Maria Cristina Martin
RICERCA AMERICANA:
Ignoranza matematica
incide
sul PIL
per l’1%
Ma che significa
IGNORANZA
in matematica?
O meglio:
Che significa
COMPETENZA
in matematica?
La Matematica è un prodotto culturale
non è un oggetto statico fuori dal tempo
ha una storia ed è in continua evoluzione.
È un prodotto sociale
PERCHÉ LA MATEMATICA
È UNA DISCIPLINA DELLA SCUOLA?
no motivazioni funzionali del passato
leggere, scrivere e far di conto
Oggi motivazioni di “linguaggio”:
- l’utilità dei suoi processi di pensiero anche per altri campi di
studio
- lo sviluppo del pensiero logico, intrinseco alla matematica per
imparare a pensare, a ragionare, ad essere coerenti…
INFOCOMPETENZE
la strutturazione di competenze matematiche consente
di leggere, valutare, selezionare e trattare
le informazioni che oggi sono disponibili in grande
quantità.
Questo può aiutare ad esercitare la propria cittadinanza
attraverso decisioni motivate,
evitando forme di acriticità inconsapevole.
Ogni azione didattica è permeata e guidata
dai valori e dalle convinzioni degli insegnanti,
rappresentanti più o meno consapevoli
delle proprie appartenenze.
Qualsiasi attività proposta non è asettica
e va molto oltre il contenuto esplicito.
Nel percorso di apprendimento di matematica della scuola primaria
è inevitabile che si «imparino» le divisioni.
Ma come è impostato il percorso, le parole scelte dall’insegnante,
le modalità attraverso le quali si propongono
scoperte o regole da memorizzare,
l’interazione con gli altri alunni,
l’incidenza voluta, ignorata o negata degli apprendimenti precedenti,
rendono l’apprendimento di ciascuno molto diverso,
anche per bambini che fanno riferimento
alla stessa offerta formativa.
I bambini impareranno tutti – si spera! – ad eseguire le divisioni,
ma alcuni avranno l’idea che acquisire questa competenza aritmetica significhi
APPLICARE REGOLE determinate da altri, essere passivi, eseguire ordini con perizia.
Altri penseranno che non si apprende se non coinvolgendosi in prima persona,
SPERIMENTANDO ATTIVAMENTE per scoprire regole,
confrontandosi con gli altri per avere preziose informazioni
e si convinceranno che quello che stanno apprendendo non è definitivo,
ma passibile di modifiche in base a nuove informazioni
che porteranno a riformulare la mappa concettuale.
Altri ancora avranno l’idea confusa che stanno imparando a «fare le divisioni»
perché COSÌ SI FA E SI È SEMPRE FATTO, secondo la forza della tradizione
che si riproduce senza una motivazione esplicita.
In un contenitore apparentemente uguale per tutti,
l’idea di mondo, di bambino e di scuola
di ciascun insegnante diventa il filtro
che rende ogni apprendimento unico,
mescolando in ogni caso
gli aspetti didattici con quelli politici,
in particolare per quegli insegnanti
che negano
il VALORE POLITICO
DI OGNI ATTO EDUCATIVO.
Insegnanti tradizionali
VS
Insegnanti moderni
giusto/sbagliato vecchio
sostituito da
giusto/sbagliato nuovo
RACCONTO DEL MONDO ≠ MONDO
PENSIERO RIFLETTENTE
VS
PENSIERO RIFLESSIVO
LA DIDATTICA
sapere saputo DELL’insegnante
sapere insegnato DALL’insegnante
sapere competente dell’apprendente
CURRICOLO PROGETTATO
CURRICOLO REALE
Abilità
Indicano le capacità di applicare conoscenze per portare a termine
compiti e risolvere problemi.
Nel contesto del Quadro europeo delle qualifiche le abilità sono
descritte come:
 abilità cognitive (comprendenti l’uso del pensiero logico,
intuitivo e creativo)
 abilità pratiche (comprendenti l’abilità manuale e l’uso di
metodi, materiali, strumenti)
Competenza
Comprovata capacità di utilizzare conoscenze, abilità e capacità
personali, sociali e/o metodologiche, in situazioni di lavoro o di
studio e nello sviluppo professionale e personale.
