Ricerca Operativa
• Primi sviluppi : seconda guerra mondiale
• Dopoguerra: applicazioni civili
• Standardizzazione
• Sviluppo del calcolo automatico
• Campi applicativi:
Industria
Trasporti
Finanze
Etc.
1
Definizione secondo Ackoff-Sasieni:
La Ricerca Operativa e’:
1.
2.
3.
l’applicazione del metodo scientifico
da parte di gruppi interdisciplinari
a problemi che implicano il controllo di
sistemi organizzati al fine di fornire soluzioni
che meglio servano gli scopi
dell’organizzazione nel suo insieme
2
Caratteristiche della Ricerca Operativa
1.
La R.O. viene applicata alla risoluzione di problemi sul come condurre,
organizzare e migliorare le operazioni e le attivita’ all’interno di una
organizzazione
2.
L’approccio utilizzato e’ quello del metodo scientifico: individuato il
problema si costruisce il modello matematico che astrae l’essenza dal
problema reale
3.
La R.O. cerca di risolvere i conflitti fra le varie componenti del sistema visto
nel suo insieme: gli obiettivi prefissati devono essere in accordo con tutta
l’organizzazione
4.
La R.O. non si limita ad individuare una delle possibili soluzioni del
problema, ma individua, se possibile, quella ottimale, cioe’ quella che meglio
risponde alle esigenze.
3
Esempio
Gestione linea metropolitana
• Variabili: Numero treni, Tempi di attesa
• Funzione Obiettivo
• Esigenze diverse
Ente gestore
Utenti
• Vincoli
4
Fasi di un problema risolto con la Ricerca Operativa
Esame della situazione reale
Raccolta delle informazioni
Formulazione del problema
(variabili, funzione obiettivo, relazioni)
Costruzione del modello matematico
Soluzione del modello
Analisi e verifica delle soluzioni
Attuazione
5
Problemi economici
Vincoli
Ottimizzare
•
•
•
•
•
Costi
Profitti
Produzione
Gestione
Organizzazione
•
•
•
•
Organizzativi
Logistici
Finanziari
Produttivi
Costi fissi
Costi variabili lineari
Costi variabili non lineari
6
Problemi economici in una sola variabile
X
= quantita’ di merce prodotta e/o venduta (x ≥ 0)
C(X) = Costo totale
Cu(X) = C(X) / X = Costo unitario
R(X) = Ricavo della vendita
G(X) = Guadagno o utile netto
pu
= prezzo unitario di vendita =
Costante
Funzione della domanda
(ricavato da una stima statistica)
7
PROBLEMI ECONOMICI
1) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile
di 3.000.000 u.m. ed una spesa variabile di 6000 u.m. per ogni unità di
prodotto. Il prezzo di vendita è di 8000 u.m. per unità.
Determinare e disegnare le funzioni spesa e guadagno mensili in
funzione della quantità x prodotta.
Quale quantità minima è necessario produrre per non lavorare in
perdita?
u.m.=unità monetarie
8
R(x)
C(x)
Costi : C(x) = 3.000.000 + 6.000 x
Guadagno : G(x) = 2.000 x –3.000.000
G(x)
Risposta : 1500
9
2) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa
fissa mensile di 180.000 u.m., un costo di produzione
unitario di 50 u.m., una spesa unitaria di vendita pari alla
metà del prodotto venduto. Il prezzo di vendita è di 800 u.m.
per prodotto. La quantità massima che può essere prodotta è
1000 unità di prodotto.
Determinare e disegnare la funzione guadagno mensile.
(Esaminare anche con vincolo sulla produzione x  700)
10
Risposta
G(x) = -x2/2 + 750 x –180.000
V(750; 101.250)
11
3) In un impresa il costo di produzione totale per un dato periodo di tempo e’ espresso
dalla funzione C(x) = 200.000 + 120x (x = quantita’ prodotta). Il prezzo di vendita e’
p(x) = 500 – 0,1x, variabile in funzione della domanda. Il vincolo sulla produzione e’
x  1.600.
Determinare e disegnare la funzione guadagno.
Funzione p(x)
12
Risposta
G(x) = -0,1x2 + 380 x –200.000
13
4) Una ditta ha una capacità produttiva mensile di kg. 1500 di una merce.
Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di 500.000 u.m. ed un
costo di u 1000 per ogni kg prodotto. La domanda della merce ( ossia la
quantità di merce richiesta dai consumatori ) è espressa in funzione del
prezzo dalla relazione : x(p) = 2400 –0,4p dove x è la quantità richiesta
e p è il prezzo al kg.
Calcolare la quantità che si deve produrre per ottenere il massimo utile,
nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta.
14
Modello matematico :
massimizzare y = - 2,5x2 + 5.000x – 500.000
0  x  1500
Risposta : x =1000
15
5) Per la produzione di un bene un’ impresa sostiene una spesa fissa di
2.000.000 u.m., un costo unitario di 800 u.m. per ogni unità prodotta
e una spesa, stimata pari allo 0,5 del quadrato della quantità prodotta,
per la manutenzione degli impianti. La capacità produttiva massima
mensile è di 10.000 unità. Determinare per quale quantità il costo
unitario di produzione è minimo.
16
Modello matematico :
minimizzare y = 0,5x + 2.000.000/x + 800
0  x  10.000
Risposta : x =2000
p = 2800
17
6) Un prodotto è fabbricato e venduto in lotti da 200 pezzi ciascuno. Per
la lavorazione si sostiene una spesa fissa giornaliera di u.m. 400.000 ed un
costo di u.m. 500 al pezzo, ed il numero massimo di lotti prodotti in un
giorno è di 6.
Il prezzo di vendita è decrescente al crescere del numero di lotti venduti
secondo la seguente tabella
N. lotti
Prezzo al lotto (x1000)
1
350
2
350
3
320
4
280
5
250
6
210
Determinare quanti lotti si devono produrre giornalmente per realizzare il
massimo utile.
18
Modello matematico:
massimizzare y =guadagno
0x6
xN
Caso discreto: dati poco numerosi
N°lott
i
0
1
2
3
4
5
6
Costo(x1000)
Ricavo(x1000)
Guadagno(x1000)
400
500
600
700
800
900
1000
0
350
700
960
1120
1250
1260
- 400
-150
100
260
320
350
260
Risposta : lotti n° 5
19
7) Una ditta produce beni in unità non divisibili (es. abiti) e
deve decidere il numero di beni da produrre mensilmente per
ottenere l’utile massimo. I dati tecnici sono i seguenti : costo
unitario per materia prima e lavorazione u.m. 20.000, spesa
fissa mensile u.m. 5.000.0000, prezzo di vendita p = 60.00015x (dove x è il numero dei beni).
Calcolare quante unità del bene produrre per ottimizzare
l’utile netto, sapendo che la massima capacità produttiva è
2.000 unità al mese.
20
Modello matematico:
massimizzare y = -15x2 + 40.000x – 5.000.000
0  x  2.000
xN
Caso discreto: dati molto numerosi
V(4.000/3; 65.000.000/3)
y(1333)= 21666665
y(1334)= 21666660
Risposta : x = 1.333
21
8) Una ditta per un servizio di trasporto pratica i seguenti
prezzi: 3.500 u.m. al quintale fino a 50 quintali e 1.800 u.m.
al quintale per ogni quintale eccedente i 50. Indicando con x
il numero di quintali determinare l’espressione del costo
totale in funzione di x.
22
Risposta:
 3.500x
1.800x + 85.000
y=
se 0  x  50
se x  50
Funzione definita a tratti, continua.
Sconti quantità.
23
9) Un commerciante, che ha una capacità di magazzino di
300 kg., può acquistare una merce a 50.000 u.m. al Kg; se
la quantità acquistata supera 100 Kg. egli usufruisce di uno
sconto del 20% sull’eccedenza. Tenendo conto del fatto
che all’atto dell’acquisto egli deve sostenere un costo fisso
di 1.000.000 u.m., e che il prezzo unitario di rivendita
della merce e’ dato da p = 80.000 – 100x, determinare
quale quantità deve essere acquistata e venduta per
ottenere il massimo guadagno.
24
Modello matematico:
massimizzare
y=

-100x2+ 30.000x – 1.000.000
-100x2+ 40.000x – 2.000.000
se 0  x  100
se x  100
x  300
Funzione definita a tratti, continua,
parabole.
