Decadimento g
L’emissione di raggi g (radiazione elettromagnetica) si verifica quando un nucleo si
forma in uno stato eccitato (ad es. dopo un decadimento a o b o dopo un urto).
La trattazione delle transizioni radiative nei nuclei è generalmente simile a quella per gli
atomi, eccetto che
Atomo
.
Eg  eV l  108 fm G  109 s-1
Solo le transizioni di dipolo sono importanti
Nuclei
.
.
Eg  MeV l  102 fm G  1016 s-1
Sono importanti anche transizioni di ordine superiore. Il moto collettivo di
molti p porta a rate di transizione maggiori
Due tipi di transizioni:
Transizioni elettriche (E): sono dovute da una carica oscillante che causa un’oscillazione
del campo elettrico esterno
Transizioni magnetiche (M): sono dovute a una corrente o un momento magnetico
variabile che causano un campo magnetico variabile
1
Nel caso più semplice, il fotone porta via il momento angolare L quando un protone di un
nucleo fa una transizione dallo stato iniziale di momento angolare Ji allo stato finale di
momento angolare Jf
  
Ji    J f
Ji  J f    Ji  J f
Il fotone ha JP=1-  L  1
L’emissione di un singolo g è proibita fra due stati J = 0.
Transizioni 0  0 possono verificarsi solo attraverso conversione interna o con
l’emissione di più di un g
Le probabilità di transizione sono ottenute utilizzando la regola d’oro di Fermi
Gi  f 
2
2
M  (E f )

2
Apriamo una parentesi ...
3
Il campo elettromagnetico
Le equazioni di Maxwell sono
1.
2.
3.
4.
 
E  

  1  1 E
 B  j 
c
c t
 
B  0

 
1 B
 E  
c t
Introducendo il potenziale scalare f e il potenziale vettore A, il campo elettrico e
magnetico possono essere espressi come



  
1 A
E  f 
, B   A
c t
Queste non determinano i potenziali univocamente, poichè la trasformazione
1 f
f f 
,
c t

 
A  A  f
non cambiano E e B  invarianza di gauge
trasformazione di gauge
4
Riscriviamo le eqq. 1 e 2 in termini dei potenziali.

    
2
1 A 
1   
   f 
1.   E      f 
 A  

c t 
c t


     1 1  
1 A 
  f 

2.   B      A  j 

c
c t 
c t 

Concentriamoci sulla 2. Usando la relazione

  
2   
    A   A     A


possiamo riscrivere

 2  1  A     1 f  1 
   A  2 2     A 
 j
c t
c t  c

2
L’invarianza di gauge ci permette di fissare delle condizioni. Una conveniente è
 
 A  0
gauge di Coulomb
5
Consideriamo adesso il caso del campo libero, cioè assenza di cariche e correnti:  = 0,
j = 0. In assenza di cariche, eq. 1 diventa
2
 f 0
che ha come soluzione che si annulla all’infinito f = 0.
Eq. 2 diventa invece

 2  1 2 A
  A 2 2  0
c t
che è un’equazione d’onda. Se assumiamo soluzioni del tipo
  ikr t
A  A0e
la condizione fissata dal gauge di Coulomb implica che
 
    i ( kr t )
  A  ik  A0e
k A0
Quindi A è perpendicolare alla direzione di propagazione del vettore d’onda k
 onda trasversale
6
Modi normali del campo di radiazione
Supponiamo che il sistema sia racchiuso in una scatola di lato A. Abbiamo le condizioni
di frontiera


A(0, y, z, t )  A( L, y, z , t ), 
Le funzioni
1  ikr
 l e , l  1, 2
V
 
 
1   2  0, 1  k  0,
 2n
k
V
formano un insieme completo di vettori ortonormali trasversi. Possiamo quindi
espandere A in serie di Fourier usando questi campi

 c 2
A(r , t )   
l , k  2V k
1/ 2





 l al ( k , t ) e

ik  r
 al (k , t )e
*

 ik  r

Coefficiente inserito solo per convenienza futura
Questa forma assicura che A sia reale: A = A*
7
Se sostituiamo questa espansione nell’equazione d’onda di A troviamo che ciascun
coefficiente al(k,t) soddisfa
 2 al (k , t )
2 2
2