Nel contesto del Quadro europeo delle qualifiche le competenze
sono descritte in termini di:
 responsabilità
 autonomia
PERRENOUD
l’approccio per competenze richiede lo sviluppo di schemi logici
di mobilitazione delle conoscenze.
…non l’assimilazione di conoscenze
ma la pratica
La costruzione di competenze
richiede una piccola “rivoluzione culturale”
da una logica dell’insegnamento
ad una logica dell’allenamento
Competenze chiave
Sono le 8 competenze raccomandate dal Parlamento Europeo nel 2006.
1. Comunicazione nella madrelingua;
2. Comunicazione nelle lingue straniere;
3. Competenza matematica e competenze di base in scienza e
tecnologia;
4. Competenza digitale;
5. Imparare a imparare;
6. Competenze sociali e civiche;
7. Spirito di iniziativa e imprenditorialità;
8. Consapevolezza ed espressione culturale
Conoscenze
Sono il risultato dell’assimilazione di informazioni attraverso l’apprendimento.
Le conoscenze sono un insieme di fatti, principi, teorie e pratiche relative ad un
settore di lavoro o di studio. Nel Quadro europeo delle qualifiche le conoscenze
sono descritte come:
 conoscenze teoriche
 conoscenze pratiche
Curricolo
Il curricolo è l’insieme di esperienze di
apprendimento, intenzionalmente organizzate e
concretamente attuate nelle singole istituzioni
scolastiche, al fine di raggiungere gli obiettivi e le
finalità prefissate con i piani di studio presenti che
pongono in relazione gli ordinamenti nazionali e
contesto in cui opera la scuola attraverso
l’autonomia locale
Disciplina
La disciplina è un campo di conoscenza avente concetti dati e
termini propri. A scuola si è sempre parlato di materie per
indicare l’organizzazione dei contenuti selezionati all’interno di
un sapere, ossia nozioni trasmesse dall’insegnante con il
supporto dei libri di testo.
La disciplina di studio mette in evidenza invece l’attività del
soggetto che apprende, il modo in cui progressivamente
acquisisce i punti di vista, le modalità di indagine e gli specifici
linguaggi dei diversi campi del sapere.
DISAMBIGUARE…
la matematica è un insieme di strutture?
un insieme di fatti e strumenti?
un corpo unificato e statico di conoscenze?
una disciplina in continuo mutamento?
la scienza dei numeri e delle figure?
aspetti algoritmici, linguistici, estetici?
CONCETTI
contenuto semantico
SEGNI
significanti
SIMBOLI
segni grafici usati per
valori o grandezze
semantica
sintassi
ortografia
significante e significato
struttura
scrittura corretta
GLI ERRORI CHE ORIGINE HANNO?
aspetto semantico
sintattico
ortografico
SU QUALE ASPETTI DEL LINGUAGGIO LAVORIAMO QUANDO…
facciamo fare tanti esercizi sulle operazioni
chiediamo di disporre le operazioni sul foglio a 3 quadretti di distanza tra loro
definiamo concetti utilizzando i colori per evidenziare le parole chiave
lavoriamo con i modelli (solo uno o molteplici)
usiamo le rappresentazioni insiemistiche per i numeri
facciamo le equivalenze
calcoliamo perimetri ed aree
Inno all’irregolarità
Vantaggi e svantaggi di modelli e strumenti
Molteplicità di esempi del concetto
Ruolo fondamentale del controesempio
L’errore è costitutivo della conoscenza acquisita
Brousseau
E mormoriamo alla vita intellettuale nel suo insieme:
errore tu non sei un male
Bachelard
Collis, A, Brown, J.S, Newman, S.E
1) l’apprendista osserva la competenza esperta al lavoro e poi la imita (modeling)
2) il maestro assiste il principiante , ne agevola il lavoro, interviene secondo le necessità, dirige
l’attenzione su un aspetto, fornisce feedback (coaching)
3) il maestro fornisce un sostegno in termini di stimoli e di risorse, reimposta il lavoro
(scaffolding)
4) il maestro diminuisce progressivamente il supporto fornito per lasciare via via maggiore
autonomia e un crescente spazio di responsabilità a chi apprende (exploration)
Nell’apprendistato cognitivo a queste strategie di base
se ne affiancano altre che danno maggior rilievo
ai processi cognitivi e alle strategie metacognitive:
-
si incoraggiano gli studenti a verbalizzare (pensare a voce alta) - come ha fatto
precedentemente il docente come modello - mentre realizzano l’esperienza;
li si induce a confrontare i propri problemi con quelli di un esperto, facendo così emergere le
conoscenze tacite (facilitazione procedurale)
li si spinge ad esplorare, porre e risolvere i problemi in forma nuova.
