Analisi di un segnale
Segnale e fondo
Segnale e fondo

Il problema
In funzione di una (o più) variabile(-i) si ha
un segnale che è somma

Di un segnale casuale, o comunque non
interessante



Fondo, background, noise
Di un segnale importante e significativo
Come di fa a separarli? Come si fa a
calcolare gli errori?
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71
Segnale e fondo

Una soluzione
Conoscere in qualche modo il fondo




Teorie, ipotesi
Misure prima e dopo il segnale
Simulare il fondo statisticamente
Fare l’ipotesi che il fondo sia lo stesso anche
se il segnale è presente

Indipendenza oltre che struttura
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72
Segnale e fondo

Ottenere il segnale a fondo sottratto



Calcolo della percentuale di fondo
Normalizzazione
Tenere conto dell’additività delle varianze

Nella sottrazione le cose peggiorano
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73
Simulazioni statistiche
Simulazioni statistiche

Chiamate anche MonteCarli



Il termine (spregiativo) risale ad anni ’40
In fenomeni molto complessi si ricorse a simulazioni
casuali
Oggi si usano di routine in fenomeni
complessi




Idrodinamica
Plasmi
Scontri fra Galassie
Sviluppi di popolazioni di organismi
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75
Simulazioni statistiche

Inizio con gli sciami elettromagnetici



Un gamma materializza in una coppia elettronepositrone
Le cariche passano vicino a dei nuclei e fanno BS
Vengono emessi dei gamma...
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76
Simulazioni statistiche

Si può studiare

con equazioni differenziali...
Ma ne vale la pena?
E come si fa a tener conto delle fluttuazioni?




...oppure simulando statisticamente il processo
Simulazioni: oggi molto usate per una
varietà di problemi scientifici e tecnici
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77
Simulazioni statistiche

Alternative

Forza bruta del calcolo



Simulazioni
Calcolo agli elementi finiti
Uso sofisticato del calcolo differenziale




Molto spesso troppo astratto
Troppe ipotesi difficilmente controllabili
Sistemi di PDE ed IE di difficile soluzione e controllo
Non linearità delle PDE
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78
Simulazioni statistiche

Vari modelli:

PM: Particle-Mesh. Una particella si muove in un
campo predefinito ed immutabile


Esempio: un satellite nel campo gravitazionale terrestre
P3M: Particle-Particle-Particle-Mesh. Idem come
sopra, però tenendo conto anche delle
interazioni fra le particelle

Esempio: elettroni entro un semiconduttori sottoposti ad un
campo esterno (il FET)
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79
Simulazioni statistiche

Vediamo alcuni vantaggi

Facilità di modellizzazione






Parcellizzazione di un fenomeno complesso
Possibilità di controllo del calcolo nelle sue varie fasi
Facilità di modifiche al modello
Facilità di riprodurre sistemi non lineari
Facilità di aumentare l’accuratezza
Svantaggi: tempi di calcolo...
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80
Simulazioni statistiche

Il confronto fra dati e previsioni ora ha due
facce



Errori sui dati
Errori sulle previsioni
Tipicamente quelli statistici
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81
Simulazioni statistiche



Su N eventi le fluttuazioni statistiche sono attese
dell’ordine di N
Le fluttuazioni percentuali sono dunque
Domanda:
N
1

N
N
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82
Simulazioni statistiche
Quanti eventi statistici
dobbiamo produrre affinché
gli errori sperimentali non ne
risentano apprezzabilmente?
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83
Simulazioni statistiche
La risposta sta nell’additività delle varianze

 Poniamo che l’errore relativo sia

x
Regola pratica
Per un aumento del 10% dell’errore relativo
occorrono campioni dell’ordine di
5
N min  2


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84
Simulazioni statistiche



Quindi se si ha una statistica di 1000 eventi
l’errore sarà incrementato del 10% con una
simulazione di 5000 eventi
...e se si vuole passare al 5% occorrono
20000 eventi
N
 Ricordate
...e se si vuole passare all’1% occorrono
500000 eventi...
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?
85
Simulazioni statistiche

In genere si accettano statistiche
N min 

5  10

2
Nel dubbio è sempre meglio abbondare, se possibile...
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86
Analisi di un segnale

Problema:
Abbiamo un segnale di forma nota


Supporremo gaussiano
Viene mescolato con un fondo

Supporremo parabolico
Come facciamo a isolare il segnale dal fondo?
Con quali limiti?
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87
Analisi di un segnale

Nella pratica

Segnale gaussiano molto frequente
L’onnipresenza della gaussiana...


Nelle alte energie più comune la Breit-Wigner

m  M 
2

2
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88
Analisi di un segnale

La massa di una particella che vive poco non
è definita esattamente
E  t
h
  mc   t
2
m  t

h
h
2
c
Calcolate questa relazione con m in MeV e t
in s
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89
Analisi di un segnale

Potete dimostrare che la sua energia-massa
è distribuita come quella di una risonanza



Dualismo onda-corpuscolo...
Questa è una Breit-Wigner
La massa della r non è facile da
determinare...
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90
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
2
4
6
8
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10
91
Analisi di un segnale

Sotto al segnale e nelle immediate vicinanze
ogni fondo...



