PROFILO DI UN GRANDE MATEMATICO
ÉVARISTE GALOIS
Elena Gardenal
Spesso non conta la lunghezza della nostra vita, ma
l’intensità con la quale
viene vissuta.
Évariste Galois è considerato un genio della
matematica nonostante abbia vissuto
solo 21 anni.
Galois nacque il 25 Ottobre 1811 a Bourg-laReine, un sobborgo alle porte di Parigi. Studiò a
casa, con l'aiuto della madre, fino al 1823,
quando superò gli esami d'ammissione al
collegio "Louis-le-Grand" di Parigi. Nel 1827
s'iscrisse ad un corso di matematica organizzato
dal collegio, dimostrandosi subito uno dei
migliori allievi.
Nel 1828, all'età di sedici anni e mezzo, tentò l'esame
di ammissione alla Scuola Politecnica di Francia, ma
venne respinto. Ritentò l'anno seguente, ma fu
nuovamente, ed ingiustamente, respinto. Nel Luglio
1830, studente della Scuola Preparatoria, tentò di
partecipare alle tre "gloriose giornate", ma gli fu
impedito dal direttore, che lo espulse di lì a pochi
mesi a cause delle sue idee repubblicane. Ostile al
nuovo regime di Luigi Filippo, si arruolò nella
Guardia nazionale del generale Lafayette, che fu
tuttavia sciolta dal governo a fine anno.
Frattanto i documenti che Galois aveva inviato
all'Accademia, concernenti le sue interessanti
scoperte, vennero smarriti o mal compresi. Galois
decise allora di dedicarsi alle proprie idee politiche,
che lo condussero all'arresto in due circostanze: il
primo processo lo vide rapidamente prosciolto, ma
nel secondo fu condannato a sei mesi di carcere per
"porto abusivo di uniforme"; rimase così in carcere
sino alla primavera del 1832.
Conosciuta una ragazza subito dopo essere uscito
di prigione, se ne innamorò e la corteggiò, salvo
poi scoprire che ella era già impegnata. Sfidato dal
fidanzato ad un duello d'onore, Evariste Galois
morì a Parigi il 31 Maggio 1832, a vent'anni e
mezzo. Le sue importanti scoperte ed innovazioni
nel campo dell'algebra furono divulgate solo nella
seconda metà del secolo, sia perchè erano troppo
all'avanguardia per essere comprese dagli altri
matematici del suo tempo, e sia, soprattutto,
perchè nessuno ebbe l'umiltà di prendere in
considerazione l'opera di uno studente
universitario di vent'anni.
LA FAMIGLIA
La famiglia Evariste era una famiglia dai sani
principi, il liberalismo in ambito politico e la
più assoluta tolleranza in ambito religioso; ciò
che è curioso far notare a proposito dei
genitori di Galois è che, a quanto risulta, nè il
padre nè la madre dimostrarono mai alcuna
predisposizione fuori dal comune per le
discipline matematiche.
Al di là di questo, entrambi i genitori erano persone di
grande cultura. Il padre di Evariste, Nicolas Gabriel
Galois, era divenuto, dopo aver disinteressamente
fornito il proprio aiuto, nei limiti del possibile, ai suoi
compaesani, il sindaco di Bourg-la-Reine. La moglie
del sindaco, Adelaide-Marie Demante Galois, era una
donna profondissima, tant'è vero che fu lei ad
occuparsi dell'educazione del figlio fino agli undici
anni, insegnandogli peraltro il latino ed il greco in
maniera eccellente (si pensi che Galois vinse il secondo
premio nella gara di greco del collegio Louis-le-Grand
nel Giugno del 1828). Oltre ai genitori, Evariste aveva
anche una sorella maggiore ed un fratello minore, di
nome Alfred.
Il padre di Galois, oltre ad occuparsi degli affari
municipali di Bourg-la-Reine, era anche un apprezzato
poeta, e proprio questa fu la causa della sua rovina!
Nel 1827 arrivò in paese un nuovo parroco, che
cominciò da subito a minare l'autorità del sindaco
liberale, accusandolo prima di essere bonapartista, e
poi repubblicano. Tuttavia il rispetto che gli abitanti di
Bourg-la-Reine avevano per Nicolas Galois non
poteva esser ridotto con mezzi legali, così il parroco ed
i suoi amici gesuiti cominciarono a mettere in giro,
spacciandole per poesie del sindaco, delle strofette
oscene e volgari che attirarono contro di lui la
mutevole e volubile opinione pubblica.
