UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
Superfici materiali e non materiali in Fisica
Dicembre 2008
A. Romano
[email protected]
1
Superficie materiale
La superficie S tra due mezzi contigui è materiale se le
particelle dei due mezzi non possono attraversarla
2
Esempi
• La superficie di separazione tra due dielettrici
• La superficie tra olio ed acqua
• Una lamina di sapone (bolla)
Una superficie materiale può essere geometrica
o costituita da materia e possedere proprietà
meccaniche.
3
Superficie non materiale
La superficie S di separazione tra due mezzi è non
materiale se essa può essere attraversata dalle
particelle dei due mezzi.
Le particelle dei due mezzi, contigue ad una
superficie non materiale S, cambiano ad ogni
istante.
4
Esempi di superfici non materiali
•
•
•
•
•
Interfaccia solido-liquido
Interfaccia liquido-vapore
Interfaccia tra un cristallo e la miscela
Colata continua
Pareti di Bloch nei cristalli ferromagnetici e
ferroelettrici
• Onde ordinarie e d’urto
5
Due possibili trattazioni delle superfici
materiali e non materiali
• La superficie è sostituita da un sottile strato
di transizione (strato limite)
• La superficie è una superficie di discontinuità
dotata di proprietà materiali
Primo approccio
 y ' ' ( x)  y ' ( x)  y ( x)  0
y (0)  1,
y (1)  0
6
Se y(ε, x) è la soluzione del problema al contorno
al variare di ε, accade che
lim y ( , x)  y0 ( x)
 0
dove y0(x) è la soluzione dell’equazione che si ottiene
per ε = 0?
Quando il piccolo parametro moltiplica le derivate di
ordine massimo il termine che lo contiene non può
trascurarsi.
7
La soluzione della precedente equazione ha l’andamento
mostrato in figura
1
0
1
δ
dove δ diminuisce al diminuire di ε (strato limite).
8
Se si vuole riguardare la superficie di separazione
tra due regioni contigue come un sottile strato,
occorre che le equazioni che descrivono il sistema
presentino le derivate di ordine massimo moltiplicate
per un piccolo parametro.
Es. Equazione dei liquidi viscosi di Navier-Stokes
1
  p  v,
v
R
dove R 
UL

 1 è il numero di Reynolds.
9
Goccia d’acqua in equilibrio in aria
Equazione di Eulero (in assenza di spinta
archimedea e del peso)
Poiché p = p (ρ), la densità è costante è non vi può essere la
goccia. Assumendo che
con α<<1, si ottiene lo strato limite e quindi la goccia.
10
Secondo approccio
Si supponga che la superficie della goccia sia una
superficie materiale in grado di esercitare una tensione
tangenziale γ isotropa ed uniforme (proprietà meccaniche).
La condizione di equilibrio diventa
2
 ( pext  pint ),
R
dove il raggio R è incognito. Per una forma non sferica si ha

H
 ( pext  pint )
con H curvatura media (problma di Plateau).
11
Si osservi che nel caso delle bolle di sapone la pressione
è nota sia all’interno che all’esterno della bolla ed R
è la sola incognita del problema. Per una goccia d’acqua
di condensazione la pressione interna è incognita ed
occorre aggiungere una condizione termodinamica per
ottenere il pareggiamento, ossia la continuità del potenziale
di Gibbs attraverso S.
12
Congelamento dell’acqua
Problema unidimensionale
Energia per unità di volume: e = c θ;
Vettore corrente di calore: h =  k 
Bilancio di energia
d
c dV    h nd

dt V
V
dove V è un arbitrario volume fisso.
13
• L’interfaccia è uno strato limite di transizione per
il campo di temperatura
h   k α, k>0, α<<1.

c     
Condizioni al contorno.
14
Il problema di Stephan
L’interfaccia è una superficie di discontinuità.
Inoltre
• h =  k  ;
• e = c θ;

c  k 

e s  k  n
nel volume
sull’interfaccia
Condizioni al contorno: temperature agli estremi e
temperatura di fusione θ = 0 sull’interfaccia.
Incognite: il campo di temperatura θ(x,t) e lo spessore
di ghiaccio s(t).
15
Formulazione generale
I sistemi con strato limite possono descriversi sostituendo
lo strato limite con una superficie materiale o non
materiale eventualmente dotata di proprietà meccaniche e
termodinamiche.
L’impiego di questo modello richiede la formulazione
delle leggi generali di bilancio per un sistema continuo
con interfaccia.
16
La legge generale di bilancio
17
La legge generale di bilancio
Una legge generale di bilancio per il campo ψ trasportato con
velocità v si scrive
d
d
ψ dc 
Ψ d 


dt c
dt  (t )
  (Φ Ψ  v)  n d   (Φ Ψ  v )  t ds
c

dove c(t) è un volume fisso e  (t )  c(t )  S (t )
18
Difficoltà
•Calcolare la derivata temporale dell’integrale di superficie:
(determinare esplicitamente σ(t) in termini della forma del
volume c, della velocità normale dell’interfaccia e dello
spostamento della curva di discontinuità Γ);
• determinare l’equazione del bordo ∂σ(t) di σ(t);
• assegnare ψσ e Φσ a partire dal problema fisico in esame.
19
Cristalli
Equilibrio di un cristallo macroscopico
 nel suo liquido
 nel suo vapore
 in una miscela binaria contenente la fase
liquida del cristallo.
La legge di Gibbs
La legge di Wulff
20
La legge di Gibbs
Fissato il poliedro cristallino regolare convesso rispetto
ad un suo punto interno, con N facce, la configurazione
di equilibrio corrisponde al minimo dell’energia
superficiale
N
   E i  i
i 1
a volume costante
 dV  
V
21
La Cristalli
legge di Gibbs
22
Minimizzando il funzionale si trovano infinite
configurazioni di equilibrio. Tra queste figurano
quelle per cui
E i
hi
 ,
dove λ è una costante dipendente dal volume del cristallo
e hi la distanza della faccia i-ma da un punto fisso interno
al cristallo.
23
La Cristalli
legge di Wulff
24
Ferromagnetismo
•
•
Il volume di un cristallo ferromagnetico è l’unione di regioni
in cui la magnetizzazione è costante (domini di Weiss).
Ciascuna regione è separata da quelle contigue da sottili
strati (pareti di Bloch) in cui la magnetizzazione varia
rapidamente.
Micromagnetismo: Le configurazioni di equilibrio di un cristallo
ferroelettrico si ottengono minimizzando l’energia totale di
magnetizzazione del cristallo a volume costante.
25
Esempio
In un cristallo uniassiale che occupa il volume
di un parallelepipedo retto, in assenza di campo
magnetico esterno, si ha la seguente
distribuzione di domini
d




l






l
l
26
Micromagnetismo
Le configurazioni di equilibrio di un cristallo ferroelettrico,
In assenza di campo magnetico esterno, si ottengono
minimizzando l’energia totale di magnetizzazione
 M e(m,m)dV
0
V
dove m è il versore di magnetizzazione. Per cristalli uniassiali
3
1
e  M 0 [  (mx2  m y2 )    (mi ) 2 ]
2
i 1
27