O è lineare
O al massimo è quadratico
Il resto è filosofia teoretica
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92
Analisi di un segnale


Iniziamo con una simulazione di dati
gaussiani
2000 casi segnale
 0
  1.5

Ecco i dati: segnale, fondo, segnale+fondo
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93
Analisi di un segnale

Aggiungiamo un fondo di forma parabolica
0.085 x  1.6 x  6.0
2

Poi sommiamo il tutto



800 casi di fondo
...e vediamo l’istogramma finale
Questo è ciò che ci apparirebbe in un
ipotetico esperimento
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94
300
250
200
150
100
50
0
-4
-2
0
2
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4
95
120
100
80
60
40
20
0
-4
-2
0
2
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4
96
350
300
250
200
150
100
50
0
-4
-2
0
2
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4
97
Analisi di un segnale


Se si sa la forma del fondo
Se si sa la forma del segnale
F ( x  ,  ,  ,  ,  , ) 
 x
2
  x  
1 
e
2
( x  )2
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2
98
Analisi di un segnale



Ci sono 18 punti
Quindi 12 gradi di libertà
2
Ci attendiamo un   12
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99
Analisi di un segnale

Ed adesso calcoliamo il  2
  ,  ,  ,  ,  ,    
2

y
exp, k
 F ( x) 

2
2
k
Questo deve venir minimizzato rispetto alle 8
lettere greche...

Chiaro che la regressione lineare...
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100
Analisi di un segnale

Se non si sa la forma del fondo
SI SIMULA IL FONDO


Tipico caso dell’uso di un MonteCarlo
Spesso si preferisce questo metodo anche se
si sa la forma del fondo
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101
Analisi di un segnale

Si cerca di parametrizzare il fondo sotto il
segnale



Lineare o quadratico
Oppure si calcola il contributo del fondo bin
per bin
Poi si procede come sopra
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102
Analisi di un segnale

Ecco cosa succede con 800 casi di segnale e
2000 di fondo...
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103
100
80
60
40
20
0
-4
-2
0
2
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4
104
200
150
100
50
0
-4
-2
0
2
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4
105
250
200
150
100
50
0
-4
-2
0
2
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4
106
Analisi di un segnale




Ce ne vuole di buona volontà a vedere il
segnale...
Ed ecco 8000 casi di segnale contro 20000
casi di fondo...
Statistica 10 volte superiore
Errori che calano di circa un fattore 3

Ricordate Poisson?
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107
1000
800
600
400
200
0
-4
-2
0
2
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4
108
2000
1500
1000
500
0
-4
-2
0
2
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4
109
2500
2000
1500
1000
500
0
-4
-2
0
2
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4
110
Analisi di un segnale


Ecco cosa succede se sottraiamo il fondo.
Plots in sequenza





Segnale
Fondo
Fondo + segnale
Precedente meno il fondo calcolato con
simulazione
2000 casi di fondo e 800 di segnale

Notate l’aumento dell’errore nella sottrazione!
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111
120
100
80
60
40
20
0
-4
-2
0
2
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4
112
250
200
150
100
50
0
-4
-2
0
2
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4
113
250
200
150
100
50
0
-4
-2
0
2
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4
114
150
125
100
75
50
25
-4
-2
2
4
-25
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115
Analisi di un segnale

Ora una statistica 10 volte superiore
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116
1000
800
600
400
200
0
-4
-2
0
2
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4
117
2000
1500
1000
500
0
-4
-2
0
2
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4
118
2500
2000
1500
1000
500
0
-4
-2
0
2
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
4
119
1000
800
600
400
200
-4
-2
2
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4
120
A proposito di masse...
Ricordate:
La misura è una ricetta...
Massa di una particella

...che vive poco e scoppia in due
r  


Misuriamo i momenti dei prodotti di
decadimento
p


x
, p y  , pz  
p
x
, p y  , pz  
Il modulo: di solito da campo magnetico
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122
Massa di una particella

Facile se è uniforme


La direzione: dalle equazioni della curva


Se no il calcolo non è così semplice
 Ed il campo non è mai uniforme...
Un’elica nello spazio
I punti dell’elica sono misurati

L’elica viene calcolata col

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2

Ma va?
123
Massa di una particella

Poi dobbiamo sapere le masse delle
particelle uscenti


Facile, di solito: non ce ne sono molte fra cui
scegliere
Quindi la massa come invariante relativistico
mr 
2

p m  p m
2

2

2

2

  p
2

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 p 
2
124
Massa di una particella
Brutte cose per energie alte

C’è una differenza in mezzo

Il valore si calcola come differenza di numeri
grossi...

E gli errori aumentano

È un mondo difficile...
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125
Massa di una particella

Errori


Da errori sul modulo sui momenti
Da errori sugli angoli dei momenti

Quindi dal fit!


...e le correlazioni fra gli angoli?
Incertezza fisica: dalla Breit-Wigner
mr  770.0  0.8 MeV
  150.7  1.1 MeV
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126
Massa di una particella
Attenzione:

Le misure possono essere diverse a seconda
dei tipi di decadimento!


Cambia la vita media...
La Natura è complicata...
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127
Massa di una particella



Supponiamo di avere un fondo parabolico
Ecco la situazione della distribuzione
...e la statistica con 30000 e con 2000 casi
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128
35
30
25
20
15
10
5
4
6
8
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129
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
2
4
6
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
8
130
225
200
175
150
125
100
75
2
4
6
Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
8
131