LE CONICHE
2
2
ax

bxy

cy

dx

ey

f

0
1
ARGOMENTI TRATTATI
1. Le coniche, quali sono e come sono fatte
2. Considerazioni storiche
3. Le coniche come sezioni piane di un cono
4. Le coniche nella fisica
5. Le coniche nell’algebra
6. Definizioni e proprietà importanti
7. Le coniche come luoghi geometrici
8. Lo studio di una conica
9. Rette tangenti ad una conica condotte da un punto
10. Esercizi di riepilogo
2
LE CONICHE, QUALI SONO E COME SONO FATTE
3
CONSIDERAZIONI STORICHE
Le coniche sono curve studiate sin dall'antichità e molti matematici hanno dato il loro contributo
allo studio di tali curve.
Sembra che per primo Menecmo (375-325 a.C.), un matematico greco maestro di Alessandro
Magno, si sia imbattuto nelle coniche nel tentativo di risolvere uno dei tre famosi problemi della
matematica greca (i problemi di Delo). Egli stava studiando curve dotate di proprietà adatte alla
duplicazione del cubo.
Apollonio (262-190 a.C.), conosciuto come il Grande Geometra, consolidò ed approfondì i
precedenti risultati sulle coniche nell'opera Le Coniche.
Apollonio fu il primo a dimostrare che era possibile ottenere tutte e tre le sezioni coniche
intersecando un cono con un piano e facendo poi variare l'inclinazione di tale piano. Fu anche il
primo ad attribuire i nomi di ellisse, parabola, ed iperbole.
Tali nomi traggono origine dal confronto di due grandezze caratteristiche di ciascuna curva. Ellisse
vuol dire mancanza, iperbole significa "andare oltre", e parabola, "mettere accanto".
Pur interessante dal punto di vista matematico, lo studio delle coniche aveva scarsi interessi
pratici e venne abbandonato per diversi anni.
Solo dopo circa 1800 anni lo studio di Apollonio poté fare passi avanti. Questo fu dovuto
essenzialmente all'introduzione dei nuovi metodi matematici basati sulle coordinate cartesiane, ma
anche al sorgere di un nuovo interesse scientifico.
Da segnalare nell'ordine Galileo (moto di un proiettile) Cartesio, Keplero, Pascal, ed infine
Newton, che utilizzarono lo studio delle coniche applicato a scoperte scientifiche.
4
LE CONICHE COME SEZIONI PIANE DEL CONO
Chiamiamo conica quella curva piana che si ottiene intersecando una superficie conica di rotazione a due
falde con un piano.
Si definisce superficie conica di rotazione a
due falde la superficie generata da una retta r
che ruota di 360° intorno ad un asse a, che la
interseca in un punto V, formando con esso un
angolo  costante.
Definizioni:
r – retta generatrice;
a – asse di rotazione e di simmetria;
 – angolo di semiapertura, con 0 <  < 90° ;
V – vertice del cono di rotazione;
 – piano secante;
n – normale al piano 
a’ – piano a-n ∩ piano 
 – angolo acuto fra asse a e a’
Possono verificarsi i seguenti casi:
1. Il piano  non passa per V
a. 0   < 
iperbole
b.  = 
parabola
a.  <  < 90° ellisse
d.  = 90°
circonferenza
2.
Il piano  passa per V  coniche degeneri.
a. 0   < 
una coppia di rette
b.  = 
una retta
a.  <   90°
un punto (il punto V)
5
6
LE CONICHE IN FISICA
In particolare le leggi di Keplero sui movimenti dei pianeti diedero una notevole applicazione delle
coniche e delle loro proprietà geometriche. In termini moderni possiamo dire che ogni corpo dotato di
massa determina intorno a sé una zona di spazio in cui le altre masse risentono della sua attrazione, un
campo gravitazionale. Un corpo che si muove in un campo gravitazionale, può descrivere tre diversi tipi
di traiettorie: ellittica, iperbolica o parabolica. Tali traiettorie dipendono dalla velocità iniziale e dalla
direzione del corpo. Nel caso di orbite ellittiche si parla di traiettoria chiusa (per es. la terra intorno al
sole, la luna intorno la terra). Nel caso di orbite iperboliche e paraboliche si parla di orbite aperte (per es.
una cometa intorno al sole).
Le coniche descrivono traiettorie possibili di corpi in
interazione gravitazionale (per es. il sole e la terra, il sole e
una cometa).
Anche il moto di una carica in un campo elettrico a simmetria centrale, cioè originato da una carica
puntiforme, è caratterizzato da traiettorie che appartengono alle “coniche”.
7
LE CONICHE NELL’ALGEBRA
Definizione Si chiama conica il luogo geometrico dei punti del piano le cui coordinate (x;y) soddisfano
ad un’equazione algebrica di 2° grado a coefficienti reali, del tipo
2
2
ax