k
c
a
(
k
,
t
)



l
k al ( k , t )
2
t
La soluzione di questa equazione può essere scritta come
al (k , t )  al (k )e i k t , al* (k , t )  al* (k )ei k t
Se definiamo i vettori
 c

a (k , t )   
l  2V k
2
1/ 2
 
 c
*
 i k t
  l al (k )e
, a (k , t )   
l  2V k

2
1/ 2
  *
  l al (k )ei k t

l’espansione di Fourier assume la forma





*
ik r
 ik r
A(r , t )   a (k , t )e  a (k , t )e

k
Questa può essere ulteriormente semplificata introducendo





*
ik r
A(k , t )  a (k , t )  a (k , t )  A(r , t )   A(k , t )e
k
8
Energia del campo elettromagnetico. Vogliamo calcolare l’energia totale del campo in
termini di A(k),


1 2 2 3
H   E B d r
2
Per i campi elettrico e magnetico abbiamo




1 A
1
ik  r
E
   A(k ) e ,
c t
c k

 
 
ik  r
B    A  i  k  A(k ) e
k
Nei quadrati di queste somme, tutti i prodotti con k e k’ tali che k’  -k sono nulli
nell’integrale perchè contengono termini del tipo
L
e
i
2
nx x
L
dx  0
dalle condizioni di frontiera
0
Nei termini con k’ = - k gli esponenziali scompaiono per cui



 
 *
 *
V  1 

H   2 A(k ) A (k )  k  A(k )  k  A (k ) 
2 k c

9
 
 
k  A  0  k  A(k )  0
Poichè
abbiamo



 
 *

*
2
k  A(k )  k  A (k )  k A(k )  A (k )
V
H 2
2c


 *

*
2 2
A(k ) A (k )  k c A(k )  A (k )
k

Torniamo ai vettori a (k )



*

*
A(k )  a (k )  a (k )  A(r, t )  ik a (k )  ik a (k )
Troviamo che
V
H 4 2
2c
V
4 2
2c
l
k,



 a * (k )  a (k )
2
k
k
c 2 2 *
 k al (k )al (k )    k al* (k )al (k )
2V k
k ,l
10
L’oscillatore armonico
L’hamiltoniana dell’oscillatore armonico classico
p2 1
H
 m 2 x 2
2m 2
può essere fattorizzata nel modo seguente
 1
p

H   x
m  i
2m
 2
 1
p
 x
 2 m  i 2m





In meccanica quantistica dobbiamo fare attenzione all’ordine perchè x e p non
commutano
x, p  i
Di conseguenza
2
1

i
i
p
1
2


  mx  px  xp 
 H  

2
2
2m 
2
2
11
Introduciamo gli operatori
1  1
p 
 x m  i
,
a
  2
2m 
1  1
p 


a 
x
m


i
  2
2m 
a, a   1


possiamo riscrivere l’hamiltoniana nella forma
1
 
H    a a  
2

Poichè l’energia del sistema è una grandezza definita positiva, segue che anche
l’operatore N = aa+ è definito positivo. Quindi N possiede un autovalore minimo non
negativo n0  0.
Dall’equazione agli autovalori N n  n n segue che
Na n  (n 1)a n , Na n  (n  1)a  n
Quindi a|n> e a+|n> sono autostati di n corrispondenti a autovalori n e n + 1
n  C n 1 , a  n  C' n  1
12
Se n0 è l’autovalore minimo, allora
a n0  0, e a  a n0  n0 n0
n0  0
Quindi gli autovalori di N sono gli interi n = 0, 1, 2, 3, ...
Se lo stato |n> è normalizzato a 1, allora anche |n1> sono normalizzati se
n  n n 1 , a  n  n  1 n  1
Possiamo costruire lo stato |n> applicando ripetutamente a+ sullo stato del vuoto
n 
a 
 n
n!
0
Queste sono dunque anche gli autostati dell’hamiltoniana dell’oscillatore armonico con
autovalori dell’energia
1