Risposta : x = 200
25
10) Un impresa commerciale acquista della merce e la rivende ai
dettaglianti. Il costo della merce e’ di 300 u.m al Kg.; per acquisti di
almeno 30 q. il prezzo e’ ridotto a 250 u.m. il Kg. La domanda e’ data
dalla funzione x = 10.000–10p. L’impresa sostiene settimanalmente
una spesa fissa di 200.000 u.m e puo’ acquistare al massimo 50 q di
merce.
Calcolare quanti Kg. di merce si devono acquistare per ottenere il
massimo utile nell’ipotesi che tutta la quantita’ acquistata sia
rivenduta.
26
Massimizzare
y=

-0,1x2+ 700x – 200.000 se 0  x  3.000
-0,1x2+ 750x – 200.000 se x  3.000
x  5.000
Funzione definita a tratti, non continua,
parabole.
Risposta : x = 3.750
27
Problema Tipico
Modello
Matematico
min – max
f(x)
x0
Vincolo di segno
g(x)  0 Vincoli tecnici
f(x) = funzione obiettivo
f(x) =
Costo
Costo unitario
Ricavo
Guadagno
Valori di ottimo
Oggetti matematici presenti e da approfondire:
Ulteriori metodi:
Statistiche
Approssimazione –interpolazione
Metodi numerici
Metodi semplici (grafici, algebrici)
Analisi e derivate
Equazioni e disequazioni
Funzione
Funzioni semplici
Dominio
Continuita’
Derivate
etc.
28
Classificazione problemi di scelta
rispetto a
• Numero variabili coinvolte
• Tipo di variabili
(campo di scelta)
a una variabile
a due variabili
a piu’ di due variabili
continuo (uno o piu’ intervalli reali)
discreto (insieme di valori)
equazione/i
lineari
non lineari
disequazione/i
lineari
non lineari
• Numero e tipo dei vincoli
• Tipo di funzione obiettivo
lineari
non lineari
29
Problemi di scelta
In condizioni
di certezza
Con effetti
immediati
Con effetti
differiti
In condizioni
di incertezza
Con effetti
immediati
Con effetti
differiti
• certezza: dati e conseguenze determinabili a priori
• incertezza: grandezze variabili aleatorie
• effetti immediati: decisione
realizzazione immediata
• effetti differiti: decisione
realizzazione differita
30
Altri problemi in condizione di certezza con effetti immediati: scelta fra
piu’ alternative
1) Un’azienda deve comprare un macchinario per produrre un certo prodotto. Può scegliere fra 3
macchinari che hanno le seguenti caratteristiche :
Costo di produzione giornaliero fisso
Costo per ogni unità prodotta
Macchinario M1
100.000 u
800 u
Macchinario M2
150.000 u
600 u
Macchinario M3
200.000 u
I prezzi e le durate dei 3 macchinari sono
ininfluenti poiché pressoché uguali. Si vuole
determinare qual’è la macchina che è più
conveniente comperare.
500 u
C1(x)
C2(x)
C3(x)
Le funzioni costo risultano:
C1(x) = 100.000 + 800 x
C2(x) = 150.000 + 600 x
C3(x) = 200.000 + 500 x
La convenienza dipende dal livello di produzione :
se 0 x  250 conviene M1
se 250  x  500 conviene M2
se x  500 conviene M3
x=250 e x=500 si dicono valori di indifferenza
31
2) Per rifornirsi di una data merce un commerciante può rifornirsi da due produttori : a) l’acquisto dal primo
comporta una spesa fissa di 12.000 u ed un costo di 800 u per ogni kg. b) l’acquisto dal secondo comporta una
spesa fissa di 10.000 u ed un costo di 900 u al kg. per forniture fino a 250 kg., mentre per forniture superiori il
prezzo diminuisce del 20% sull’eccedenza.
C1(x)
Determinare per quali livelli di acquisto è più conveniente il primo o il secondo produttore.
C2(x)
C1(x) = 12.000 + 800 x
10.000 + 900 x se 0 x  250
C2(x) =
55.000 + 720 x se x  250

Il primo produttore è più conveniente per
20 x  537.5, il secondo per x  20
oppure x  537.5 .