bxy

cy

dx

ey

f

0
(*)
con
almeno
uno
dei
coefficien
tre
ti
a,
b,
c
diverso
da
zero.
All’insieme delle soluzioni ( xi ; yi ) dell’equazione (*) possiamo infatti far corrispondere le coordinate
dei punti Pi ( xi ; yi ) del piano cartesiano e tali punti formano appunto una conica.
La corrispondenza è biunivoca, cioè vale anche l’affermazione: ai punti Pi ( xi ; yi ) di una conica,
tracciata in un riferimento cartesiano, corrispondono le soluzioni dell’equazione (*).
Classificazione delle coniche Data un' equazione del tipo (*), si dimostra che è possibile stabilire di
quale conica si tratti, utilizzando i seguenti potentissimi strumenti algebrici:
1° ad ogni conica può essere associata una matrice M, detta matrice associata alla conica:
2d
2
a b



M

2 c e2
b



d
2
e
2
f




 il
con
det
M
suo
determinan
te
,

b ed
be d

d


2 b




det
M
a
c
f
e2
 f 
  
c
 
.
2
2 22
22 2

2


8
a
b 2
2° dalla matrice M, si può estrarre la matrice 
 , con determinante :
b 2 c 

2
a
b
2


b
δ

det
;
δ

a
c

(
è
detto
discr
nte
del
con
.


b
2
c
4


3° dalla matrice M, si ricava il termine di realtà:  det
M
ac.
Mediante i tre elementi det(M), δ, γ, è possibile classificare le coniche, espresse dalle equazioni
del tipo (*), seguendo il seguente schema :
• det(M) = 0 la conica è degenere, cioè è l'unione di due rette, che possono essere distinte o
coincidenti, dette componeneti della conica (il primo membro dell’equazione
(*) si può scomporre in due fattori di primo grado).
• det(M) ≠ 0 la conica è non degenere e in tal caso la determinazione del tipo di conica dipende
dal valore del discriminante δ della conica :


un'
iperbole


0
(iperbole
equilatera
se
a

c

0)


la
conica
è
una
parabola


0


ellisse
reale
se

0


un'
ellisse


0
(una
circonfere
nza
se
b

0
e
a

c)


ellisse
imma
a
se

0






9

Osservazione
Se nell'equazione (*) manca il termine “xy” gli assi di simmetria della conica sono paralleli ciascuno ad un
degli assi cartesiani, altrimenti il termine “xy” implica che gli assi di simmetria della conica siano ruotati
.
2
2
ba

c
rispetto agli assi cartesiani di un angolo , tale che tg
Esempi
1. Classifica le seguenti coniche, di cui è data l’equazione in forma generale.
2
2
a. x
-3y
2xy
2x0 ;
1 1 1
M 1 3 0 10-101330
det
1 0 0
δ-31-40 ;
det(M)
0 laconica
nonè degenere
;
conclusion
i: δ0 laconica
è un'
iperbole
;
ac20 l'iperbole
nonè equilatera
10
3
2
6
2
2

b.
3x
4y
4xy
12x

8y

12

0
; det
M


2
4 4
3
(48
16)

2
(-24

24)

6
(-8
24)

0
;
6 4 12
conclusion
i
: poichè
det(M)

0
, la
conica
è
degenere
.


2
2
2
2


Scompongo
in
fattori
: 3x
4y
4xy
12x

8y

12

0
4y
4
x
2
y

3
x

4
x

4

0






2
x
2
4
x

2
12
x

2




4y

4
x
2
y
3
x
2
0
;y

;
4
2
2
2
2
3
y x2;
-2x-24x-2
2
y
;
x-2
4
y
;
2
l'equazione
della
conica
può
essere
scritta
come
:
 3
 x-2
4y x2y3x
-62y
-x20 ,
0 2y
2 
 2

quindi
l'equazione
individua
laconica
degenere
coincident
e con
l'unione
didue
rette
diequazione
3x2y
-60 e x2y
-20.
11
1 0
2
M
0 1 -5
c. 
x
y-4x
-10y

29

0; det
1
(29
-25)

2
(2)

0
;
-2 -5 29
2
2
conclusion
i: poichè
det(M)