E n    n  
2

Gli operatori a+/ a sono detti di innalzamento/abbassamento o di creazione/distruzione
13
Evoluzione temporale. Abbiamo finora fissato il tempo (t = 0). L’evoluzione temporale
può essere seguita nella rappresentazione di Heisemberg (gli operatori sono funzione
del tempo)
i
da (t )
 a (t ), H 
dt
da cui
da (t )
 i a(t )  a(t )  ae it
dt
Confronto con l’hamiltoniana del campo di radiazione:
- Stessa forma di H (a parte un fattore costante)
- Stessa equazione che governa l’evoluzione temporale dei termini a e a+
14
Quantizzazione del campo di radiazione
L’hamiltoniana del campo di radiazione è una sovrapposizione di oscillatori armonici.
Introduciamo quindi le relazioni di commutazione
a (k ), a
l

l'

(k ' )   ll ' kk '
al (k ), al ' (k ' )  a  l (k ), a  l ' (k ' )  0
l’hamiltoniana del campo di radiazione diventa
H 
k ,l
1
 
k  al (k )al (k )  
2

Gli operatori Nl(k) = a+l(k) al(k) hanno autovalori nl(k) = 0, 1, 2, ... e autostati
nl (k ) 
a

l

nl ( k )
(k )
nl (k )!
0
Gli autostati e gli autovalori di H sono
1

 nl (k )    nli (ki ) , E    k  nl (k )  
2

k ,l
ki ,li
15
nl(k) = numero di fotoni di polarizzazione l e momento k.
Poichè nl(k) = 0, 1, 2, ...  i fotoni soddisfano la statistica di Bose-Einstein – sono
bosoni
L’energia dello stato del vuoto |0> (lo stato in cui non ci sono fotoni) è
1
 k  

2 k ,l
Questa è però una costante additiva senza significato fisico che può essere eliminata
traslando lo zero della scala dell’energia.
Il potenziale vettore diventa ora un operatore



A(r , t )  A (r , t )  A (r , t )

 c 2
A (r , t )   
l , k  2V k

 c 2
A (r , t )   
l , k  2V k
1/ 2



1/ 2




 l al ( k , t ) e

 l al ( k , t ) e
*

ik  r

 ik  r
contiene operatori di distruzione
 può diminuire il numero di fotoni
contiene operatori di creazione
 può aumentare il numero di fotoni
16
Chiusa parentesi ...
17
Interazione radiazione-materia
L’hamiltoniana di una particella libera è descritta H = p2 / 2m.
L’interazione con la radiazione è descritta operando la sostituzione

 e 
p p A
c
Abbiamo
2

 e 
 2 e   e   2 
 p  A     p  p  A  A  p  A 
c 
c
c



e   2 
 2
  p  2 A  p  A 
c


Gauge di Coulomb
 
 
p  A  i  A  0
Possiamo quindi decomporre H nella parte libera e in quella di interazione
e  
1 2
HI 
A p 
A
mc
2mc
Termine lineare in A: descrive
processi in cui è emesso o assorbito
un fotone
Termine quadratico in A: descrive
processi in cui sono emessi o assorbiti
18
due fotoni
Transizioni radiative
In una transizione fra due stati atomici o nucleari un viene emesso o assorbito un fotone.
Abbiamo gli stati iniziale e finale
Abbiamo
A, nl (k )
stato iniziale
B, nl (k )  1
stato finale
stato fotonico
stato nucleare
Dobbiamo quindi calcolare l’elemento di matrice
B, nl (k )  1 H I A, nl (k )
In HI contribuirà solo la parte di A contenente operatori di creazione, e solo il termine
dell’espansione k che conserva l’energia

 c 2
A nl (k )  
 2Vk
1/ 2


 i k  r  i k t
  l (k )e
nl (k )  11/ 2 nl (k )  1

19
Abbiamo quindi
B, nl (k )  1 H I A, nl (k ) 
e  c

mc  2Vk
2
1/ 2




 ikr
B  l (k )  pe
A eik t
nl (k )  1
1/ 2
Aspetto interessante: fattore nl(k) + 1  emissione stimolata – più fotoni ci sono nello
stato finale maggiore è l’emissione
Emissione spontanea: nl(k) = 0 nello stato iniziale
e  c

