ANALISI DELLE
CARATTERISTICHE DINAMICHE DI
STRUMENTI ELEMENTARI
(parte 2)
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
La Gu(s), L-trasformata della risposta gu(t), può essere scritta come
somma di due termini: Gu(s)=Gul(s)+Guf(s)
m
Gu ( s )  Gul ( s ) 
Gi ( s ) br s r
Guf (D )
r 0
n
a s
r 0
r
r
Se come funzione in ingresso si considera la funzione impulsiva
UNITARIA di DIRAC, la cui L-trasformata vale 1, allora si può definire
la funzione di trasferimento come:
m
T (s) 
Guf ( s )
Gi ( s )

b s
r
a s
r
r 0
n
r 0
r
r
Condizioni iniziali
tutte pari a 0
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidale
Se si considera un strumento soggetto ad ingresso armonico con
andamento sinusoidale, allora si può definire la funzione di trasferimento
sinusoidale, sostituendo s con i, come
m
1)
T (i ) 
Guf (i )
Gi (i )

 br i 
r 0
n
r
 ar i 
r
r 0
Per gli strumenti e, più in generale, i sistemi che si analizzeranno,
si assume n  m
T(i) è una funzione complessa del tipo:
T (i )  Re( i )  i Im( i )
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidale
La funzione di trasferimento sinusoidale può essere posta nella forma:
T (i )  M ( )e[i ( )]
Dove:
M ()  T (i)  [Re( i)]2  [Im( i)]2
 ( )  arctg
Im(  )
Re( )
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
Il diagramma di Bode è quello comunemente più usato e nella forma che
vede le ascisse rappresentate come log(), le ordinate come 20 log|M|.
I logaritmi sono in base dieci pertanto nelle ascisse si avranno decadi in
ordinata Decibel [dB]
La funzione di trasferimento (si veda eq. 1), ricavate le radici a numeratore
e a denominatore, può essere sempre fattorializzata nella forma:
 i 

i
  2 k
(i )
(1  i k )  
 1

nk 
k 1
k 1   nk 


T (i )  K

'
k
2
s'
t' 

(  k ')
 i 
i



(
1

i

'
)

2

'
 1


k
k
 ' 
 'nk 
k 1
k 1 
 nk 

(  ')
s
( k )
t
2
k
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
I termini che compaiono nella precedente relazione hanno il seguente
significato:
K
b0
a0
Sensibilità statica
(i ) (  ')
(1  i k )
( k )
Radici con molteplicità  e ’, rispettivamente per NUM. E DENOM.
(1  i 'k )
 i 

i
  2 k

 1
nk 
 nk 

2
( k ')
k
 i 

i
  2 'k

 1
 'nk 
  'nk 

2
Radici con molteplicità k e ’k rispettivamente per NUM. e
DENOM. 
 'k
Coppie di radici complesse coniugate con molteplicità k e ’k
rispettivamente per NUM. E DENOM.
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
In generale, quindi, la funzione di trasferimento può essere sempre
rappresentata come:
T (i)  T1 (i)  T2 (i)  ......Tz (i)
Dove z = s + t + s’ + t’ +  - ’ :
Il modulo della funzione di trasferimento sarà:
T (i)  M ()  T1 (i)  T2 (i)  ......  Tz (i)
Introducendo la relazione in dB:
20 log M ()  20log T1 (i)  log T2 (i)  ......  log Tz (i) 
Il modulo della funzione di trasferimento si traccerà sul diagramma
di Bode e sarà ottenuto come somma di ciascun contributo
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
Come si rappresentano i contributi di ciascun termine?
K
b0
a0
Sensibilità statica
Contributo nullo alla fase
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
(i ) (  ')
Il modulo nel diagramma logaritmico è una retta che passa per l’origine,
inclinata di ( - ’)*20 [dB]/decade. L’eq. Di tale retta è:
M ( )  (   ' )20 log(  )
Fase: retta parallela alle ascisse con eq:
  (   ' )

2
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
Termini del tipo
(1  i k )
( k )
Modulo:
Il diagramma asintotico del modulo è costituito da due rette, che si
intersecano nel p.to di rottura log(1/) e che si ottengono dalla relazione
20 log M   20 log 1  ( ) 2
per
 k  1
 rappresenta la molteplicità
20 log M   [20 log(  )  20 log(  )]
+3 dB
per  k  1
20 log M  0
-3 dB
Diagramma asintotico del modulo per >0 e <0
Il modulo in corrispondenza dei p.ti di rottura, passa per
+3 dB e -3 dB
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
Termini del tipo
(1  i k )
( k )
FASE
si hanno due asintoti, uno che coincide con l’asse delle ascisse
ed uno con ordinata pari a


2
Diagramma asintotico della fase per >0 e <0
 rappresenta la molteplicità
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
Termini del tipo
 i  2

i
  2 k

 1
nk 
 nk 

k
Modulo
per ogni termine a numeratore o a denominatore si hanno due asintoti, uno che
coincide con l’asse delle ascisse ed l’altro (con segno + o -, rispetticamente per
numeratore e denominatore) che si ottiengono da:
2 2
2







 
    2 k

20 log M   20 Log  1  
   nk   
nk  




per
 0
per
  
1
2
20 log M  0
20 log M   40[log(  )  log( n )]
 rappresenta la molteplicità
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
Termini del tipo
 i  2

i
  2 k

 1
nk 
 nk 

k
Diagramma asintotico del modulo
20Log(M)
Pendenza
40 [dB/decade]
per  = +1
40 [dB]
Log(n)
p.to di rottura
Log(10n)
Log(n)
p.to di rottura
Log(10n)
Log()
20Log(M)
-40 [dB]
Log()
Pendenza
- 40 [dB/decade]
per  = -1
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
Termini del tipo
 i  2

i
  2 k

 1
nk 
 nk 

Diagramma asintotico della fase


k



 2

n 

  arctg 
2



1    
  n  
=  per  = +1

2
Log(10n)
Log(n)
p.to di rottura
Log()

Log(n)
p.to di rottura
-
2
-
Log(10n)
Log()
= - per  = -1
Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nel
diagramma di Bode
Termini del tipo
 i  2

i
  2 k

 1
nk 
 nk 

k
Per  =0.6-0.7,il diagramma asintotico della fase
può essere tracciato analogamente ai termini (1+i)





 2




n
  arctg 
2
1     
  n  
=  per  = +1

2
Log(0.1n)
Log(n)
p.to di rottura
Log(10n)
Log(n)
p.to di rottura
Log(10n)
Log()

Log(0.1n)
-
2
-
Log()
= - per  = -1
ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di
una funzione di trasferimento
i (108  1011i )
T (i ) 
(10  i )   2  104 i  106


Si raccolgono i termini conformemente a quelli noti:
 i 

i
  2 k

 1
nk 
 nk 

2
b
K 0
a0
(i )
(1  i k )

108 i (1  103 i )
10i (1  103 i )
T (i ) 

2

 i  2

i
6 
10(1  i 0.1)10  6  2  1 (1  i 0.1)  3   2 i3  1
10
10
 10


 10 

ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di
una funzione di trasferimento
10i (1  103 i )
T (i ) 
 i  2

i
(1  i 0.1)  3   2 3  1
10

 10 
Si calcolano i valori noti e i punti di rottura per ciascun termine:
I°:
K  10
20 log( K )  20[dB ]
P.ti di rottura
II°: (1  103 i )
  103
log
III°: (1  0.1i )
  0.1
log
 i  2

i
IV°: 

2


1

3 
103 
 10 
n  1000
1

1

 3
1
log n  3
Diagramma asintotico del modulo e della fase tracciati in classe