In breve, il sindaco Galois era divenuto la barzelletta
di Bourg-la-Reine, ed un uomo con la dignità e con
l'orgoglio del padre di Galois questo non poteva
proprio accettarlo: e fu così che il 2 Luglio 1829
Nicolas Gabriel Galois si tolse la vita in un
appartamentino di Parigi a pochi metri di distanza
dal collegio Louis-le-Grand, dove studiava suo figlio;
la speranza del sindaco era quella di salvare, se non il
proprio, almeno l'onore della moglie e dei tre figli.
LA GIOVINEZZA
Evariste Galois trascorse un'infanzia serena a Bourgla-Reine fino all'estate del 1823 quando, all'età di
undici anni e mezzo, si recò a Parigi per sostenere gli
esami di ammissione al collegio reale "Louis-leGrand", esami che superò brillantemente.
Iscritto alla quarta classe elementare, all'inizio
dell'anno seguente Galois, appena dodicenne,
partecipò ad una rivolta contro il direttore, l'ultramonarchico e filo-gesuita Berthot. Dopo la morte
di Luigi XVIII (1814-1824), salì al trono di Francia il
fratello Carlo X (1824-1830), che fece sostituire il
vecchio Berthot con un certo Laborie, non meno
fazioso di colui che l'aveva preceduto
Ammesso nel 1826, a meno di quindici anni, alla
classe di retorica, nel Febbraio dell'anno seguente
fu retrocesso alla seconda classe superiore. A mo'
di consolazione, a Settembre Galois s'iscrisse ad un
corso di matematica, organizzato dal collegio, ma
con partecipazione facoltativa; si dimostrò fin
dall'inizio uno degli studenti migliori, leggendo e
studiando da autodidatta le opere di Legendre,
Lagrange, Cauchy e Gauss.
Nell'estate del 1828 Galois tentò per la prima
volta, vanamente, di essere ammesso alla Scuola
Politecnica di Francia. L'anno seguente, dopo esser
stato promosso, seppur con voti non eccellenti,
ritentò l'esame, ma si vide respinto per la seconda
volta, e dal momento che non sipotevano
presentare più di due richieste di ammissione, capì
di non aver più chances.
In generale, la giovinezza di Galois fu un periodo
lieto e gioioso fino ai dodici anni, e quindi un
progressivo incupirsi e chiudersi in sè stesso, dovuto
prima ai cattivi rapporti con i compagni, e quindi
all'orgoglio della consapevolezza del fatto di essere
uno dei più grandi geni matematici del suo tempo
(se non il più grande di sempre, tenuto conto
dell'età), orgoglio quest'ultimo mai compreso dagli
altri, e spesso scambiato per vanagloria dai suoi
professori.
IL POLITECNICO
Al Politecnico erano ammessi di diritto i vincitori
delle gare generali di matematica per le classi
terze superiori dei collegi nazionali, più i
candidati che avessero superato un esame orale su
argomenti di algebra, geometria e trigonometria.
Galois tentò quest'esame prima ancora di essere
giunto alla classe terza (ovvero l'anno in cui era
stato respinto dalla classe di retorica), ma venne
respinto, forse per la settorialità della sua
preparazione (ad onor del vero Evariste s'era
preparato fin troppo in algebra, e troppo poco
nelle altre materie).
Alla fine dell'anno scolastico successivo Galois sperava
di non dover sostenere l'esame orale, ma purtroppo
non riuscì a vincere la gara di matematica, e così
dovette ripresentarsi... Irritato dalla pedanteria del suo
esaminatore, che insisteva a chiedergli qualche
minuto dettaglio sulla teoria dei logaritmi, e snervato
dall'utilizzo dei gessi e soprattutto del cassino (lui era
abituato a fare anche i calcoli più complessi a
mente!), Galois finì per perder le staffe e scagliare il
cassino in testa al noioso professore. Così facendo,
gettò all'aria la sua seconda ed ultima chance di
entrare nell'Olimpo dei matematici di Francia.
Come ripiego Galois puntò sulla Scuola Preparatoria
(o Normale), che doveva addestrare i futuri
insegnanti di matematica degli istituti superiori
(quegli stessi insegnanti che aveva così tanto
odiato!). Superò, finalmente, gli esami, con soli otto
punti su dieci, lui che, sulle equazioni algbriche, ne
sapeva più di tutti i suoi esaminatori messi insieme.
Nel frattempo Evariste aveva inviato una memoria
all'Accademia di Francia, ancora nel 1829; qualche
tempo dopo venne a sapere che il presidente
dell'Accademia, il grande Augustin-Louis Cauchy,
l'aveva smarrito o gettato.
