla stessa velocità e
devono avere lo stesso numero di poli.
Se esiste un campo armonico di statore di ordine  che possa interferire
con il campo armonico di rotore di ordine ki deve valere la condizione
sulla velocità: s
 s r ( 1  k i )


p ipk i
ki
l’espressione rappresenta la uguaglianza tra velocità assoluta della °
armonica di statore e quella della ki° armonica di rotore, indotta dal
campo generato dalla i-ma armonica di statore.
s
Ricordando che: r  ( 1  s )
l’equazione precedente vale
p
s
s ( 1  s )s ( 1  ki )


p ipk i
pki
Semplificando, si ottiene:
1 1 ( 1  s )( 1  ki )


A) condizione di uguale pulsazione
 ik i
ki
B) stesso numero di poli p  ipk i    ik i
, i e ki sono numeri interi. Si devono ricercare le combinazioni che
portano al rispetto di A) e B).
Si consideri la velocità di rotazione del campo generato dalla i-ma
armonica di statore.
60 f 1
nc 
i
p i
Questo induce nel rotore delle correnti aventi una frequenza fri=sif con
nc
 nr
nc  inr
i
si 

nc
nc
i
Ho dei nuovi campi prodotti da queste correnti che, rispetto al rotore,
ruotano con velocità
60 f ri 1
(ki è l’ordine di armonica di rotore generata dalla
nr 
ki
armonica i di statore)
p ki
60 si f 1
1 nc  inr nc  inr
nr 
 nc

ki
p ki
ki nc
ki
la velocità vista dallo statore sarà:
nc  inr
nc  inr  ki nr
ns  nrki  nr 
 nr 
ki
ki
ki
Ora, si consideri una generica armonica di statore, , con i.
Affinchè si sviluppi una coppia è necessario che i campi di statore e
rotore siano sincroni.
nc nc  ( ki  i )nr
Tra le tante combinazioni di i, ki e , si vede

nc nc
subito
che
se
k
=1
=>

ki

i

i
allora i= 
La condizione i=  implica che se i prende valori in i=1, 5, 7, 11.. si
deve considerare solo la relativa fondamentale di rotore cioè, ki=1
Le coppie parassite possono nascere dalla interferenza dei campi
armonici di statore con i fondamentali campi armonici di rotore.
ki=1, per qualsiasi velocità, verifica la condizione A) (per qualsiasi
condizione di s, tenendo però presente il segno da attribuire all’ordine
della armonica).
Se ki=1, allora è verificata anche la condizione B) perché
p  ipk i    ik i
Questa condizione corrisponde alla configurazione di una coppia
parassita asincrona il cui il campo rotante indotto interagisce con il suo
campo induttore.
II°caso
1 1 ( 1  s )( 1  ki )
è possibile


 ik i
ki
evidenziare una nuova condizione
S=1 per diversi valori di ki.
Ciò significa che allo spunto, dato che i campi di rotore e di statore
hanno la stessa frequenza, ne viene che le armoniche di rotore e statore
coincidono.
Questa condizione implica la presenza di coppie parassite allo spunto o
in corto circuito (s=1)
Caratteristica Meccanica T=f(s), T=f(n) Completa
Riassumendo:
la f.m.m. ha un andamento a gradini la cui scomposizione in serie di
Fourier mette in evidenza la presenza di armoniche che generano
coppie parassite. In particolare,
i=1 => f.m.m. fondamentale che origina un campo rotante con velocità
di sincronismo pari a n0=60f/p;
i=5 => f.m.m. di ordine 5 che origina un campo rotante con velocità di
sincronismo pari a n5=-60f/5p=-n0/5 nel verso contrario alla 1°.
i=7 => f.m.m. di ordine 7 che origina un campo rotante con velocità di
sincronismo pari a n7=60f/7p=n0/7 nel verso della fondamentale.
i=11 => f.m.m. di ordine 11 che origina un campo rotante con velocità
di sincronismo pari a n11=-60f/11p=-n0/11; nel verso contrario alla
fondamentale.
Lo scorrimento per la i-ma armonica vale:
s
 r c  r
c  ir
ip
i
si 


