Algoritmi e Strutture Dati
Analisi asintotica e
Metodi di analisi
Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Notazione asintotica
• f(n) = tempo di esecuzione / occupazione di
memoria di un algoritmo su input di dimensione n
• La notazione asintotica è un’astrazione utile per
descrivere l’ordine di grandezza di f(n) ignorando i
dettagli non influenti, come costanti moltiplicative
e termini di ordine inferiore
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Notazione asintotica O
f(n) = O( g(n) ) se  due costanti c>0 e n0≥0 tali
che f(n) ≤ c g(n) per ogni n ≥ n0
f(n) = ( g(n) )
cg(n)
f(n)
n0
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n
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Notare:
limn 
fn 
 0
gn 
fn   Ogn 

fn   Ogn   limn 
4
fn   Ogn 

limn 
fn 
gn 
fn 
 0
gn 
(se esiste)  
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Notazione asintotica W
f(n) = W( g(n) ) se  due costanti c>0 e n0≥0 tali
che f(n) ≥ c g(n) per ogni n ≥ n0
f(n) = W(g(n))
f(n)
c g(n)
n0
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n
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Notare:
limn 
fn 
 
gn 
fn   Wgn 
fn   Wgn 
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
fn   Wgn 


limn 
limn 
fn 
gn 
fn 
 
gn 
(se esiste)
 0
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Notazione asintotica Q
f(n) = Q( g(n) ) se  tre costanti c1,c2>0 e n0≥0
tali che c1 g(n) ≤ f(n) ≤ c2 g(n) per ogni n ≥ n0
f(n) = Q(g(n))
c2 g(n)
f(n)
c1 g(n)
n0
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n
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Notare che:
fn   Qg(n) 

fn   Ogn 
fn   Og(n) 

fn   Θgn 
fn   Qg(n) 

fn   Wgn 
fn   Wg(n) 

fn   Qgn 
fn   Qg(n) 
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 fn   Ωgn  e fn   Ogn 
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Notazione o
Data una funzione g(n): N  R, si denota con o(g(n)) l’ insieme delle
funzioni f(n): N R:
o(g(n)) = {f(n) :  c > 0,  n0 tale che
 n  n0 0  f(n)  c g(n) }
Notare:
ogn 
fn   ogn 
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

Ogn 
limn 
fn 
 0
gn 
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Notazione 
Data una funzione g(n): N  R, si denota con (g(n)) l’ insieme delle
funzioni f(n):
(g(n)) = {f(n) :  c > 0,  n0 tale che
 n  n0 0  c g(n)  f(n) }
Notare:
gn 
fn   gn 
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Wgn 


limn 
fn 
 
gn 
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Riassumendo ……
fn   Θgn 

fn 
0  c1 
 c2  
gn 
fn   Ogn 

0
fn   Wgn 

0  c1 
asintotica mente
fn 
 c2  
gn 
asintotica mente
fn 
gn 

asintotica mente
fn   ogn 

limn 
fn 
0
gn 
fn   gn 

limn 
fn 

gn 
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Esempio:
Se T(n) = ad nd + ad-1 nd-1 + … + a0 è un polinomio di grado d (con
ad>0), allora T(n) = Q(nd)
Infatti:
T(n) / nd = ad + ad-1 n-1 + … + a0 n-d

 n0 :  n  n0
ad - |ad-1|n-1 - … - |a0| n-d > 0
Se scegliamo:
c1 = ad - |ad-1| n0-1 - … - |a0 | n0-d
c2 = ad + |ad-1| + … + |a0|
 n  n0
c1 nd  T(n)
 c2 nd
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Polinomi ……
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nd
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P(n) = ad
+ ad-1
ad > 0
Esponenziali ……
nd-1
+ … + a0
f(n) = an
a >1
an
limn  d  
n
Logaritmi ……
f(n) = logb(n) b>1
limn  
Fattoriali ……
logb n c
nd
f(n) = n! = n*(n-1)*……*2*1
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P(n) = Q(nd)
P(n) = O(nd)
P(n) = W(nd)
an = (nd)
an = W(nd)
logb(n) = o(nd)
logb(n) = O(nd)
 0, c, d  1
n! = o(nn)
n! = (an)
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Proprietà della notazione asintotica
Transitività
fn   Qgn 
fn   Ogn 
fn   Wgn 
e
e
e
gn   Qhn 
gn   Ohn 
gn   Whn 



fn   Qhn 
fn   Ohn 
fn   Whn 
fn   ogn 
e
gn   ohn 

fn   ohn 
fn   gn 
e
gn   hn 

fn   hn 
Riflessività
fn   Qfn 
fn   Οfn 
fn   Wfn 
Simmetria
fn   Qgn 

Simmetria trasposta
gn   Qfn 
fn   Ogn 

gn   Wfn 
fn   ogn 

gn   fn 
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Notazione asintotica: esempi
Sia f(n)=3n2+10
– f(n)=O(n2): basta scegliere c=4 e n0=4
• Infatti, 3n2+10 ≤ 4n2 per ogni n≥4
– f(n)=W(n2): scegliere c=1 e n0=0
• Infatti, 3n2+10 ≥ 1n2 per ogni n≥0
═> f(n)=Q(n2): infatti f(n)= Q(g(n)) se e solo se f(n)=
(g(n)) e f(n)= W(g(n))
– f(n)=O(n3) basta scegliere c=1 e n0=4
• Infatti, 3n2+10 ≤ 1n3 per ogni n≥4
…ma f(n)≠Q(n3)
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Metodi di analisi
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Caso peggiore, migliore e medio
• Misureremo le risorse di calcolo usate da un
algoritmo ( tempo di esecuzione /
occupazione di memoria ) in funzione della
dimensione n delle istanze
• Istanze diverse, a parità di dimensione,
potrebbero però richiedere risorse diverse
• Distinguiamo quindi ulteriormente tra analisi
nel caso peggiore, migliore e medio
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Caso peggiore
• Sia tempo(I) il tempo di esecuzione di un
algoritmo sull’istanza I
Tworst(n) = max istanze I di dimensione n {tempo(I)}
• Intuitivamente, Tworst(n) è il tempo di
esecuzione sulle istanze di ingresso che
comportano più lavoro per l’algoritmo
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Caso migliore
• Sia tempo(I) il tempo di esecuzione di un
algoritmo sull’istanza I
Tbest(n) = min istanze I di dimensione n {tempo(I)}
• Intuitivamente, Tbest(n) è il tempo di
esecuzione sulle istanze di ingresso che
comportano meno lavoro per l’algoritmo
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Caso medio
• Sia P(I) la probabilità di occorrenza dell’istanza I
Tavg(n) = ∑ istanze I di dimensione n {P(I) tempo(I) }
• Intuitivamente, Tavg(n) è il tempo di
esecuzione nel caso medio, ovvero sulle
istanze di ingresso “tipiche” per il problema
• Richiede di conoscere una distribuzione di
probabilità sulle istanze
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Approfondimento
Sia dato un mazzo di n carte scelte in un
universo U di 2n carte, e si supponga di
dover verificare se una certa carta x in U
appartenga o meno al mazzo. Qual è il costo
di tale verifica (in termine di numero di
confronti) nel caso migliore, peggiore e
medio?
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