Lezione 7
formalismo di Dirac

k 
i
 i
 m  0
k
t
x
i    m  0

0
i  0


 i  k k  m   0
t
x
i      m 
correnti
 0
 k 
i
   i k    m   0
t
x
i     m 
+
=
i      i     0




      0
corrente

j   

 j  0

conservazione della
corrente



j   
correnti

la
corrente
si
conserva

 j  0
j

elettrica

 e  
Corrente e Densità di Probabilità
• l’equazione di KG ammette soluzioni ad energia negativa
e densità di probabilità negativa
• l’equazione di Dirac ammette soluzioni ad energia
negativa, ma la densità di probabilità è positiva
• un esempio è una particella libera  di momento p.
• vedremo che si arriva all’equazione che lega densità di
probabilità e corrente in questo caso, con delle semplici
manipolazioni dell’equazione di Dirac
• vedremo anche che è ragionevole interpretare una
particella libera come una corrente
equazione di Dirac
i
particella libera di
momento p.
l’equazione
di Dirac
diventa
Hermitiana
coniugata


  m   0
 . p  m  0
 . p    p
 opera su un’onda
piana di momento p..
  . p  m  0
  ..ppm
m  0
esempio: è ragionevole
interpretre una particella
libera come una corrente
  0
  . p  m
m 


sommiamo
queste due
equazioni
     p    p   2m  
          p  2m  
          2 g 
densità di
probabilità
Usando le regole di
anticommutazione
 p  m  
p


  
m
corrente


p  m  0
p


  
m
contrariamente a quanto accadeva
con l’equazione di KG , l’equazione di
Dirac ammette solo corrente e
densità di probabilità positive
 0 1


0 

1 0 


0  
 1 0
i



5
i 





 i 0 
 0  1




Equazione di Dirac


soluzioni per particelle libere
 
   R 
 L 

p  m   0
spinori a 2
componenti
rappresentazione specifica delle :ridefinizione
che scritta
esplicitamente diventa
Separando le variabili
 
 m R   p0    p  L  0
 p0    p  R  m L  0
  m p0    p 

 R 

   0
 
 p0    p  m  L 


 
 p0    p 
R 
 L
m


 
 p0    p 
L 
 R
m


La separazione tra fermioni destrorsi e sinistrorsi è un punto
tecnico molto importante nel Modello Standard
 
p


p
 0
R 
 L
m


 
 p0    p 
L 
 R
m


elicità
m=0,
fermioni
relativisici
massa
nulla
 
 p0    p  L  0
 p0    p  R  0
le due equazioni si separano

 p 
      pˆ
p


 p
  pˆ   
p0
L soluzione a enegia positiva sinistrorsa
R
soluzione a enegia positiva destrorsa
cosa si impara?
• esistono soluzioni per p0
• possono essere intercambiate con
L  - R
• m=0, le due equazioni si separano; le
particelle sono destrorse (R) o sinistrorse
(L)
• elicità misura la componente di spin lungo
la direzione del moto della particella.
• L  left-handed positive energy solution.
• R  right-handed positive energy solution.
• Se uno stato left-handed ha p0>0, allora
•
L >> R
m≠0, le due soluzioni non si separano.
(troveremo nella lagrangiana un termine di
massa  interazione L R)
 
 p0    p 
R 
 L
m


 
p


p
 0
L 
 R
m




 p
  pˆ   
p0
possiamo scrivere una soluzione
dell’equazione di Dirac nella forma
separiamo la dipendenza da
spazio e tempo
u soddisfa la stessa equazione
nello spazio dei momenti che
abbiamo scritto, dato che
implicitamente si era assunto che
si lavorava con autovalori
dell’energia
notare che ha le
dimensioni di una
massa, o di una
energia, nelle unità
naturali

u u, u  u
  ue
 
i  p x  p0t 
in genere si usa  per una
soluzione generale ed u quando
si vuole fattorizzare il tempo
dobbiamo normalizzare; la
scelta convenzionale per la
normalizzazione è:
u u  2m
un fattore di questo tipo deve essere espresso in
termini delle masse ed energie disponibili
Particelle e antiparticelle
• Tratteremo le
antiparticelle come se
fossero particelle
• arrivano in coppia: se c’è
una particella c’è anche
la sua antiparticella
• se sono fermioni sono
descritte dalla soluzione
dell’equazione di Dirac
• i “vertici” hanno la forma