LA MATEMATICA:
GLI ESORDI
All'epoca di Galois la matematica, pur essendo alla
base della disciplina militare moderna e delle
dottrine filosofiche empiriste, non era considerata,
dal punto di vista scolastico, una materia come il
greco, il latino e la retorica. Proprio per questo il
corso facoltativo di matematica e geometria,
tenuto presso il collegio Louis-le-Grand dal
professor Vernier, non riscuoteva un grande
successo nè in termini di partecipazioni, nè di
risultati.
Quando Evariste Galois, per sfuggire dalla routine
e per dimenticarsi del fatto di dover ripetere
un'altra volta la seconda, si iscrisse a questo corso
di matematica, era appena incominciato il terzo
trimestre dell'anno scolastico 1826-27. Galois
cominciò a studiare la geometria euclidea, con
l'ausilio delle opere di Legendre, e la risoluzione
delle equazioni algebriche, stavolta grazie ai testi di
Lagrange. Ben presto si appassionò a questi
argomenti, ed in particolare all'ancor irrisolta
equazione algebrica di quinto grado!
Era possibile trovare una formula generale per
risolvere le equazioni di quinto grado mediante un
numero finito di calcoli? Questo fu il primo
quesito che si pose il giovane Galois, il quale aveva
già intuitivamente compreso tutto il resto
dell'algebra conosciuta sino ad allora... Ma
naturalmente era difficile accettare che un
semplice studente potesse essere così bravo, ed i
meriti di Galois non vennero riconosciuti fino in
fondo. Eppure alla fine dell'anno scolastico, in
Giugno, lo studente che era stato bocciato vinse il
secondo premio sia nella gara generale di
matematica che in quella di greco.
Galois decise quindi di tentare la via della Scuola
Politecnica, ma a causa di qualche sottigliezza di poco
conto venne bocciato per "mancanza di metodo". Nel
1828 il professor Vernier venne sostituito da un
nuovo insegnante, il professor Louis Richard, molto
più preparato ed appassionato del suo predecessore;
Richard comprese ben presto che Galois non era uno
studente come tutti gli altri, e che, almeno per
quanto riguardava l'algebra pura, egli doveva saperne
più di lui: allora ammise che Galois non avrebbe
avuto nulla da imparare da lui, e che avrebbe fatto
senz'altro meglio a proseguire autonomamente le sue
ricerche.
Ad un certo momento, tuttavia, a quanto risulta
dal cambiamento di tono nelle note di giudizio, il
rapporto tra Galois e Richard si guastò,
probabilmente a causa del troppo orgoglio del
primo, o della scarsa apertura mentale del secondo.
In ogni caso Galois non venne certo sostenuto
dalla scuola, ed alla fine dell'anno non riuscì a
vincere che il quinto premio, nella gara generale di
matematica. Dovette sostenere nuovamente gli
esami orali per l'ammissione al Politecnico, e per la
seconda (ed ultima!) volta l'insipienza del suo
esaminatore gli costò molto cara.
Nel Febbraio del 1830, dopo aver conseguito un
diploma di scienze e dopo aver superato gli esami
d'ammissione, Galois entrò nella Scuola Preparatoria,
pallida imitazione della Scuola Normale Superiore,
fondata ai tempi di Napoleone dal conte e generale
Gaspard Monge. Verso la fine dello stesso anno il nuovo
re, Luigi Filippo, rese alla scuola l'antico attributo di
Scuola Normale, ma Galois non fece quasi in tempo ad
accorgersene, poichè venne espulso per "condotta
disdicevole" ai primi di Dicembre. L'unico episodio
degno di memoria occorso a Galois durante la sua
permanenza presso la Scuola Preparatoria fu la
dimostrazione del teorema di Sturm, teorema enunciato
in classe dal professor Leroy, e dimostrato da Evariste a
mente, in pochi minuti!
ALGEBRA PURA
Il giudizio riportato sopra si riferisce al primo
trimestre dell'anno scolastico 1828/1829, ed è stato
affibbiato dall'insegnante di matematica del
collegio Louis-le-Grand, il professor Louis Richard,
al giovane Evariste Galois, indubbiamente un
talento precoce nell'ambito dell'algebra pura, tant'è
vero che, pur essendo morto a soli vent'anni, molti
matematici dei nostri tempi lo considerano il padre
dell'algebra moderna?
Ma a che livello di sviluppo era giunta questa
disciplina, quando Galois iniziò a studiarla e ad
applicarvisi? Già da secoli gli algebristi erano in grado
di risolvere per radicali equazioni di primo e secondo
grado, grazie alle formule
y=-b/a ed y=-b�(b2-4ac)/2a.