 1  i( 1  s )
s
c
c
ip
i
Di particolare importanza sono le coppie parassite di tipo asincrono
dovute alle armoniche del 5° e 7° ordine perché possono modificare
sensibilmente il valore e l’andamento della coppia dovuta alla
interazione delle fondamentali.
Coppia di 5°
la 5° armonica origina una coppia parassita che ha il verso opposto
rispetto alla fondamentale. I giri di sincronismo sono pari a n5=-n0/5.
Se si considera una macchina
T
equivalente a quella assegnata,
avente però ip numero di
coppie polari, la espressione
della coppia rimane invariata.
Il profilo della caratteristica è
Tr
invariato
solo
che
l’attraversamento
dell’asse
orizzontale
avviene
nel
semipiano negativo.
la coppia di 5° si manifesta per valori di s<0, nella zona generatore e
freno. Nella zona motore (0-s-1) si ha una riduzione di coppia quasi
uniforme e comunque di limitata entità.
Coppia di 7°
con analoghe considerazioni, si perviene al tracciamento della coppia
parassita di ordine 7. I giri di sincronismo sono pari a n7=n0/7.
Questo grafico mette in
T
evidenza un insellamento della
caratteristica in corrispondenza
di n0/7 che si trova nel campo
di valori di scorrimento per il
Tr
motore.
A parte casi particolari, non ci
si preoccupa dell’effetto dei
campi di 11° e 13° etc.
L’ampiezza del campo di 13° è ridotto mentre la 11°, ruotando in senso
opposto alla fondamentale, si fa sentire nel campo generatore.
Caratteristica Completa
Se si sommano per punti le caratteristiche di ordine 1, 5 e 7, si ottiene
una caratteristica completa più aderente alla realtà.
In presenza di una coppia
resistente
con
andamento
rappresentato in figura, i punti
di equilibrio sono 3.
A e C sono stabili mentre B è
T
r
C
..B
.
instabile.
A
In fase di avviamento, la
velocità cresce fino al punto C,
poi non aumenta oltre.
Questo fenomeno è noto come impuntamento di 7° armonica.
T
Rumorosità
Se si considerano le interferenze tra campi di statore e di rotore, con un
diverso numero di poli, la configurazione periferica dei flussi segue
una legge di battimenti. Essa presenta dei massimi e dei minimi lungo
la periferia del traferro.
Il numero dei cicli della configurazione è uguale alla differenza tra i
numeri di paia di poli dei due campi interagenti.
ps ns  pr nr
La configurazione ruota,
nc 
p s  pr
rispetto allo statore, con velocità pari a
dove ps e pr sono i numeri di coppie polari dei campi interferenti ed ns
ed nr le rispettive velocità riferite allo statore.
I casi più pericolosi sono quelli in cui i numeri di poli differiscono di
due e di quattro, rispettivamente.
Nel primo caso si ha una distribuzione di un solo ciclo che presenta un
massimo ed un minimo di flusso diametralmente opposti. Questi danno
origine ad una attrazione unilaterale sul rotore e quindi, se le
caratteristiche elastiche dell’albero lo consentono, una deformazione o
delle vibrazioni che possono cadere in campo acustico.
Nel secondo, la configurazione presenta due cicli con massimi
diametralmente opposti e minimi in quadraturacon ovoidalizzazione
dei cuscinetti e vibrazioni in campo acustico.
Vibrazioni
Il fenomeno della vibrazione del rotore o dello statore è legato soprattutto all’effetto dei denti, e
si verifica quando il numero C della cave di statore differisce di poco da quello di rotore.
Vibrazioni nel rotore si possono
verificare se è
C2  C1  1
C2  C1  p  1
Vibrazioni nello statore si possono
verificare se è
C2  C1  2
C2  C1  p  2
nel rotore: C2 = 19, 21, 23, 25, 27, 29
esempio:
p = 4 e C1 = 24
possono verificarsi
vibrazioni se è:
nello statore:
a 50 Hz la frequenza delle vibrazioni è in ogni caso di 600 p/s
C2 = 18, 22, 26, 30
Provvedimenti per ridurre i fenomeni indesiderati
per eliminare questi inconvenienti è necessario scegliere opportunamente il
numero delle cave di rotore, inclinare le cave rispetto all’asse della macchina,
adottare avvolgimenti di statore a passo accorciato, e scegliere ampiezze di traferro

non troppo ridotte.
in ogni caso è necessario evitare di scegliere un numero di cave di rotore uguale
a quello di statore o che differisca di un numero di cave eguale al numero dei poli.

