Lavoro di un campo elettrico uniforme
Consideriamo una carica q che si sposta da una posizione
iniziale A ad una posizione finale B in una regione in cui è
presente un campo elettrico uniforme (es. tra le armature di un
condensatore piano ideale)
y
Nel riferimento scelto:


ˆj
E
F

q
E

qE
B
γ

ds  dxiˆ  dyˆj  dzkˆ
A
+
O
x
B
 
 F  ds (γ )  qEdy  qE  y B  y A 
B
LAB  (γ )
A
A
Energia potenziale elettrica:
caso del campo uniforme
 Il lavoro compiuto dal campo elettrico uniforme non dipende
dalla traiettoria compiuta dalla particella carica, ma solo dalla
posizione iniziale e dalla posizione finale
 Il campo elettrico uniforme è dunque conservativo
 Si può quindi introdurre una funzione energia potenziale
elettrica tale che
LAB  qEyA  qEyB  U(A)  U(B)   ΔU
 L’energia potenziale elettrica, nel caso del campo uniforme, nel
sistema di riferimento scelto, è data dalla funzione:
U(y)  qEy  c
 La funzione U(y) è definita a meno di una costante, che viene
fissata assegnando il valore U(y0)=U0 dell’energia potenziale in
un punto arbitrario di ordinata y0
Energia potenziale elettrica
Si può dimostrare che tutti i campi elettrostatici (non solo quelli
uniformi) sono conservativi
E’ quindi sempre possibile definire una funzione di stato energia
potenziale elettrica tale che:
LAB  U(A)  U(B)   ΔU
La forma della funzione U(x,y,z) dipende dal tipo di campo
elettrico in esame
La funzione energia potenziale elettrica è definita a meno di una
costante additiva
 La costante si fissa ponendo U(x0 ,y0 ,z0)=U0 in un punto
arbitrario (x0 ,y0 ,z0)
Ove possibile, si fissa la costante ponendo U(∞)=0, cioè
assegnando energia potenziale nulla alla configurazione in
cui le cariche sono a distanza infinita
Potenziale elettrico
 Come si è visto nell’esempio del campo elettrico uniforme,
l’energia potenziale di una carica q in un campo elettrico
dipende dalla carica stessa
 Si definisce il potenziale elettrico come energia potenziale
della carica unitaria:
U
V
q

Nell’esempio del campo elettrico uniforme il potenziale è:
V
U
  Ey  cost
q
 Il lavoro svolto dal campo elettrico su una carica q che si
sposta da A a B risulta espresso da:
LAB   ΔU  qΔV
Superfici equipotenziali
 Superficie equipotenziale = luogo geometrico dei punti dello
spazio al medesimo potenziale

Equazione delle superfici equipotenziali: V(x,y,z)=costante
 Se una carica si muove su una superficie equipotenziale il
campo elettrico non compie lavoro: L=-qΔV=0
 Le linee del campo elettrico sono sempre perpendicolari alle
superfici equipotenziali

Per una particella che si muove da A a B su una superficie
equipotenziale il lavoro del campo elettrico è dato da:
E
B 
  B  

  F  ds   qE  ds  q  E  ds  0
B
LAB
A


E  ds
A
ds
A
A
B
Linee di forza e superfici equipotenziali
Campo elettrico uniforme: le superfici equipotenziali sono dei
piani perpendicolari alle linee del campo
Campo di una carica puntiforme: le superfici equipotenziali
sono delle sfere concentriche con la carica che genera il campo
Campo di un dipolo: le superfici equipotenziali hanno forma
variabile
Dal campo elettrico al potenziale
Supponiamo che sia nota l’espressione del campo elettrico in tutti
i punti dello spazio e calcoliamo il lavoro compiuto dal campo su
una carica q che si sposta da A a B:
B 
  B  

  F  ds   qE  ds  q  E  ds
B
LAB
A
A
A
LAB  qΔV   qVB VA 
 
V B  V A    E  ds
B
A
Assegnando al potenziale il valore V0 in un punto P0(x0 ,y0 ,z0) si
possono calcolare i valori del potenziale V in tutti i punti P(x,y,z)
dello spazio:
P 

V(x, y, z)  V0   E  ds
P0
Il valore dell’integrale non dipende dal percorso di integrazione!
Potenziale di una carica puntiforme
Consideriamo una carica puntiforme q
 
Campo elettrico: E(r ) 