0
, la
conica
èdegenere
.
2
2
2
Cerco
le
soluzioni
: 2
x
y
-4x
-10y

29

0
y
10y

x
-4x

29

0
x

2

2
2 
y

5
25

x

4
x

29
; y

5
-
x
-2

l'
equazione
individua
ilpunto
C(2;5).

y

5

Osserva
che
l'
equazione
ha
formalment
ele
caratteris
tiche
di
una
circonfere
nza
(

0,
b

0,
a
c),
quindi
è,
in
particolar
e,
una
circonfere
nza
degenere,
cioè
di
raggio
nullo,
con
centro
C(2;5)
.
2
2
d.3x
4y
-4x
12y
0;
3 0 2
M
 0 4 6 3(-36)
det
-28
124
0
2 6 0
12
0;
det(M)
0
laconica
non
èdegenere
;
conclusion
i:0laconica
èun'
ellisse;
det(M)(a
c)

124
70
laconica
èreale
12
Altri esempi
1. Determinare il tipo di conica individuato dalle equazioni assegnate:
a.
x2 – y2 + xy + 2x + 1 = 0 ;
det(M)= -0,25 ≠ 0
conica non degenere
 = – 1 – 1/4 = -5/4 < 0  iperbole ;
in particolare a + c = 0 
iperbole equilatera ;
b. 5x2 + 8y2 + 4xy + 8x + 14y + 5 = 0 ;
det(M)= -81 ≠ 0 conica non degenere
 = 40 – 4 = 36 > 0 
ellisse ;
γ = det(M)( a + c) = -81·13 < 0  ellisse reale;
13
c.
x2 + 2xy + y2 + 10x - 6y + 25 = 0 ;
det(M)= -64 ≠ 0
 = 1–1 = 0
d.
conica non degenere

parabola ;
x2 + y2 + x – y – 2 = 0 ;
det(M)= -2,5 ≠ 0
conica non degenere
 = 1·1 = 1 > 0 
ellisse, in particolare è una circonferenza, perchè b = 0 e a = c
γ = det(M)( a + c) = -2,5·2 < 0  circonferenza reale di centro C(-1/2;1/2).
e.
5x2 + 4 y2 + 2 x – 3 y +1 = 0 ;
det(M) = 4,75 ≠ 0
conica non degenere
 = 20 > 0 
ellisse ; γ =det(M)( a + c) = 4,75·9 > 0  ellisse immaginaria.
14
DEFINIZIONI E PROPRIETA’ IMPORTANTI
Considerazioni generali sulle curve algebriche
Definizione
Una curva del piano cartesiano si dice algebrica se è rappresentata da un’equazione
F(x;y) = 0 ,
dove F(x;y) è un polinomio nelle variabili x e y a coefficienti reali.
2
2
Se il polinomio F(x;y) è di secondo grado, la curva è una conica: F


x;
y

ax

bxy

cy

dx

ey

f
.
Una curva non algebrica si dice trascendente.
Per esempio, sono trascendenti le curve di equazione y = log ax , 2y -3ex = 0 .
Definizione
Si dice ordine della curva algebrica di equazione F(x;y) = 0 il grado del polinomio F(x;y).
1^ proprietà - L’ordine di una curva algebrica coincide con il numero massimo di intersezioni che
questa può avere con una retta e in particolare con l’asse delle ascisse y = 0 .

F
x
;
y

0
sia
di
grado
n






Infatti
:

F
x
;
mx

q

0
e
in
particol
e
F
x
;0

0

y

mx

q
(e
in
particolar
e
y

0)




L'
equazione
F
x
;
mx

q

0
ha
grado
n,
in
partcolare
F
x
;
0

0
ha
al
massimo
grado
n,
quind
per
il



teorema
fondamenta
le
dell'
algebra
,
le
equazioni
F
x
;
mx

q

0
e
F
x
;
0

0
hanno
al
mass
n
solu
cioè
la
retta
interseca
la
curva
al
massimo
n
volte.
15
Teorema fondamentale dell’algebra: un’equazione di grado n  1 ammette n radici, reali o complesse,
ciascuna contata con la propria molteplicità.
In particolare le soluzioni reali sono al massimo n (pensa all’equazione di 2°grado e alle considerazioni su ).
2^ proprietà
Curve passanti per l’origine.
Il punto P(x0;y0) appartiene alla curva F(x;y) = 0 se e solo se F(x0;y0) = 0 ,
in particolare il punto O(0;0) appartiene alla curva se e solo se F(0;0) = 0.
Ne segue che, la curva di equazione F(x;y) = 0 passa per l’origine O(0;0) se e solo se nell’equazione
manca il termine noto.
Prendiamo, per esempio, l’equazione di 2° grado di una conica:
2
2
ax