32
Problemi di scelta in condizione di certezza
con effetti differiti
Esempio 1
Si vogliono investire 10.000.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra:
a) ricevere tra 10 anni u.m. 25.000.000
b) ricevere tra 8 anni u.m. 25.000.000
La scelta b) non comporta alcun dubbio
Esempio 2
Si vogliono investire 10.000.000 u.m. e si puo’ scegliere tra:
a) ricevere tra 10 anni u.m. 25.000.000
b) ricevere tra 3 anni u.m. 8.000.000 e fra 9 anni altri 9.000.000
Problemi tipici:
• Finanziari (acquisti o vendite di beni economici, etc.)
• Commerciali (gestione di attivita’ commerciali, apertura di agenzie, etc.)
• Industriali (acquisto, noleggio apparecchiature, etc.)
33
Criteri utilizzati:
•
Criterio attualizzazione
Confronto dei rendimenti economici attualizzati (r.e.a.): valori
attuali, all’inizio dell’attivita’, dei costi e ricavi futuri
Difetto: criterio soggettivo (scelta del tasso di attualizzazione)
•
Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso interno di rendimento)
Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al
valore attuale dei ricavi, per ciascun caso
Criterio oggettivo
Difetto: scadenze comparabili
La scelta dipende dall’obiettivo: investimento o costo
34
Esempio 2
Si vogliono investire 10.000.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra:
a)
ricevere tra 10 anni u.m. 25.000.000
b)
ricevere tra 3 anni u.m. 8.000.000 e fra 9 anni altri 9.000.000
Svolgimento
Criterio attualizzazione
Va = 25.000.000 (1 + i)-10
Vb = 8.000.000 (1 + i)-3 + 9.000.000 (1 + i)-9
i = 8%
Va = 11.579.000
Vb = 10.852.000
Soluzione: e’ piu’ conveniente a)
i = 12%
Va = 8.049.000
Vb = 8.939.000
Soluzione: e’ piu’ conveniente b)
Criterio tasso effettivo di impiego
a)
10.000.000 = 25.000.000 (1 + i)-10
Soluzione: i = 9,59%
(metodi algebrici di calcolo)
b)
10.000.000 = 8.000.000 (1 + i)-3 + 9.000.000 (1 + i)-9
Soluzione: i = 9,64%
(metodi numerici di calcolo)
35
Andamento del r.e.a. in funzione del tasso
V( i ) = funzione decrescente del tasso i
V(i)
V(0)
tasso effettivo d’impiego
i
-C
r.e.a. : indice di redditività dell’operazione valutata per
comparazione
tasso effettivo d’impiego : indice di redditività assoluta
dell’operazione
36
Problemi di scelta in condizioni di incertezza con effetti
immediati
Le conseguenze dipendono da eventi aleatori
Matrice dei risultati
Em
am,1
…
…
A1
5
5
5
5
Alternative
A2
4
5
6
7
A3
2
4
7
10
An
Probabilita’
p1
p2
am,n
pm
…..
…..
E1
E2
A1
a1,1
a2,1
Alternative
A2
…
…
…
…
…
…..
Eventi
•
•
Eventi
Esempio
•
E1
E2
E3
E4
Probabilita’
0,3
0,25
0,2
0,25
Distribuzione di probabilita’
37
• Criterio del valor medio
1.
Per ogni alternativa
M(AK) = i ai,k pi
2.
Scelta dell’alternativa piu’ conveniente
• Variabilita’
• Valutazione del rischio
1.
Per ogni alternativa
K =
i [ ai,k - M(AK)]2 pi
2.
Se valori medi uguali  AK con K minore
3.
Se valori medi diversi  calcolo del livello di rischio
LK = M(AK) / n (n = 1, 2, ..)
Se K  LK (n fissato) si
confrontano i valori medi e si
sceglie il piu’ conveniente
38
PROBLEMI IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA CON EFFETTI IMMEDIATI –ESEMPIO
Criterio del valor medio
Esempio
Un ‘azienda deve scegliere fra tre alternative di investimento i cui risultati dipenderanno dal verificarsi o
meno di 4 eventi aleatori.