 Va tuttavia sottolineato il fatto che i fenomeni vibratori possono essere causati
anche da squilibri meccanici e da squilibri elettromagnetici.
Motore di piccola potenza con rotore a gabbia
Per attenuare il fenomeno delle vibrazioni bisogna porre innanzitutto attenzione al
numero di cave, mentre è anche utile ricorrere ad una inclinazione relativa fra le
cave di rotore e quelle di statore
cave di rotore inclinate
rispetto a quelle di statore
I Rotori a Gabbia
conduttori attivi
anelli di corto circuito
alette di raffreddamento
I rotori a gabbia semplice sono costituiti da un solo conduttore per cava
(alluminio pressofuso cetrifugato per piccole potenze, barre di alluminio elettrolitico
per grandi potenze), non isolato rispetto a massa, le cui estremità sono
collegate in corto da anelli frontali (saldati per potenze elevate).
La gabbia non ha un numero di poli proprio, prefissato, ma “copia” il
numero di poli dello statore per effetto dell’induzione elettromagnetica.
Le singole barre vengono
investite dal campo rotante ed
ognuna di esse si concatena
con una quota di flusso magnetico che dipende dalla posizione
angolare relativa tra barra ed onda. Con riferimento alla figura, le
prime 7 barre si concatenano con un flusso di segno positivo dando
D
origine a 7 f.e.m. che sono sfasati tra loro di
c 
2 pZ r
dove Zr è il numero di cave di rotore.
Sotto il polo di segno contrario, le barre sono interessate dallo stesso
flusso ma di segno contrario al precedente. La gabbia è sottoposta ad
un regime di fem indotte che si ripetono periodicamente un numero di
volte pari al n.di coppie polari di statore.
Lo stesso avvolgimento di rotore può “copiare” un n.di poli di statore
fino ad un massimo di Zr.
Si genera un sistema di correnti equilibrate, limitate dalle resistenze e
dalle reattanze di barre ed anello.
I
Le fem generano delle correnti nelle gabbie
I
che si chiudono negli anelli frontali, limitate
dalle resistenze e dalle reattanze di barre ed
anello.
Le relazioni elettriche si determinano studiando un modello
semplificato che considera una maglia chiusa composta da due barre e
la porzione di anello che le unisce.
a
s
Applicando il II°K alla maglia composta
da due barre sfasate dell’angolo elettrico
c e dal tratto di anello che le chiude:
A
Ra
Ia0
Eb1  Eb2  ( Rb  jX b )I b1  ( Rb  jX b )I b2 
( Ra  jX a )I a1
Se si applica il I°K al nodo A si ha:
Xa
B
Ia2
Ia1
Xb
Ib1
Rb
Xb
Ib2
Rb
Eb1
Eb1
I b1  I a0  I a1
Per la simmetria del circuito, la fase della f.e.m. e della corrente di barra
differiscono da quella adiacente per l’angolo elettrico c
Eb2  Eb1 e jc
; I b2  I b1 e jc
Lo stesso vale per segmenti circolari adiacenti di anello: I a0  I a1 e jc
Ora
Eb1  Eb2  ( Rb  jX b )( I b1  I b2 )  ( Ra  jX a )I a1
Tenendo conto degli sfasamenti, si può scrivere che
Eb1  Eb2  ( 1  e jc )Eb1
Analogamente
; I b1  I b2  ( 1  e jc )I b1
I b1  I a1  I a0  I a1  I a1 e jc  ( 1  e jc )I a1
Sostituendo nella equazione dal II°K
Eb1 ( 1  e
j c
)  ( Rb  jX b )( 1  e
j c
)I b1  ( Ra  jX a )
I b1
( 1  e  j c )
Dividendo per (1-e) ed evidenziando la Ib1

( Ra  jX a )
Eb1  I b1 ( Rb  jX b ) 
j c
 j c
(
1

e
)(
1

e

Sapendo che:( 1  e j c )( 1  e  j c
Sostituendo:

)   e

j c
2
e
j
 c
2
2

) 
2


   2 jsin c 

2 


Questa relazione mostra che
si può tenere conto degli
effetti
degli
anelli
aumentando l’impedenza di
ciascuna
barra
della
( Ra  jX a )
quantità:
 

 2 sin( c ) 
2 

2




( Ra  jX a ) 

Eb1  I b1 ( Rb  jX b ) 
2

c  

) 
 2 sin(

2  


Se si considera che si hanno Zr/m cave di rotore per fase, allora si
possono definire le resistenze e le reattanze di fase di rotore che
tengono anche conto degli anelli


Ra
Zr 
Rr 
Rb 
m
c

 2 sin(

2





2
 
) 
 