B, nl (k )  1 H I A, nl (k )  0 
mc  2Vk
2
1/ 2




 ikr
B  l (k )  pe
A e i k t
Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi
2
 ikr
2 e 2  
dwl 
 l (k )  B pe
A f
2
 m 2V k
20
Interazione di dipolo
Nell’approssimazione di dipolo si ha
e

 ik r
1
Giustificazione: valida se la lunghezza d’onda della radiazione l = 2 / k > dimensioni
lineari R del sistema, cosicchè 

k  r  kR  1
Per raggi g emessi da nuclei abbiamo R  fm. Inoltre,
l
c
200
(fm ) 

2
E (MeV) E (MeV)
Quindi l’approssimazione di dipolo è valida per energie tipiche delle transizioni nucleari.
Ora


B p A m Br A
Usiamo l’equazione del moto
 
ir  r , H 
21
Quindi


im
im
m Br A 
B r , H  A  
B rH  Hr A



im
  E A  E B  B r A

La differenza di energia fra lo stato finale e iniziale è uguale all’energia del fotone
emesso
EA  EB  
Arriviamo quindi al risultato


B p A  im B r A
Il rate di transizione è
2

2 e 2 
2 2 
dwl 
m  k  l (k )  B r A  f
2
 m 2V k
2

e 2 k 

 l (k )  B r A  f
V
22
Densità di stati finali. Il numero di stati fotonici nell’intervallo (k, k + dk) è

d k
k 2 dkd
dn  V
V
3
(2 )
(2 )3
3
Poichè k = /c possiamo anche riscrivere

d k
 2 dd
dn  V
V
3
(2 )
(2 )3 c 3
3
La densità di stati è
dn
dn
 2 d
f 

V
dEg d
(2 ) 3 c 3
Il rate di transizione è quindi
e 2k3
dwl  2 3
8 c
e 2k3
 2 3
8 c

 2
 l (k )  B r A d

 2
 l (k )  rBA d,


B r A  rBA
23
Somma sugli stati di polarizzazione l del fotone. Abbiamo

 2
e 2 k3
dw   dwl  2 3   l (k )  rBA d
8 c l 1, 2
l
I vettori 1(k), 2(k), e k formano un sistema ortonormale. Quindi



 2  *
 ˆ *
ˆ
  l (k )  rBA  rBA  rBA  k  rBA k  rBA
l
Quindi

 *
 rBA  rBA 1  cos 2 
 *
 rBA  rBA sin 2 


 = angolo fra rBA e k
e 2 3  2 2
dw  2 3 rBA sin  d
8 c
Otteniamo la probabilità di transizione totale integrando su tutte le direzioni
8
 sin  d  3
3
24
Rate di transizione totale
e 2 3  2
w
r
3 BA
3c
Per stimare questo rate poniamo
 2
rBA  R 2
Essendo Eg = h,
R = raggio nucleare
4 3 2
e2
w  aEg R , a 
3
4c
Per Eg = 1 MeV, R = 5 fm,
w( E1)  0.24 MeV 3 fm 2
0.24
1

s
(197) 2  6.6  1022
 c  197 MeVfm



   6.6 1022 MeVs 


 1016 s 1
(per una transizione atomica abbiamo w  109 s-1)
25
Il rate può essere convertito nell’intensità della radiazione (potenza) moltiplicando per
l’energia di un fotone
2 4
e  2
P  w   
r
3 BA
3c
Questa è la formula classica dell’intensità emessa da un dipolo oscillante avente
momento di dipolo


d  e B r A e it
 illustrazione del principio di corrispondenza
26
Regole di selezione
Poichè le funzioni d’onda nucleari hanno parità definita, l’elemento di matrice può essere
non nullo solo se gli stati iniziale e finale hanno parità opposta


 : er  er
Transizione E1  la parità del nucleo cambia
Supponiamo di avere uno stato iniziale e finale caratterizzati da numeri quantici ni, li, mi,
e nf, lf, mf (trascuriamo lo spin dei nucleoni). L’elemento di matrice ha la forma


B  l (k )  r A   r 2 Rn* f  f m f (r )rRni  i mi (r )dr

*
  Y f m f ( ,  ) l (k )  rˆY i mi ( ,  )d
Concentriamoci sulla parte angolare. Abbiamo

 l (k )  rˆ   x sin  cos    y sin  sin    z cos 
27
Facendo uso di
3
Y1,0 ( ,  )  cos  ,
4
3
Y1, 1 ( ,  )   sin e i
8
possiamo riscrivere