Già dal Cinquecento, grazie allo scienziato
lombardo Gerolamo Cardano (1501-1576), erano
note anche complesse formule di risoluzione per le
equazioni di terzo e quarto grado. Ciò che consente
di risolvere queste equazioni è il fatto che esse si
possono sempre ridurre ad equazioni di grado più
basso.
Che fosse possibile risolvere per radicali (ovvero
mediante un numero finito di operazioni
razionali, da eseguire sui coefficienti delle
equazioni) anche le equazioni di quinto grado? In
base al teorema fondamentale dell'algebra, o
teorema di Gauss, un'equazione di grado enne
può essere risolta per enne radici, quindi dovrebbe
esistere una formula per calcolare le cinque radici
di un'equazione di quinto grado... Eppure questa
formula non si riusciva a ricavarla.
Il grande matematico franco-piemontese
Joseph-Louis Lagrange (1734-1813) aveva
individuato un metodo generale per ricavare le
formule risolutive per radicali di equazioni di
ennesimo grado. Questo metodo riduce
un'equazione di primo grado ad una semplice
divisione, un'equazione di secondo grado ad una
di primo, una di terzo ad una di secondo ed una
di quarto ad una di terzo. Tuttavia, se applicato
ad una di quinto la trasforma in una di sesto, e
se applicato ad una di sesto la rende addirittura
di decimo grado!
Un matematico italiano, Ruffini, sul finire del
Settecento aveva dato una dimostrazione
piuttosto complessa, e poco elegante, del fatto che
le equazioni di quinto grado non potessero essere
risolte per mezzo di radicali. Alla stessa
conclusione era giunto, nel 1824, il norvegese
Niels Henrik Abel, il quale aveva inoltre ipotizzato
che, non potendosi risolvere equazioni di quinto
grado, non se ne potevano risolvere neppure di
gradi superiori. O meglio, equazioni di grado
superiore al quarto possono essere risolte, ma solo
in casi particolari: non si può invece trovare una
formula generale di risoluzione per radicali.
Il giovane Abel aveva ragione, ma purtroppo morì di
povertà, freddo, fame, stanchezza e tisi, a soli
ventisette anni d'età. Galois decise che da allora in
avanti avrebbe ricercato le condizioni necessarie e
sufficienti a risolvere, per mezzo di radicali,
equazione algebriche di qualsiasi grado. Iniziò, nel
1829 (a diciassette anni e mezzo!!) a studiare quelle
equazioni che avevano per grado un numero primo;
ben presto verificò e dimostrò che si potevano
risolvere solo quelle di grado pari a due o tre,
mentre per quelle di grado dal quinto in su non era
possibile trovare una formula risolutiva per radicali.
Inviò, a questo proposito, non una, ma tre (sic!)
memorie all'Accademia di Francia... Non una sola
delle tre fu presa in considerazione dagli illustri
matematici del regno. Nè Poisson, nè Fourier, nè
soprattutto il grande Cauchy si degnarono di
prendere in considerazione un documento inviato
da un liceale diciottenne. Comunque sia,
introducendo il concetto di "gruppo di radicali" e
ponendo le basi della "teoria dei gruppi", Evariste
Galois riuscì, per primo nella storia della
matematica, a dimostrare l'insolubilità per radicali di
equazioni algebriche di grado superiore al quarto.
Era il Maggio 1832, ed Evariste aveva vent'anni e
sette mesi.
Galois si scontrò a duello con Perscheux
d'Herbinville il 30 maggio 1832, le ragioni del
duello non sono chiare, ma sembrano collegate in
qualche modo ad una donna, Stephanie-Felice du
Motel, di cui Galois si era invaghito qualche mese
prima. Una sorte di legenda racconta che Galois
passò la notte prima del duello a scrivere tutto ciò
che sapeva sulla teoria dei gruppi, è ragionevole
pensare che ciò sia un po' esagerato. Comunque
Galois fu gravemente ferito e lasciato sulla strada da
d'Herbinville e dal suo secondo. Morirà in ospedale
il giorno dopo, il 31 maggio 1832 quando non ha
ancora compiuto i 21 anni.
Il materiale di Galois fu ricopiato e spedito dal
fratello e da un amico a Gauss, Jacobi e altri. I
matematici del tempo si accorgeranno del
patrimonio rappresentato da quegli appunti solo una
decina di anni dopo. Il contenuto di quei fogli passa
oggi sotto il nome di Teoria di Galois: in meno di 21
anni di vita Evariste Galois portò alla luce concetti
ancora fondamentali per l'algebra moderna.