Xa
Zr 
Xr 
Xb 
m
c

 2 sin(

2





2
 
) 
 
La relazione tra intensità di corrente di barra e di anello si determina
considerando un generico nodo di giunzione.
Ib
I’a
Ia
Ia
I’a
Ib
Ib
c: angolo elettrico fra due cave vicine  c 
c

Z
r
Zr : numero di cave della gabbia
p
I b  2 I a sen c 2   2 I a sen
per Zr grande,
c piccolo
Ib  2I a
Ia
p
2Z r
1 Zr
Ia 
Ib
 p
sen
p
2Z r
c c

2
2
I motori asincroni a gabbia semplice assorbono allo spunto una
corrente elevata che non sempre è tollerata dall’impianto (Is=56 In) a
cui corrisponde una coppia di spunto bassa (Ts10%Tn).
Si sfrutta il fenomeno dell’addensamento di corrente per migliorare lo
spunto (aumentare la coppia e diminuire la corrente).
Fenomeni di addensamento di corrente
Una corrente variabile nel tempo che circola in un conduttore genera
un campo magnetico nello spazio circostante che si concatena anche
con il conduttore stesso. Se il conduttore è inserito in una cava, la
concatenazione non è uniforme (come nei cavi).
La sezione 4 si concatena con tutto il flusso mentre
le sezioni 3, 2 ed 1, si concatenano con un flusso via
via meno intenso.
Le f.e.m. indotte e le correnti che circolano di
conseguenza, sono via via meno intense partendo dal
fondo cava (4) per arrivare all’apertura di cava (1).
Queste correnti hanno verso contrario alla causa che le generano (la
corrente circolante che genera il campo magnetico). La corrente complessiva
circolante in cava si riduce in 4 rispetto ad 1 (effetto pelle).
Il fenomeno è in diretta relazione con la frequenza.
Due sono le conseguenze: aumentano la resistenza e le perdite.
Aumento delle perdite:
Si consideri un conduttore massiccio, di sezione
R
h
S=hb, di resistenza R, attraversato dalla corrente
I
I a densità costante.
b
Le perdite Joule sono: P=RI2
Ora si suppone che una quota di corrente i si addensi nella metà
superiore dalla metà inferiore. In totale, la corrente del conduttore è
sempre I.
2R ; I+i
h/2
Lo schema di riferimento è equivalente
h/2
a due conduttori in parallelo, ognuno avente
2R ; I-i
sezione S/2 e resistenza 2R rispetto a sopra.
b
I
2R
I-i
2R
I+i
I
La corrente che fluisce nelle due metà è sempre la
stessa ma le perdite Joule cambiano
I
I
2
P'  2 R(  i )  2 R(  i )2
2
2
I
 I

P'  2 R (  i )2  (  i )2  
2
 2

I
I
I 
 I
 2 R ( )2  i 2  2 i  ( )2  i 2  2 i 
2
2
2 
 2
I 2
 I 2
2
P'  2 R 2( )  2i   4 R( )  4 Ri 2  P  4 Ri 2
2
 2

La non uniforme distribuzione di corrente provoca una aumento di
perdite.
Aumento delle resistenze:
Si consideri una cava di tipo rettangolare Sc=hcbc occupata da un
conduttore pieno di sezione S=hb. Si fanno le seguenti ipotesi:
1) f => =0;
2) li linee di campo in cava sono parallele tra loro;
dx
3) le linee di campo sono perpendicolari alla uperfice
hc
h
di cava;
x
4) la permeabilità in cava è 0.
b
Con queste ipotesi, lo studio del problema
bc
dell’addensamento di corrente da 3D diventa lineare,
nella sola direzione x.
Sia s(x) la densità di corrente nella sezione infinitesimale dS(x)=dxb
posta a distanza x dal fondo cava (riferimento);
Sia dH(x) l’intensità locale del campo magnetico.
Con riferimento alla figura, nella sezione dS(x) circola una corrente:
dI(x)= s(x).b.dx per il teorema di Ampere
dI(x)= dH(x).bc
uguagliando
bc H ( x )
dI ( x )  s( x )  b  dx  dH ( x )  bc  s( x ) 
b x
Dalla leggi di Maxwell e dalle leggi di legame materiale:
B
H
s( x )
E 
 0
;
E  
t
t
x
Uguagliando e considerando le condizioni di sopra:
bc  2 H ( x )
B
H
  bc H ( x ) 
E 
 0
 

t
t
x  b x 
b x 2
 2 H ( x ) 0 b H ( t )