Nell’apprendistato cognitivo la classe è una comunità che apprende.
Rizzolatti e Gallese
sono le basi neurofisiologiche della intersoggettività.
I circuiti neuronali attivati nel soggetto che esegue azioni, esprime emozioni e prova
sensazioni vengono automaticamente attivati anche nel soggetto che osserva queste
azioni, emozioni e sensazioni. Questa attivazione condivisa suggerisce un meccanismo
funzionale di simulazione incarnata che costituisce la base biologica per la
comprensione della mente altrui.
Confermano scientificamente la modalità interattiva dell’apprendimento
sottolineata da Vygotskij.
PRECISIONE
CONCISIONE
UNIVERSALITÀ
conflittualità tra precisione e concisione
MATEMATICA
ha un codice semiologico proprio (scrittura simbolica con segni artificiali);
ha gruppi nominali complessi (nomi con aggettivi o complementi);
ha povertà di verbi e ricchezza di nominalizzazioni.
Il codice semiologico è impiantato su un criterio di economia del discorso,
quindi principalmente sulla concisione.
TERMINOLOGIA
MATEMATICA
INTUIZIONE
LINGUAGGIO
NATURALE
CONFLITTO
SITUAZIONI
MATEMATIZZABILI
ORGANIZZAZIONE
AUTONOMA DEL
LINGUAGGIO
RIPETIZIONE
PAROLE DELLE
INSEGNANTI
M. Fishbein
Ogni volta che necessitiamo di utilizzare certi
concetti, facciamo riferimento al modello primitivo,
alla prima volta in cui lo abbiamo incontrato.
A scuola, quindi, il “primo incontro” può aprire
portoni o chiudere porte
PRESENTARE I
CONCETTI
MATEMATICI
ATTRAVERSO
DEFINIZIONI
dare un solo esempio per
iniziare il rapporto con un
concetto
APPRENDERE I
SIGNIFICATI DELLE
PAROLE CONSISTE
NELL’USARLE IN
“SITUAZIONE”
più esempi possibili di
“individui” ai quali quel
nome comune si adatta
IL VOCABOLARIO TECNICO UTILIZZATO
PUO’ COSTRUIRE DELLE IDEE MATEMATICHE
SUFFICIENTEMENTE RICCHE
NO ALL’IDEA INTUITIVA E BASTA
“altezza”
(che quasi tutti gli allievi confondono con un segmento
parallelo ai lati destro e sinistro del foglio)
“perpendicolare”
( che gli alunni confondono con “verticale”)
“trapezio”
molti insegnanti lo introducono come quadrilatero costruito
tagliando un triangolo con un segmento parallelo alla base.
Questo crea un forte ostacolo quando si presenta il parallelogramma
come un caso specifico di trapezio.
ESTENSIONE DEL CONCETTO
CONFUSIONE TRA LE NOZIONI FISICHE E QUELLE MATEMATICHE
La cosa migliore per incentivare un corretto uso del linguaggio matematico
è usare i termini tecnici in modo preciso,
limitando il più possibile il loro numero,
introducendoli con un grande numero di esempi e modelli
e mettendo in discussione gli stereotipi dei bambini
con opportuni modelli che fanno cadere il concetto errato e le errate generalizzazioni.