3
 l (k )  rˆ 
4
  x  i y
 x  i y


  zY1,0 
Y1,1 
Y1, 1 
2 2
2 2


Quindi l’integrale contiene termini del tipo
*
Y
  f m f ( , )Y1,m ( , )Y i mi ( ,  )d
Consideriamo prima l’integrazione azimutale,
2
e
im f  im imi
e
e
d  2m,m f mi
0
Questo porta quindi alla regola di selezione
m f  mi  m  1, 0,  1
28
Assumiamo che l’asse z coincida con la direzione del vettore d’onda k. Allora z = 0 e m
= ±1 cosicchè
m f  mi  1
Se lf = mf = 0 allora m = -mi. Assumiamo ad esempio che polarizzazione del lungo z sia
mi = 1. Allora m = -1 e il vettore di polarizzazione della radiazione è
 x  i y
2
La conservazione del momento angolare richiede che esso sia portato via dal fotone.
Quindi il suo spin deve essere allineato lungo la direzione z positiva  deve avere elicità
positiva
 x  i y
2
  x  i y
2


Stato di polarizzazione circolare a sinistra=stato di
elicità positiva
Stato di polarizzazione circolare a destra=stato di
elicità negativa
29
L’integrazione in  dà luogo a un’altra regola. Assumiamo il caso lf = 0.
Poichè Y 0,0=1 / (4)1/2 , abbiamo
1
1
Y
(

,

)
Y
(

,

)
d


  i ,1 mi ,  m
1, m
 i mi

4
4
Quindi lo stato iniziale deve avere li = 1. Transizioni 0  0 sono proibite.
In generale vale la relazione (C sono detti coefficienti di Wigner)
Y1m1 ( ,  )Y 2 m2 ( ,  ) 
1   2
 C ( L, m  m ; 
1
L  1  2
2
1
  2 , m1 , m2 )YL ,m1  m2 ( ,  )
Sostituendo nella parte angolare dell’ampiezza otteniamo
*
Y
  f m f ( ,  )
 i 1
 C ( L, m  m ;1,  , m, m )Y
L   i 1
i
i
i
L , m  m2
( ,  ) d  0
a meno che
  1, 0,  1
regola di selezione della radiazione di dipolo elettrico
(non ci sono transizioni 00)
30
Transizioni di ordine superiore
Se le regole di selezione proibiscono la transizione di dipolo A  B, il processo di
emissione può procedere attraverso termini di ordine superiore dell’espansione
e

 ik r
 
 1  ik  r  
Col secondo termine abbiamo


3
3
  
 l (k )  B  ik  r p A  i   la (k ) k b B rb pa A

a 1 b 1
a, b (=1, 2, 3) sono le componenti cartesiane dei vettori , k, r
L’elemento di matrice può essere scritto come somma di una parte simmetrica e una
antisimmetrica
B rb pa A 
1
 B rb pa  ra pb A  B rb pa  ra pb A 
2
operatore momento angolare
antisimmetrico
 interazione di dipolo magnetico
operatore di quadrupolo elettrico
 interazione di quadrupolo elettrico 31
Interazione di dipolo magnetico
Interazione di dipolo magnetico: Lz = r1p2 – r2p1 proporzionale al momento magnetico
e
z 
Lz
2m p
 generata dalle correnti elettriche dovute ai protoni
Dobbiamo inoltre aggiungere il contributo dei momenti magnetici intrinseci.
La componente z dell’elemento di matrice contiene quindi l’operatore
e
Lz   z 
2m p
B  z ,tot A  B Lz   z  A
 z ,tot 

  r1 p2  r2 p1   z  A d r
*
B
3
Sotto parità il momento magnetico si trasforma come il momento angolare
 


 
 : er  v  e(r )  (v )  er  v
Transizione M1  non cambia la parità del nucleo
32
Tipicamente
e
z 
 N
2m p
Magnetone nucleare
Possiamo quindi scrivere
2
Γ(M 1 )  e  1

Γ(E1 )  2m p  e 2 R 2
Nel caso di un protone la sua lunghezza d’onda Compton è
c
200 MeV  fm