  ,

u u
Gli operatori PARITA’
 uR 
 
 uL 
u soluzione della equazione di
Dirac
scegliamo una
 1 0


rappresentazion
5
 

e delle matrici 
 0  1
in cui


è sempre utile
separare la parte
alta e bassa della
funzione d’onda.
Definiamo gli operatori
per esempio
1 
1 10  1 0 
PL 
   

2
2  01  0  1 


5
1   5  00 
PL 
  
2
 01 
10 U R  U R 
PRu  u R       
 00 U L   0 
 00 U R   0 
PLu  u L       
 01 U L  U L 
Sono
operatori di
proiezione
1   5 10 
PR 
  
2
 00 
PL2  PL
PR2  PR
PL  PR  1
PL PR  0
fermioni destrorsi e sinistrorsi
L’elicità di un fermione massivo può
essere cambiata da una
trasformazione di Lorentz,perchè si
può andare nel sistema a riposo e
ruotare. Quindi l’elicità non è un
numero quantico
La natura però, ed il modello standard
trattano fermioni destrorsi e
sinistrorsi in modo diverso e la
connessione tra destra, sinistra e
massa è sottile
quindi in
queste
equazioni c’è
un
cambiamento
di segno
 
 p0    p 
R 
 L
m


 
p


p
 0
L 
 R
m


ELICITA’ e PARITA’
La parità
opera così:
Il momento
angolare si
trasforma
come:
quindi lo spin si
trasforma come


Px   x;
Pt  t


Pp   p
 
rp
P  
Se la natura fosse invariante per trasformazione di parità esisterebbero sempre le
due soluzioni. Ma in natura la parità non si conserva. Non esistono neutrini destrorsi.
Nel caso degli elettroni, esistono sia eR e eL, ma solo eL può interagire con il 
Conservazione della parità (elicità)nelle
interazioni elettromagnetiche




PL  PR 


P

P

 
L
R
  PL  PL  PR  PL  PL  PR  PR  PR
  PR  PL  PL  PR
  L  L  R  R
PL     PR
PR     PL
se l’interazione ha
la forma della
corrente,(e.g.
interazione
elettromgnetica )
l’elicità (parità) si
conserva
 L  PL   0    PL 0   PR
 R   PL

relazioni utili
corrente

j     

j    PL  PR   PL  PR 
j    PL  PL  PR  PL  PL  PR  PR  PR
Dato che
j    PR  PL  PL  PR
PL     PR PR     PL
Valgono le seguenti relazioni
Applicando le quali si ottiene
 L  PL   0    PL 0   PR  R   PL



     L  L   R   R
conservazione elicità (parità) nelle interazioni elettromagnetiche
termine di massa
Il termine di massa
della Lagrangiana ha
la forma
m 
Esprimiamo in termini
di stati destrorsi e
sinistrorsi

    P  P 
2
L
2
R
  PL PL  PR PR
  R L  L R
il termine di massa è
equivalente ad un
flip in elicità
V-A interction
in una interazione in cui i termini in LL ed RR sono
ugualmente probabili, come nella interazione e.m.,
si conserva la parità e la corrente ha la forma
 L  L  R  R
ma se per una ragione qualsiasi abbiamo solo stati
LL, allora c’ solo il termine
 L  L

 
 
 

1
 L  L   1   5   1   5 
4
1 
1 
5
   1      1  5 
2
2
1 
1
5
   1            5
2
2

quadri-vettore
PL     PR PR     PL




quadri-vettore
assiale
L’interazione debole
☻L’interazione debole è un
esempio di interazione V-A
( Vettoriale –Assiale).




