Geometria descrittiva dinamica
Con questo learning object si vuole studiare e definire la
legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di
appartenenza tra il punto e la retta e la reciproca
relazione di contenenza o inclusione.
L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la
procedura impositiva.
Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di
riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli
grafici che quelli concettuali.
La presentazione si conclude e completa con alcune
esemplificazioni grafiche riferite ai quattro diedri e con la
proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di
elaborati grafici
Per approfondimenti consultare il sito
http://www.webalice.it/eliofragassi
Geometria descrittiva dinamica
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
LA CONDIZIONE DI
APPARTENENZA E BIUNIVOCA
RELAZIONE DI CONTENENZA O
INCLUSIONE
TRA
PUNTO E RETTA
Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 2008/09 da
Longo Ilaria della classe 3°C
del Liceo Artistico Statale “G.Misticoni” di Pescara
per la materia : “Discipline grafico-geometriche”
La revisione delle formalizzazioni è stata
curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci
Il materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (1)
Indagine esplicativa e deduttiva
Prendiamo in esame il punto e la retta
definendone la relativa legge di appartenenza
e/o contenenza come sintetizzata dalla
seguente espressione
P  r  r P
Le due rappresentazioni di fig. 01 e fig.
02 (punto e retta) hanno in comune un
solo elemento: la linea di terra lt – si
ricorda che la lt è costituita dal luogo
geometrico dei punti uniti- per cui è
possibile far traslare la rappresentazione
del punto P sulla rappresentazione della
retta r o viceversa facendo in modo che la
lt del punto P coincida con la lt della retta
r
Poiché dobbiamo stabilire, leggi geometriche valide in ogni caso e situazione, tra
enti diversi, per prima cosa è necessario analizzare e conoscere quali elementi
geometrico-descrittivi prendere in considerazione per la ricerca della specifica
legge
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2)
Indagine esplicativa e deduttiva
In questo caso possiamo prendere in considerazione le proiezioni del punto P(P';
P'') e le proiezioni della retta r(r'; r'') –retta punteggiata- in quanto si
caratterizzano, fisicamente, con le stesse caratteristiche, come si evince dalla
Tabella – A – presente nel video dell’introduzione.
Ricordando l’espressione insiemistico-descrittiva della retta, perché il punto P
appartenga alla retta r - Pr - è necessario accertare che P(P'; P'') sia un punto
di questo insieme e quindi delle relative espressioni delle proiezioni della retta r
 P  W   ! r
 

-
 P | P
 r
Pertanto è necessario verificare la sussistenza delle seguenti formalizzazioni
relative alle proiezioni della retta
r' 
 

-
r=
r'' 
 

-
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
Le formalizzazioni esposte esplicitano il rapporto tra le
proiezioni del punto e le proiezioni della retta chiarendo
che la proiezione r' è formata dalla sommatoria
orientata, dell’insieme di tutte le prime proiezioni del
punto P in movimento definito, così come anche r'' è
formata dalla sommatoria dell’insieme di tutte le
seconde proiezioni del punto P in movimento definito ed
orientato nello spazio del diedro
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (3)
Indagine esplicativa e deduttiva
Passando all’analisi grafica, sovrapponendo le due rappresentazioni, può accadere che si
presenti la situazione di cui alla fig.03, ed alla fig.04, rispettivamente nei diedri I e II
In questi casi accade che P’’ sta su r’’, quindi verifica la sommatoria
Mentre P’ non stando su r’ non verifica la sommatoria
Pertanto si ha:
r' 
r=
 

-
r'' 
 

-
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
r'' 
 

-
r' 
 

-
 P'' | P''  r''
 P' | P'  r'
Data la posizione di P' non può affermarsi che P sia un
punto dell’insieme sommatoria che determina la retta r,
per cui in questo caso P non appartiene alla retta r: Pr e,
reciprocamente, la retta r non contiene il punto P,: r  P
L’espressione sintetica si esplicita come di seguito
P rr P
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (4)
Indagine esplicativa e deduttiva
Traslando ulteriormente il punto P e facendo coincidere, sempre, le due linee di terra può
accadere che si presenti la situazione grafica delle figg. 05 e 06 riferite ai diedri I e II.
In questi casi accade che P’ sta su r’, quindi verifica la sommatoria
r' 
 

