Intelligenza Artificiale - AA 2001/2002
Intelligenza Artificiale
Breve introduzione alla
logiche sfumate (fuzzy logics)
Marco Piastra
Logiche sfumate - 1
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Insiemi sfumati
• “E la tartaruga fece una lunga camminata ...”
– ma quant’è lunga, una lunga camminata ...
• per una tartaruga?
Long(walk)
1
0
mooolto lunga
Long( )
20
40
60
80 meters
• La funzione caratteristica  di un insieme non sfumato
è del tipo:
 : U  {0, 1}
• La funzione caratteristica  di un insieme non sfumato
è del tipo:
 : U  [0, 1] (tutto l’intervallo, non solo i valori estremi)
Logiche sfumate - 2
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Operatori insiemistici
• Operatori insiemistici per gli insiemi sfumati
– sono definiti per analogia con gli operatori non sfumati
• Alcune scelte comuni
– complemento:
– intersezione:
– unione:
A = 1 ––A
AB = min(A , B)
AB = max(A , B)
Long(walk)
Medium(walk)
1
Medium( )
0
20
Long( )
40
60
80 meters
(Medium(walk)  Long(walk))
Logiche sfumate - 3
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Scelta degli operatori insiemistici
• La scelta degli operatori insiemistici per gli insiemi sfumati non è affatto
ovvia
• Si possono identificare dei requisiti:
– norme e co-norme triangolari
intersezione T-norm (Dubois & Prade)
AND
unione
OR
boundary:
monotonicity:
commutativity:
associativity:
T(0,0) = 0; T(1,a) = a
ac; bd  T(a,b) T(a,b)
T(a,b) = T(b,a)
T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)
T-conorm (Dubois & Prade)
boundary:
monotonicity:
commutativity:
associativity:
S(1,1) = 1; S(0,a) = a
ac; bd  S(a,b) S(a,b)
S(a,b) = S(b,a)
S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)
Logiche sfumate - 4
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Scelta degli operatori insiemistici (2)
• Esistono inifinite norme e co-norme triangolari
• Esempi:
intersezione T-norm
AND
unione
OR
Minimum:
min(a, b)
Algebraic product: ab
Bounded product: max(a  b  1, 0)
T-conorm
Maximum:
Algebraic sum:
Bounded sum:
max(a, b)
a  b  ab
max(a  b, 1)
Qual’è la scelta giusta per la passeggiata della tartaruga?
Long(walk)  (Medium(walk)  Flat(walk))
Logiche sfumate - 5
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Sistemi inferenziali sfumati
• La risposta (o forse la domanda) relativa alla scelta degli operatori
insiemistici può essere meglio inquadrata
considerando i sistemi inferenziali sfumati
– (fuzzy inference systems)
• Sono sistemi a regole
– in cui si usa una rappresentazione tramite insiemi sfumati
– per le premesse e le conseguenze
• Molto usati nei sistemi di controllo automatico
Logiche sfumate - 6
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Sistema di Mamdani
• Una base di regole sfumate
conditioning
z1=a
z2=b
A1
if (z1 is A1)
and (z2 is B1)
then (u is C1)
B1
1
1
1
result
û
z1
if (z1 is A2)
and (z2 is B2)
then (u is C2)
1 = min(1, 1)
C1
z2
B2
A2
2
z1 is a
2
z1
2
z2 is a
u
C2
u
(u) = max(min(C1, 1), min(C2, 2))
z2
u
2 = min(2, 2)
– le premesse vengono intersecate con le osservazioni
– i degrees of fulfillment  vengono propagati ai conseguenti
– si calcola l’unione delle conseguenze
Logiche sfumate - 7
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Sistema di Sugeno
• Una base di regole sfumate
z1=a
if (z1 is A1)
and (z2 is B1)
then u = f1(z1, z2)
A1
B1
z2=b
1
1
1
z1
if (z1 is A2)
and (z2 is B2)
then u = f2(z1, z2)
z2
B2
A2
2
z1 is a
2
z1
û = 1 f1(a, b) + 2 f2(a, b)
2
z2 is a
z2
– il calcolo dei degrees of fulfillment  è identico al caso precedente
– ma l’unione dei  è calcolata in modo diverso
Logiche sfumate - 8
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Sistemi logici sfumati
• Sono sistemi molto diversi dalla logica classica
v()
conseguenza logica

semantica
significato

semantica
rappresentazione
simbolica
derivabilità ?
v()
• Infatti:
– il linguaggio formale perde completamente rilevanza
• tuttavia rimane il concetto di simbolo (long, short, medium) ...
– il calcolo inferenziale si effettua per via semantica
– il livello di generalità è scarsissimo
• si tratta di fatto di sistemi ‘ad hoc’
• una logica per ogni problema
– però i sistemi funzionano ...
Logiche sfumate - 9
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Un’ipotesi esplicativa
• La logica sfumata potrebbe essere un incontro tra:
– logica modale
– probabilità
logica classica
logica modale
one particular walk
the same particular walk
one possible set
Long(x)
Long(x)
All conceivable walks
All conceivable walks
many possible sets
Logiche sfumate - 10
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Un’ipotesi esplicativa (2)
• La probabilità misura l’appropriatezza delle descrizioni
– dal punto di vista del soggetto che ne fa uso
walk 
a probability
distribution ( )
Long(x)
All conceivable walks
walk 
Long(x)
Long(x)
( )
Long(m) = (Long(x)  (length(x) = m))
Logiche sfumate - 11
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Riferimenti
• Il programma dimostrativo dei fuzzy inference systems
si trova al sito:
http://ai.iit.nrc.ca/IR_public/fuzzy/fuzzyJToolkit.html
• Il sistema si integra anche con Jess
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