La successione di
Fibonacci
Definizione
Esistono alcune successioni in cui il termine an è calcolabile per mezzo dei termini
precedenti a1, … , an-1; queste sono dette successioni definite per ricorrenza.
Tra queste la successione di Fibonacci la cui definizione matematica è:
Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1
In pratica si tratta di una successione di numeri in cui un numero è il risultato della somma dei
due precedenti.
Proponiamo di seguito i primi numeri della successione
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,
4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811,
514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465,
14930352, 24157817, 39088169
Biografia
Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci, nacque a Pisa intorno al 1170.
Suo padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 1192
del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 1192,
Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia, più tardi chiamata Bougie,
e ora chiamata Bejaia. Bejaia è un porto sul Mediterraneo, nella parte nord-est dell'Algeria.
La città giace alla foce del Wadi Soummam, vicino al Monte Gouraya e Capo Carbon.
A Bugia, Fibonacci imparò la matematica e viaggiò moltissimo con suo padre,
riconoscendo gli enormi vantaggi dei sistemi matematici usati nei paesi che visitarono.
Il padre appunto, voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo,
specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche,
che non erano ancora state introdotte in Europa.
In seguito Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto,
Siria, Grecia, Sicilia e Provenza.
Leonardo colse l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste regioni
L' origine della successione di
FIBONACCI
L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che
descrivesse la crescita di una popolazione di conigli.
Assumendo che: la prima coppia diventi fertile al
compimento del primo mese e dia alla luce una nuova
coppia al compimento del secondo mese; le nuove coppie
nate si comportino in modo analogo; le coppie fertili, dal
secondo mese di vita, diano alla luce una coppia di figli al
mese; avremo che se partiamo con una singola coppia
dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, e dopo due
mesi due coppie di cui una sola fertile, nel mese seguente
avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha
partorito, di queste tre ora saranno due le coppie fertili
quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie, in
questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese
descrive la successione dei numeri di Fibonacci.
Lo schema base sulla crescita della
popolazione dei conigli
Fibonacci e il rapporto aureo
il rapporto Fn / Fn-1, ossia tra un termine e il suo precedente, al tendere di n all'infinito tende al
numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea
Relazioni con il triangolo di Tartaglia
Consideriamo una proprietà interessante del
triangolo di tartaglia di cui ricordiamo la struttura
Se si considerano le diagonali che da sinistra
salgono verso destra nel triangolo di Tartaglia, e
se si sommano i numeri intercettati da tali
diagonali, si individuano i numeri di Fibonacci.
Un interessante proprietà della successione di Fibonacci
Il prodotto di due numeri di Fibonacci separati da una posizione è pari al quadrato del numero di
Fibonacci che si trova in mezzo ad essi diminuito o aumentato di un’unità:
F(n−1)F(n+1) = (Fn)2 + (−1)n
Tale proprietà è nota come Identità di Cassini, scoperta nel 1680 da Jean-Dominique Cassini.
ESEMPIO:
il quadrato del 5° numero di Fibonacci è 25, che differisce di +1 dal prodotto del 4° e del 6°
numero che è 3*8=24
Un paradosso che deriva da questa proprietà è:
prendiamo un quadrato di lato 8 = F6 (o piu ́ in generale di lato Fn) e suddividiamolo in due
triangoli rettangoli e in due trapezi rettangoli come indicato in figura (1.1).I due triangoli rettangoli
hanno cateti di lunghezza 8 e 3 = F4 (di lunghezza Fn e Fn−2) mentre i due trapezi rettangoli
hanno altezza 5 = F5 (cio è Fn−1) e basi di lunghezza 3 e 5. Sistemiamo ora i triangoli e i trapezi,
accostandoli senza sovrapporli, in modo da ottenere un rettangolo di lato minore 5 e lato
maggiore 13. L’area di ciascun triangolo e trapezio non ́e cambiata, per cui il quadrato e il
rettangolo dovrebbero avere le stessa area, invece vale 82 = 64 (Fn)2 per il quadrato e 13 · 5 = 65
(Fn−1*Fn+1) per il rettangolo!
La soluzione del paradosso consiste nel fatto che il trapezio e il triangolo rettangolo non sono disposti lungo la
diagonale del rettangolo. In realtà fra i due triangoli rettangoli che formano il rettangolo c’è uno spazio vuoto
che è proprio l’unità mancante nell’area del quadrato.
Fibonacci oltre la matematica
Le falangi sono divisibili nella stessa unità di lunghezza (commensurabili)
in particolare questa unità è contenuta n volte nelle falangi
dove n è un numero di fibonacci
Fibonacci e i frattali
Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo
stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche
se visto con una lente d'ingrandimento.
Riportiamo di seguito alcuni esempi di frattali
In natura molte cose sono strutturate in base ai numeri di Fibonacci: basta guardare con
attenzione questo cavolo romanesco (Brassica Oleracea L. CV Brotytis Cimosa). I piccoli
bitorzoli che costituiscono una delle sue protuberanze sono disposti secondo linee a
spirale: alcune mostrano una rotazione in senso orario, altre in senso antiorario. Ho
disegnato le spirali in senso orario in rosso, le altre in nero. Contandole, si scopre che le
linee rosse sono 8, quelle nere 13: proprio due numeri consecutivi della successione di
Fibonacci!
Fibonacci e la musica
Sono stati molti i compositori che, nei secoli, hanno utilizzato la successione di Fibonacci nelle
loro composizioni; dai compositori a cavallo tra il IX e il XX secolo fino a gruppi rock.
Béla Bartók (1881-1945) in alcune delle sue maggiori composizioni (come la Musica per Archi,
Percussioni e Celesta) e Claude Debussy (1862-1918), il quale era particolarmente attratto dalla
successione di Fibonacci e usata, tra gli altri, nella composizione dei brani La Mer (1905) e
Cathédrale Engloutie.
Un esempio nella musica rock è il brano Firth of Fifth dei Genesis, è tutto basato su numeri aurei: ad
esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc.
FINE