Per far ciò occorre una comunicazione molto intensa nelle ore di matematica,
piuttosto che tanti esercizi.
Quando il bambino nella sequenza numerica verbale dice
1, 2, 3, 4, 5, 7, 9…
ha contato?
Se il contare prevede
un numero da cui partire,
un successivo,
un nome per ogni numero,
la sequenza considerata è “contare”, perché il bambino ha capito che
la successione è senza limiti, anche se non lo dice.
L’unico problema è sul nome del numero,
ma ha dimostrato di possedere 2 elementi su 3 del contare!
1. SAPRESTI DIRE COS’È UN NUMERO?
2. FAI QUALCHE ESEMPIO DI NUMERO
3. A COSA SERVE IL NUMERO?
4. 68 è UN NUMERO?
5. 3,7 è UN NUMERO?
6. ¾ è UN NUMERO?
7. √9 è UN NUMERO?
8. √7 è UN NUMERO?
NUMERO
È UN ELEMENTO DI UN INSIEME NUMERICO
Numero matematica
numeri-di uso particolare del numero
(decimali)
LINGUAGGIO NUMERALE
LINGUAGGIO NUMERICO
35 è un numero
35 ha 2 cifre
numero
scrittura decimale
“Qual è il numero più grande che si può scrivere servendosi tre volte della stessa cifra?”
(99)
999
Fattoriali: 9!= 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
(9!)(9!)
(9!)
SIMBOLISMO ARITMETICO
stenografia
/+/
non è più matematico di
“più”
Il simbolo è scrittura rapida che riassume un concetto matematico
SEGNI NUMERICI
simboli che composti insieme danno i numeri (le cifre)
SEGNI ORGANIZZATIVI
simboli che coordinano fra loro i numeri
OPERATIVI: +, x, -, :,…
RELAZIONALI: =, <, >…
L’acquisizione di un simbolo non significa per un bambino
l’acquisizione del concetto corrispondente
PRIMA IL CONCETTO, QUANDO SERVE IL SIMBOLO
MAGGIORE O MINORE
4
6
5
7
0 e altri 7
4 e altre 2
5
0
GRADUALITÀ DELLO SVILUPPO
DI RAGIONAMENTI CORRETTI
gli apprendenti devono essere condotti
a organizzare autonomamente il linguaggio,
non a ripetere quello che hanno sentito dall’insegnante.
Le espressioni linguistiche o le sistemazioni “adulte”
non conducono gli alunni
a formare un linguaggio adatto a rappresentare idee e concetti,
creano invece continui inciampi
nella costruzione dei concetti successivi.
Un corretto uso del linguaggio matematico può rendere
possibile
l’uso dei termini tecnici in modo preciso,
limitando il più possibile il loro numero,
introducendoli con un grande numero di esempi e modelli
mettendo in discussione gli stereotipi dei bambini
con opportuni modelli che fanno cadere il concetto errato e
le errate generalizzazioni.
Per far ciò occorre una
COMUNICAZIONE molto intensa
nelle ore di matematica,
piuttosto che tanti
ESERCIZI.
UNA TRADIZIONE
DURA A MORIRE
LA MATEMATICA È
LA DISCIPLINA DELLA
LIBERTÀ
E DELLA
COERENZA
TRIANGOLI
Scaleni
Equilateri
Isosceli
Scaleni
Isosceli
Equilateri
QUADRILATERI
Parallelogrammi
Rettangoli
Trapezi
Rombi
Quadrati
I NUMERI PRIMI E COMPOSTI
Un numero si dice PRIMO
quando è maggiore di 1 ed ha solo due divisori (se stesso e 1)
Un numero si dice COMPOSTO
se è maggiore di 1 e non primo
il numero 1 è primo?
NON
PRIMI
PRIMI
COMPOSTI
0,1
PRIMI
PERCHÉ NO AL NUMERO 1 FRA I PRIMI?
perché non obbedisce alla legge del 2:
negli schieramenti i numeri primi costituiscono solo una riga o una
colonna
nella tabella della moltiplicazione compaiono solo 2 volte
sono multipli solo di due numeri
A COSA SERVONO?