1 
5
  1  
2
☻ E questo perchè in natura
esistono solo neutrini
sinistrorsi L
☻ Nel caso esistessero
invece solo neutrini
destrorsi, l’interazione
sarebbe del tipo V+A
1 
  1  5 
2
NON CONSERVAZIONE DELLA PARITA’ NELLE
INTERAZIONI DEBOLI
come interagisce una qualsiasi funzione d’onda (particella)
’ con una funzione d’onda (particella) sinistrorsa L?
'

R
'
   ' 
 L 
top
bottom
in una qualsiasi corrente formata con ’ e L, solo la
componente ’L può interagire con L, anche se la
componente R ( su , top) di ’ esiste e corrisponde ad uno
stato fisico.
in natura, effettivamente, solo eL interagiscono con i
neutrini. eR non interagiscono con i neutrini
La Lagrangiana di Dirac



L   i    m   0
Negative Energy Solution: Feynman prescriptions
negative energy particle solution propagating backward in time
=
positive energy antiparticle solution propagating forward in time
è plausibile
??
the emission (absorption) of an antiparticle of 4-momentum p is
physically equivalent to the absorption ( emission) of a particle
of 4-momentum -p
Space-Time plot
scattering di un + da un potenziale, in una
teoria perturbativa di second’ordine
Non Relativistic
Quantum Mechanic
(NRQM)
t
t3 
t2 
scattering
center

In RQM dobbiamo
ammettere anche
particelle che vanno
indietro nel tempo

t1 
scattering
center

x
Trajectory for second order scattering in NRQM
t
t3 
t2 
DICE FEYNMAN:
quindi oltre al
grafico NRQM, c’è
anche un grafico
RQM
Relativistic
Quantum Mechanic
RQM
t1 
negative-energyy




positive-energyy

positive-energyy
Trajectory for second order scattering in RQM
x
DICE FEYNMAN:
t
Una particella con
energia negativa che
procede in avanti è
equivalente alla sua
antiparticella con energia
positiva che procede
all’indietro nel tempo
t3 
il potenziale
assorbe una coppia
+- a t2
t2 
t1 
 


+ viene dal
passato
+ procede
verso il futuro

il potenziale emette
una coppia +- a t1
x
Quindi la soluzione a energia negativa di una equazione d’onda che descrive una certa
particella è usata per descrivere la sua antiparticella con energia positiva,
scambiando opportunamente stati finale e iniziale
In questo modo situazioni che coinvolgono più di una particella ( come la creazione di
coppie) possono essere trattate con la funzione d’onda di una singola particella
Non si può creare una singola particella carica. Le particelle sono create in
coppie particella-antiparticella e le traiettorie nello spazio tempo sono continue
the electromagnetic
current of a positive
energy + is palusibly
given by the probability
current for positive
energy solution multiplied
by the charge (Q=e+)

probability

 current for


jem    e   positive energy +

j     e  p 
 



em

jem     e E, p



jem     e  E, p








     e E, p 
jem

     e E, p 
jem
Quando un sistema emette un pione negativo di energia positiva, la sua energia totale
decresce di E e la sua carica elettrica decresce di (-e)
This is equivalent to have the system-charge increased of (+e)
This charge increase could equally well be caused by the absorption of a positive pion, but to be
equivalent to the negative pion emission, the positive pion will have to have negative energy ( The
system loose energy in the emission)
gli ingredienti
le notazioni dell’equazione di Dirac, per
esprimere la struttura dello spin
 l’imposizione della gauge invariance che
ci dice di cominciare con una Lagrangiana
di particella libera e di riscriverla con il
formalismo delle derivate covarianti
 l’idea di simmetrie interne