-
Mentre P’’ non stando su r’’ non verifica la sommatoria
Pertanto si ha:
r=
r' 
 

-
r'' 
 

-
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
r'' 
 

-
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
Data, la posizione di P'' non può affermarsi che P sia un
punto della sommatoria che determina la retta r, per cui, il
punto P non appartiene alla retta r ossia: Pr e,
reciprocamente la retta r non contiene il punto P, cioè: r P
L’espressione sintetica si esplicita come di seguito
P rr P
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (5)
Indagine esplicativa e deduttiva
Infine, può accadere che continuando a traslare la proiezione del punto sulle proiezioni
della retta, o viceversa, le proiezioni della retta su quelle del punto, si presenti la
situazione grafica della fig.07 e della fig. 08 sempre riferita ai diedri I e II.
In questi casi accade che P’ sta su r’, quindi verifica la sommatoria
r' 
 

-
Ed anche P’’ sta su r’’ verificando completamente la sommatoria
r'' 
 

-
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
Possiamo affermare, quindi, che esiste un legame completo tra le proiezioni del
punto e le proiezioni della retta per cui, in questo caso, il punto P appartiene alla
retta r, cioè Pr e, reciprocamente, la retta r contiene il punto P, cioè: r  P
Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (6)
Indagine esplicativa e deduttiva
In conclusione possiamo definire la seguente legge geometrico-rappresentativa
dell'appartenenza tra punto e retta che, esplicitandola negli elementi geometrico
descrittivi, assume la seguente forma esplicativa e deduttiva.
P’ r’
r' 
dove
P  r
P’’ r’’
 

-
 P' | P'  r'
dove
r 
 

-
dove
r'' 
 

-
 P | P  r
 P'' | P''  r''
La reciproca legge della contenenza si esprime, nella forma esplicativa e deduttiva, come di seguito
r’ P’
r  P
r’’ P’’
r' 
dove
 

-
 P' | r'  P'
dove
dove
r 
r'' 
 

-
 P'' | r''  P''
 

-
 P |r  P
Per la condizione di appartenenza si ha:
Per la reciproca legge di inclusione si ha:
Se le proiezioni di un punto appartengono
alle rispettive omonime proiezioni di una
retta allora, e solo allora, il punto
appartiene alla retta.
Se le proiezioni di una retta contengono le
rispettive omonime proiezioni di un punto
allora, e solo allora la retta contiene il
punto.
Procedura applicativa o impositiva (1)
Se la condizione deve essere imposta è necessario operare in modo tale che si verifichino
le graficizzazioni di cui si è discusso
Pertanto, data una retta r
rappresentata mediante le sue
proiezioni r’ ed r’’, volendo che sia Pr
dovrà costruirsi (quindi imporre) P’r’
e P’’r’’ in quanto è necessario imporre
che le proiezioni del punto siano
elementi geometrici delle seguenti
formalizzazioni
r' 
 

-
r=
r'' 
 

-
Se il dato iniziale, invece, è un punto P
e si vuole che esso appartenga ad una
retta r è necessario imporre,
graficamente, che le proiezioni della
retta passino (cioè contengano e
includano) per le proiezioni del punto.
Così operando il punto sarà elemento
delle formalizzazioni
 P' | P'  r'
 P'' | P''  r''
Poiché per un punto passano infinite rette (fascio di rette nel piano o stella di
rette nello spazio), è chiaro che, infinite saranno le proiezioni delle rette che
passeranno per le proiezioni del punto in relazione al tipo di forma fondamentale
(fascio di rette o stelle di rette)
Procedura applicativa o impositiva (2)
Allora la formalizzazione applicativa assumerà la forma esposta di seguito
P’ r’
P  r
dove
r' 
 

-
r 
dove
P’’r’’
 

-
 P | P  r
r'' 
dove
 P' | P'  r'
 

-
 P'' | P''  r''
la reciproca legge di contenenza o inclusione sarà espressa dalla seguente formalizzazione
r’ P’
r  P
dove
r' 

-
r 
dove
r’’ P’’
 
 