Se ogni numero > di 1 è primo o scomponibile in un prodotto di fattori
primi,
i numeri primi sono i mattoni con cui si costruiscono
tutti i numeri col cemento che è la moltiplicazione.
(I numeri hanno due anatomie: additiva e moltiplicativa)
QUANTI SONO?
Infiniti
COME SONO DISTRIBUITI?
Secondo “l’ordine che viene dal caos”
NELLO SPECIFICO DELLA GEOMETRIA…
Sembra utile la distinzione tra abilità relative
alla MODELLIZZAZIONE e alla DESCRIZIONE verbale delle figure geometriche.
In questo modo risultano basilari la PERCEZIONE e
la RAPPRESENTAZIONE delle proprietà spaziali,
rispetto alle quali invece la routine didattica attuale è curvata,
come da tradizione, sull’applicazione di formule per risolvere problemi,
privilegiando gli aspetti sintattici e ortografici del linguaggio anziché quelli semantici.
Perché un curricolo verticale?
Etica della cura e della responsabilità
Co-responsabilità educativa
Non scaricare sull’ordine precedente le difficoltà di apprendimento
dei singoli
La mancata conoscenza diventa pregiudizio
Conoscere per non essere soli, ma uniti,
ciascuno nella sua specificità
Vedere nelle lacune degli apprendenti
non una assenza di lavoro degli insegnanti precedenti,
ma un punto di partenza, qualsiasi esso sia
Avendo a disposizione sei fiammiferi, senza piegarli o spezzarli,
provate a formare quattro triangoli equilateri
Disegnate quattro linee rette che tocchino i
nove punti, senza ripassarci sopra e
senza staccare la penna dal foglio
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Se spendo 90 centesimi per 0,75 hg di cacao,
quanto spendo per 1 hg?
Se spendo 174 centesimi per 0,58 hg di orzo,
quanto spendo per 1 hg?
1,74:0.58= 3
1. Le prime emozioni, positive o negative, sono associate all’insegnante
(convinzione delle proposte, piacere e gusto per la disciplina…), alla
curiosità per l’argomento, al contesto sociale della classe;
1. il bambino si costruisce le convinzioni su andar bene/andar male in
matematica se percepisce il proprio fallimento di fronte alle conoscenze,
con ricaduta sull’immagine di sé, per cui l’aspetto fallimentare diventa
irreversibile;
1. l’interpretazione fallimentare dell’esperienza matematica è associata al
senso di inadeguatezza, alla confusione, alla mancanza di
conseguenzialità esplicita nel percorso didattico ed alla percezione di
incontrollabilità dei concetti matematici;
1. l’errore è la principale fonte di inadeguatezza; il tempo (troppo veloce e
poco agevole) è la principale fonte di confusione, incontrollabilità;
1. queste emozioni generano comportamenti di rinuncia al controllo dei
propri processi di pensiero, rinuncia a pensare, risposte a caso
COME INTERVENIRE?
Presentare la matematica come
disciplina controllabile, stimolante, dinamica
Incoraggiare l’alunno,
giudicando la prestazione e non la persona,
sdrammatizzando l’errore e ri-orientandolo.
… CONCRETAMENTE
• Privilegiare i processi (da comprendere) piuttosto che i prodotti
(tanti e diversi da memorizzare)
• Dare tempo, dirigendo l’impegno ed individuando obiettivi realistici
• Riconoscere i piccoli progressi
• Non far uso della didattica implicita,
ma dominare il più possibile l’estensione del concetto prima di affrontarlo
• Individuare tutti gli elementi di un concetto e lavorare su di loro separatamente
prima di lavorare sul concetto completo
(per gli alunni sarà più facile capire e partecipare)
• Aver chiari i nodi concettuali dei percorsi didattici ed i possibili legami
• Non affrontare un argomento se non si è più che convinti di dominarlo correttamente
• Fare attenzione alle domande degli alunni che ci mettono in crisi
(non bloccarle per dimostrare di non essere stati colti impreparati,
ma utilizzarle per sviluppare la propria conoscenza prima ed il percorso didattico poi).