Nella tabella sono indicati i guadagni ottenibili , per ogni alternativa, al variare degli eventi (es. : acquisto
di merce deperibile oppure vendita come variabile aleatoria).
Valutare quale scelta è preferibile, supponendo che agli eventi siano assegnate le probabilità indicate.
39
Problemi in condizioni di incertezza con effetti differiti
• Eventi aleatori
• Effetti differiti nel tempo
• Applicazioni: Matematica attuariale
40
ESERCITAZIONE
Risolvere i seguenti quesiti, dopo aver stabilito la loro collocazione nell’ambito della Ricerca
Operativa.
Stabilire inoltre quali sono gli “ oggetti matematici” che intervengono nella risoluzione.
1)Quesito proposto all’interno della terza prova esame di maturità commerciale
Le imposte sono una voce importante tra le entrate nella redazione del bilancio dello Stato. In uno
Stato Z vengono considerati due diversi tipi di imposte sui redditi secondo questi criteri :
tipo A : viene applicata un’imposta progressiva a scaglioni nel seguente modo .
un’aliquota del 10% sui redditi sino a 20 milioni compresi;
un’aliquota del 25% sui redditi sulla parte eccedente i 20 milioni e sino a 60 milioni compresi;
un’aliquota del 35% sui redditi sulla parte eccedente i 60 milioni.
tipo B : viene applicata un’imposta nel seguente modo .
un’aliquota del 5% sui redditi sino a 20 milioni compresi;
per redditi tra 20 e 60 milioni si paga una quota fissa di 2 milioni più un’aliquota del 10%
sull’intero reddito;
per redditi superiori a 60 milioni si paga una quota fissa di 4 milioni più un’aliquota del 20%
sull’intero reddito.
Rappresentare graficamente e confrontare i due tipi di tassazione.
2) Un’azienda per produrre un prodotto sostiene un costo di produzione unitario CU , rivendendo
ad un prezzo fisso p, e ottenendo l’utile G rappresentato in tabella. La quantità prodotta ( e venduta
) x può assumere solo i valori indicati.
X
CU
G
8000
14100
15200.000
10000
14100
20.000.000
12000
14067
23.200.000
15000
14333
25.000.000
17000
20000
14576
15000
24.200.000 20.000.000
41
a)
b)
c)
d)
Quale valore di x corrisponde all’ottimo costo unitario ?
Quale valore di x corrisponde all’ottimo guadagno ?
Determinare il valore di p
Dall’esame della tabella si nota che i due criteri (minimo CU e massimo G ) forniscono
risultati diversi.
Stabilire quale dei due criteri è più sensato applicare se
o la ditta produce per utilizzo interno
o la ditta produce per la vendita esterna
3) Un’industria deve decidere quale fra tre progetti A,B,C deve attuare per produrre tre prodotti
L,M,N. Per decidere si basa sulla probabilità di vendita così stimata : 0.5 per il prodotto L, 0.2 per
il prodotto M, 0.3 per il prodotto N.
Ogni produzione prevede diversi costi e ricavi, a seconda che si attuino i progetti A,B,C. Nella
tabella sono riportati i guadagni previsti.
Determinare quale progetto è il più conveniente.
L
M
N
A
150
90
60
B
40
160
120
C
10
110
190
Probabilità
0.5
0.2
0.3
4) Un’industria produce un bene per il quale sostiene:
- spese fisse u.m. 50.000.00;
- costo della materia prima e lavorazione u.m. 3.000 per ognuno dei pezzi prodotti;
- spese pubblicitarie pari al 20% del quadrato del numero dei pezzi prodotti.
Determinare per quale produzione il costo unitario risulta minimo se la massima capacità produttiva
è di 6500 pezzi.
Determinare per quale produzione il costo unitario risulta minimo se la massima capacità produttiva
è di 4500 pezzi
5) Un istituto scolastico noleggia un pullman e paga u.m. 1500 per ogni km percorso, più una
quota fissa che può essere :
- u.m. 180.000 inclusi i primi 100 km
- u.m. 300.000 inclusi i primi 220 km
Determinare la tariffa più conveniente al variare del numero di km.
42