-
r'' 
dove
 P' |r'  P'
 P |r  P
 

-
 P'' | r''  P''
Per la condizione di appartenenza si ha:
Per la reciproca legge di inclusione si ha:
Un punto appartiene ad una retta se, e solo
se, le proiezioni del punto appartengono alle
rispettive omonime proiezioni della retta
Una retta contiene un punto se, e solo se,
le proiezioni della retta contengono le
rispettive proiezioni del punto
Pr
P’r’ e P’’r’’
rP
r’P’ e r’’P’’
Quadro sintetico della condizione di appartenenza e di contenenza o
inclusione tra punto e retta
Retta
Punto
P
r
P”
2a immagine o
1a proiezione
2a proiezione
Definizione fisica
dell’elemento
rappresentativo
P’
1a immagine o
Definizione
geometrica
dell’elemento
rappresentativo
Nomenclatura
elemento
rappresentativo
Didascalia elemento
rappresentativo
Didascalia elemento
Elemento geometrico
Caratteristiche degli elementi geometrici
punto
virtuale
punto
virtuale
T1r
1a
traccia
punto
reale
T2r
2a traccia
punto
reale
retta
virtuale
retta
virtuale
r’
1a immagine o
r”
2a immagine o
1a proiezione
2a proiezione
Appartenenza tra punto e retta
Definizioni grafica e
descrittiva degli elementi
geometrici
Relazione
insiemistica
delle leggi
dell’appartenenza
o della inclusione
APPARTENENZA
P’r’
Pr
P”r”
r'' 
 

-
 P'' | P''  r''
CONTENENZA
O
INCLUSIONE
r’P’’
rP
r' 
 

-
 P' | P'  r'
r” P”
Esemplificazioni grafiche nei quattro diedri
Seguono alcune esemplificazioni grafiche delle condizioni di appartenenza e/o
contenenza nei diversi diedri tra rette e punti di diversa tipologia geometrica e
collocazione grafica nello spazio (Fig.09, Fig.10, Fig.11, Fig.12).
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza
tra punto e retta (1)
risoluzione
T
P”
r’
P”
r’
T 1r

1r
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza
tra punto e retta (2)
risoluzione
T2r
r”
T1r
r’
r’
r”
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza
tra punto e retta (3)
risoluzione
l”
l’
T2g
g”
T1g
g’
T2l
T1l
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza
tra punto e retta (4)
risoluzione
X”
Y”
R”
R’
X’
Y’
S’
S”
Temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici
Dato il punto A(A’=3; A”=5) definire e rappresentare tre rette a, b, c, contenenti il punto
assegnato.
Dati i punti X(X’=-3; X”=3), Y(Y’=2; Y”=5) definire e rappresentare la retta a contenente i due
punti assegnati.
Dati i punti X(X’=2; X”=3), A(A’=-2; A”=4), B(B’=2; B”=-4) definire e rappresentare le rette
contenenti i segmenti .
Sapendo che per due punti non coincidenti passa una ed una sola retta, dati i seguenti punti:
A(A’=1;A”=1), B(B’=-2;B”=2), C(C’=-3;C”=-3), D(D’=4,D”=-4), definire e rappresentare le rette
contenenti, ciascuna, una coppia dei punti assegnati.
Data una retta a( 1+  2+) definire e rappresentare tre punti distinti A, B, C, appartenenti a
questa retta.
Data una retta b( 1+  2+) definire e rappresentare tre punti distinti E, F, G, appartenenti
ad essa.
Data la retta c( T1c=-3; T2c=-4) definire e rappresentare tre punti distinti H, I, L,
appartenenti a questa.
Data la retta d( T1d=3; T2d=) definire e rappresentare tre punti distinti M, N, O,
appartenenti a questa retta.
Definire e rappresentare la retta a contenente i punti AW ID ; BW IID.
Definire e rappresentare la retta s contenente i punti DW IID ; EW IIID.
Definire e rappresentare la retta l contenente i punti GW IIID ; HW IVD.
Definire e rappresentare la retta m contenente i punti LW IVD ; MW ID
Per maggiore completezza ed approfondimento degli
argomenti si può consultare il seguente sito
http://www.webalice.it/eliofragassi