2
x
 bc t
Se l’intensità del campo H varia sinusoidalmente nel tempo e la
H
relazione diventa
 j H
t
 2 H ( x ) 0 b
2

j

H

K
H con K 
2
x
 bc
j0b
bc
Che è una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti
costanti.
La soluzione è del tipo H ( x )  Ae Kx  Be Kx
Le costanti A e B si determinano dalle condizioni iniziali.
Se x=0 allora H=0;
=> A+B=0 => A=-B
I
 Kh
Kh
Se x=h allora H=I/bc
=>
=> Ae  Be 
bc
I
 Kh
Kh
Risolvendo rispetto a B:  Be  Be 
bc
I
I
I
Kh
 Kh
B( e  e ) 
 B  Kh

 Kh
bc
( e  e )bc 2bc sinh( Kh )
I
B
2bc sinh( Kh )

I
A
2bc sinh( Kh )
Se consideriamo la soluzione generale, tenendo conto delle costanti:
I
I
 Kx
H( x )  
e 
e Kx
2bc sinh( Kh )
2bc sinh( Kh )
I
I 2 sinh( Kx )
 Kx
Kx
H( x ) 
( e  e ) 
2bc sinh( Kh )
2bc sinh( Kh )
Quindi:
Isinh( Kx )
H( x ) 
bc sinh( Kh )
Tenendo ora conto della relazione tra H(x) e s(x) si ha che:
bc H ( x ) bc   Isinh( Kx )  KI cosh( Kx )

 
s( x ) 

b x
b x  bc sinh( Kh ) 
bsinh( Kh )
Riassumendo, in un conduttore in cava rettangolare, l’andamento di
H(x) e s(x) seguono le due leggi:
KI cosh( Kx )
Isinh( Kx )
s( x ) 
H( x ) 
bsinh( Kh )
bc sinh( Kh )
I cui andamenti possono
essere schematizzati
come segue:
Lo spostamento della corrente nelle sezioni superiori del conduttore
può essere visto come una riduzione della sua sezione con conseguente
l
aumento della resistenza in cc. Rcc   l ; Rac  
 kRcc
s
s' (  s )
Il coeff. k si ricava dallo studio più accurato del fenomeno (in
Costruzioni Elettromeccaniche). In generale:
2 4


f
2h
resistenza di rotore R2 alla frequenza di rotore f2

R2 ( f 2 )  R2 dc 1  k 2 
(R2dc = resistenza di rotore in continua)
 