 0.2 fm
2
mpc
1 GeV
Assumendo R  5 fm, troviamo
Γ(M 1 )  l 
4 10 2
  
 10 3
Γ(E1 )  R 
25
2
33
Radiazione di multipolo
Se gli stati nucleari iniziale e finale differiscono per più di una unità di momento angolare
 radiazione di multipolo di ordine superiore
Classificazione
e

 ik  r
 

  1  2
 
1
 1  ik  r  k  r     i k  r
2
n!

n

Dipolo E1
Dipolo M1
Quadrupolo E2
Quadrupolo M2
ottupolo E3
Ciascun termine successivo in A è ridotto rispetto al precedente di un fattore kR.
Per k  1 MeV, R  5 fm  kR  5 MeV fm  0.025 (5 MeV fm / hc).
Quindi
kR  103
2
Γ(E 2 )
Γ(M 1 )
 103 
Γ(E1 )
Γ(E1 )
34
L’elemento di matrice di una transizione E2 va come r2  pari sotto trasformazione di
parità
Abbiamo le regole di selezione della parità
transizioni EL parità = (-1)L
transizioni ML parità = (-1)L+1
e del momento angolare
Ji  J f  L  Ji  J f
In generale, un decadimento procederà in modo dominante dal processo di ordine più
basso permesso dalla conservazione del momento angolare e della parità.
Ad esempio, se un processo ha J = 2, la parità non varia, esso procederà via E2,
35
anche se M3 e E4 sono pure permessi.
Esempio:
Informazioni sulla natura delle transizioni è molto utile per dedurre i valori JP degli stati.
Anche gli effetti collettivi possono essere importanti:
- molti nucleoni partecipano alle transizioni
- Se un nucleo un grande valore di Q stati rotazionali eccitati favoriscono le transizioni
E2
36
2 1!! 2 1 2 13 1
Generalizzazione dei risultati. I calcoli dettagliati danno
8   1   
l ( , m ) 
 
2  1!!  c 
2  1
Qm  Q'm
E
2
dovute al momento
magnetico intrinseco
dovute alle coordinate
spaziali
8   1   
M
l ( , m ) 
 
2  1!!  c 
2  1
M m  M ' m
2
Gli elementi di matrice elettrico e magnetico dovuti alle coordinate spaziali possono
essere scritti in coordinate polari

Qm  e  Y ( ,  ) r  i d r
Z
k 1
M m
*
m
* 
f k
3



1 e Z
 *
*
3

rk Ym ( ,  )   f Lk i d r


  1 mc k 1
Ciascuna ampiezza è una somma di Z integrali !
I termini Q’Lm, M’Lm sono la somma di A integrali e contengono le matrici di Pauli.
37
Per fare una stima proviamo qualcosa di semplice. Consideriamo la transizione di un
singolo protone
 i  Rn ' j 'n ' ' ( ,  ),  f  Rn '' j ''n '' '' ( ,  )
Assumiamo che RnL sia costante da r = 0 a r = R. Poniamo
1/ 2
 3 
Rn ' (0  r  R )   3 
R 
normalizzazione della
funzione d’onda
L’integrale radiale è quindi
3

R
r
R
r
dr

R
i

3 
*
f

2
L’integrazione della parte contenente le funzioni sferiche porta a un fattore S(Ji,Jf,L) che
è dell’ordine dell’unità
modulo quadro
2  1
2
dell’ampiezza
E
8   1  g 
l ( , m ) 
a  
2  1!!  c 
E
 3 
2

 cR
   3
38
In modo analogo, per transizioni magnetiche si ha
8   1  Eg 
M
l ( , m ) 
a  
2  1!!  c 
2  1
1  22
  

  
cR
 1
 mc 
Procedendo in modo sistematico si ottengono le stime di Weisskopf
lE   1  1.0  1014 A2 / 3 E 3
lE   2   7.3 10 7 A4 / 3 E 5
lE   3  34 A2 E 7
lE   4   1.110 5 A8 / 3 E 9
lM   1  5.6  1013 E 3
lM   2   3.5  10 7 A2 / 3 E 5
lM   3  16 A4 / 3 E 7
lM   4   4.5  10 6 A2 E 9
Esse forniscono non tanto stime assolute dei rate. Sono utili per confronti relativi dei rate
di transizione
l (  1)
 105
l ( )
lE ()
2

10
lM ()
39