1 q r 
2  
4 π ε0 r  r 
Imponiamo che sia V(∞)=0
Il potenziale in un punto P a distanza r dalla
carica q si calcola partendo dalla definizione:

1 q r  
  ds
2 
4 π ε0 r  r 

r
 
V(r)  V(  )   E  ds   
r

r
1 q
q
 
dr 
2
4 π ε0 r
4 π ε0

r
1 q
1
r   4 π ε r
 
0
Potenziale di un insieme di cariche
 Consideriamo un insieme di cariche puntiformi q1, q2, ..., qN
 Per il principio di sovrapposizione, il potenziale in un punto P
dello spazio si può calcolare sommando i potenziali delle
singole cariche:
N
1 q1
1 q2
1 qN
1 qi
V(P) 

 ... 

4 π ε0 r1 4 π ε0 r2
4 π ε0 rN i 1 4 π ε0 ri
q2
q1
r1
q3
r3
r2
P
r4
q4
Condensatore piano
Un condensatore piano è formato da due piatti piani e paralleli,
detti armature, di area A posti a distanza d su cui sono presenti
cariche opposte +q e -q
y
Area A
y1
-q
+q
d
 σ
Campo elettrico: E  ˆj
ε0
E
y2
O
d
+
x
Differenza di potenziale tra le armature:
2
2
 
σ ˆ 
σ
σ
σ
ΔV  V2  V1    E  ds    j  ds    dy    y 2  y1   d
ε
ε
ε0
ε0
1
1 0
1 0
2
Capacità del condensatore piano
Carica presente sulle armature: q  σA
Differenza di potenziale tra le armature: ΔV 
σ
d
ε0
Capacità del condensatore piano: C  q  ε0 A
ΔV
d
In ogni condensatore la carica immagazzinata sulle armature è
proporzionale alla differenza di potenziale applicata tra di esse:
q  CΔ V
La capacità elettrostatica rappresenta la capacità del
condensatore di immagazzinare carica sulle sue armature:
quanto maggiore è C tanto più grande è la carica che può essere
immagazzinata a parità di d.d.p. applicata.
Unità di misura per potenziale e capacità
 Il potenziale è una grandezza derivata
 L’equazione dimensionale del potenziale elettrico è




[V]=[ML2T-3I-1]
Nel SI il potenziale si misura in Volt (V)
Anche la capacità è una grandezza derivata
L’equazione dimensionale della capacità è [C]=[I2T4M-1L-2]
La capacità nel SI si misura in Farad (F)

Ricordando l’espressione della capacità del codensatore
piano, C=ε0A/d si ricava che [ε0]=[CL-1] e dunque il suo
valore è ε0=8,85 ×10-12F/m
Carica di un condensatore
Condensatore
Generatore
Il generatore è un dispositivo
che mantene una d.d.p. costante
tra i suoi poli
Interruttore
Chiudendo l’interruttore si ha
un flusso di elettroni (corrente)
nel circuito, che porta ad un
accumulo di carica sulle
armature del condensatore
Il flusso di elettroni si arresta
quando le cariche presenti sulle
armature instaurano una d.d.p.
che è pari a quella tra i poli del
generatore
Condensatori in parallelo
Il collegamento in parallelo si
realizza collegando tutti i
condensatori alla stessa d.d.p.
+q1
ΔV C
1 −q1
Cariche dei condensatori: q1  C1 ΔV
q2  C2 ΔV
Carica totale: q  q1  q2  C1  C2 ΔV
q
 C 1 C 2
ΔV
Per un sistema di N condensatori in parallelo:
C eq  C 1 C 2  ...  C N
Capacità equivalente: C eq 
+q2
C2 −q2
Condensatori in serie
Il collegamento in serie si realizza
concatenando le armature di tutti
condensatori. In questo caso le
cariche dei vari condensatori sono
le stesse
+q
C1 −q
ΔV
+q
C2
Differenze di potenziale: ΔV1  q/C 1
ΔV1
−q ΔV2
ΔV2  q/C 2
Differenza di potenziale totale: ΔV  ΔV1  ΔV2  q1/C 1  1/C 2 
Capacità equivalente:
 1
1
ΔV
1
1
1 




 C eq  

C eq
q
C1 C 2
 C1 C 2 
Per una serie di N condensatori:
1
1
1
1


 ... 
C eq C 1 C 2
CN
1