L’addensamento di corrente modifica anche le reattanze (si trascura).
Addensamento di corrente nei conduttori di statore
Nelle cave di statore sono di solito presenti nc conduttori o, nel caso di
un solo conduttore, ns sezioni in parallelo che risentono del fenomeno.
Per diminuire gli effetti negativi, vengono
effettuate le permutazioni o trasposizioni di
sezione. Se n è il numero delle sezioni ed l è la
lunghezza dei conduttori, ogni s/l m vengono
ruotate le sezioni.
Il conduttore in posizione “1” viene spostato in
posizione “4”, “4” in “3”, “3” in “2” e “2” in “1”.
In questo modo, il +i che attraversa “1” in posizione
inizio cava compensa parzialmente il -i che si ha
quando è in fondo cava, e così via. La compensazione
è solo parziale ma la trasposizione aiuta molto a
ridurre le perdite aggiuntive dovute alla non uniforme
distribuzione della densità di corrente.
Addensamento di corrente nei conduttori di rotore.
Nel rotore si sfrutta l’aumento di resistenza per migliorare la coppia di
spunto. Allo spunto, i conduttori sono investiti da un campo a
frequenza piena e la corrente viene spinta verso l’esterno. A regime,
per effetto dello scorrimento limitato, la frequenza delle grandezze
elettriche di rotore è bassa ed il fenomeno può essere trascurato.
Gabbia a barre profonde
È composta da una gabbia a barra singola ma con una forma piuttosto
allungata per sfruttare maggiormente l’effetto pelle ed il conseguente
aumento di resistenza nei conduttori di rotore allo spunto.
La forma rettangolare è la più semplice da studiare ma se è profonda
restringe notevolmente lo spessore del dente in corrispondenza al fondo
cava portandolo in saturazione. Per questo motivo sono proposte cave di
forma diversa, la più utilizzata delle quali è la forma lanceolata ( c). Con
la forma di tipo (b) il fenomeno è accentuato.
sat
(a)
(b)
(c)
(d)
La resistenza effettiva dipende dalla
frequenza, dalle profondità e dalla forma
della gabbia e dalla resistività del conduttore.
La resistenza si determina con simulazioni
che producono grafici utili al progetto, come
quello riportato in fig.
La doppia gabbia (Boucherot)
È composta da una gabbia più esterna di materiale con resistività più
elevata e da una gabbia interna di materiale a bassa resistività (es.
bronzo- alluminio).
Le forme si ispirano a combinazioni di forme
per gabbia semplice (esterna) e a barre profonde
(interna).
Viene riportato un
andamento qualitativo
del flusso da cui si vede
Il flusso concatenato con la
gabbia secondaria investe anche
che il flusso concatenato
il traferro ( ridotta)
Il flusso concatenato con la
della barra inferiore è
gabbia primaria investe il
traferro solo parzialmente (
maggiore di quella
elevata)
L
superiore.
La differenza è legata
Li  Ls
alla diversità della
forma delle due barre
X i  X s
statore
rotore
Le gabbie sono caratterizzate da:
superiore: elevata Rs (barre ed anelli di piccola sezione ed
elevata resistività)
limitata Xs (prossimità del traferro, dimensioni
contenute).
Z s  Rs  jsX s ( 1 )
gabbia superiore
h
Rs ; Xs
gabbia inferiore
Ri ; Xi
inferiore: bassa Ri (barre ed anelli di grande sezione e
bassa resistività)
elevata Xi (barre di forma allungata immerse
nel ferro).
Z  R  jsX ( 1 )
i
i
i
All’avviamento (s=1), le X hanno il valore massimo. Si possono
trascurare le R in rapporto alle X. Allora
Z s  jX s ( 1 ) ; Z i  jX i ( 1 )  Z s  Z i
In funzionamento nominale (s<0.06) le X hanno valori molto bassi e
possono essere trascurate rispetto alle resistenze.
Z s  Rs
; Z i  Ri

Z s  Z i
La R equivalente è pari al parallelo delle due e Re è  Ri.
Il circuito equivalente riportato allo statore che ne deriva è composto
da due impedenze equivalenti di rotore poste in parallelo, tali che:
Is
Rs
Xs
Vf
La Caratteristica Meccanica
E’
il
risultato
della
composizione
di
due
contributi di coppia, quello
relativo alla gabbia esterna a
maggiore resistenza e quella
interna a minore resistenza.
Tm
Ta
X’s
R’s/s
X’i
R’i/s
La Classificazione delle Macchine Asincrone
Vengono classificate in 4 classi, in base al tipo di coppia di spunto.
Tipo A => Ts << Tmax
Corrisponde alla m.a. con gabbia semplice. Ha buone prestazioni a
carico e modeste all'avviamento; basso scorrimento a pieno carico; 
elevato. Tmax è superiore al 100% Tn. L’Elevata Iccs costringe ad
avviamenti con basso carico a tensione piena o con più carico ma a
tensione ridotta (avviamento stella/triangolo: stella all’avviamento). Il
tipo A è std per potenze sotto i 10 kW.
Tipo B => Ts  Tmax
si può impiegare per spunti su carichi
maggiori con correnti minori. Impiega
doppie gabbie o barre profonde. S ed 
sono simili al tipo A. L’elevata X fa
diminuire il cos e la Tmax. E’ usato in
azionamenti per soffianti, pompe e
macchine utensili.
Tipo C => Ts >Tmax
M.A. con doppia gabbia e resistenza rotorica più elevata rispetto al
tipo B e bassa Iccs. Vanno contrapposti un  inferiore ed s superiore
rispetto ai motori dei tipi A e B. Impieghi tipici sono l'azionamento
di compressori e di nastri tasportatori.
Tipo D => Ts >> Tmax con s elevato
Ha un rotore con gabbia semplice ad elevata resistenza (ottone).
Anche la Tmax è elevata e presentano s > al 50% . Alti valori di s e
basso  lo rendono indicato per azionamenti di carichi intermittenti
che richedano gravose accelerazioni o di carichi impulsivi quali, ad
esempio, presse e tranciatrici (il motore viene solitamente accoppiato ad un
volano che aiuta a fornire l'energia impulsiva e riduce le pulsazioni di potenza sulla
rete di alimentazione).