bxy

cy

dx

ey

f

0
;
il
punto
O(0;0
appa
alla
cur
se
e
sol
se
f

0
.
3A proprietà
Simmetria di una curva rispetto agli assi e rispetto all’origine.
Consideriamo i seguenti tre casi di simmetria:
1° la curva è simmetrica rispetto all’asse y se e solo se nel polinomio F(x;y) la x compare solo al grado pari;
si ha
F(-x;y) = F(x;y);
2° la curva è simmetrica rispetto all’asse x se e solo se nel polinomio F(x;y) la y compare solo al grado pari;
si ha
F(x;-y) = F(x;y);
3° la curva è simmetrica rispetto all’origine del riferimento cartesiano se e solo se nel polinomio F(x;y) la x
e la y compaiono solo al grado pari , oppure solo al grado dispari e manca il termine noto;
si ha
F(-x;-y) = ± F(x;y) .
16
Considerazioni conclusive relative alle simmetrie per le coniche
Dopo
aver
osservato
che
se
b

0,
allora
manca
il termine
rettangola
re
in
'xy'
egli
assi
di
simmetria
sono
paralleli
agli
assi
del
riferiment
ocartesiano
, consideria
mo
iseguenti
casi
:
d
0
, e
0 manca
il termine
di
primo
grado
in
'x'
, allora
la
curva
èsimmetrica
rispetto
2
2
2
all'
asse
y
, infatti
ax

cy

ey

fa(

x
)2
cy

ey

f,
cioè
F(

x
;y)

F
(x
;y)
;
e
0
, d
0 manca
il termine
di
primo
grado
in
'y'
, allora
la
curva
èsimmetrica
rispetto
b

0 e
d
e
0
2
2
2
all'
asse
,
xinfatti
ax

cy

dx

fax

c
(
y
)2
dx

f,
cioè
F(x
;
y)

F
(x
;y)
;
xed
ycompaiono
solamente
al
secondo
grado
, allora
la
curva
èsimmetr
rispetto
all'
origine
del
riferiment
ocartesiano
,
2
2
infatti
ax

cy

fa(

x
)2
c
(
y
)2
f, cioè
F(

x
;
y)

F
(x;
y)
.
17
18
LE CONICHE COME LUOGHI GEOMETRICI
1. Definizione generale di conica mediante l’eccentricità
Si dice conica il luogo dei punti P del piano per i quali è costante il rapporto fra la distanza di P da un
punto fisso F, detto fuoco, e quella da una retta fissa d, non passante per P, detta direttrice :
PF


e con
e

R
PH
Il numero e si chiama eccentricità della conica.
Si dimostra che : • per l’ellisse 0  e < 1 ( e = 0 circonferenza di raggio nullo – la conica degenera in un punto)
• per la parabola e = 1
• per l’iperbole e > 1
19
Dalla geometria all’algebra
Dalla definizione generale di conica, come luogo geometrico, deduciamo l’equazione algebrica generale delle
coniche, inserendo nel piano un opportuno riferimento cartesiano ortogonale.
PF
e, coneR costante
.
PH
Scelto
unopportuno
riferiment
o cartesiano
, i punti
interessat
i hanno
leseguenti
coordinate
:
Dalla
definizion
e diluogo
geometrico
siha:
coincident
e con
ilcentro
delrif.
cart.
F0;0 fuoco,

generico
appartenen
tealla
conica
-luogo
geometrico
Px;y punto
Hd;y proiezione
diP sulla
direttrice
d,diequazione
xd .

x2 y2
e, condx 
dx
PF
Dalla
geometria
all'
algebra
:
e 
PH
 x2 y2 edx

1-e x y 2e dxe d 0
2
2
2
2
2 2
(*)
.
L’equazione (*) è di secondo grado in x e y, cioè la tipica equazione delle coniche, precisamente del tipo:
2 2
ax

cy

dx

f

0
(vedi
2

esempio
)
.
20
2
2
Osservazio
ni
dal
confronto
fra
l'
equazione
ax

cy

dx

f
0
2
2
con
l'
equazione
generale
ax

bxy

cy

dx

e
y

f
0
:
b

0manca
iltermine
in
'xy'
perchè
gli
assi
di
simmetria
sono
paralleli
agli
assi
cart

in
questo
caso
si
ha
:
e

0manca
iltermine
in
'y'
perchè
l'
asse
è
x
asse
di
simmetria
.

 
22 2
2
22
2 2
per
e

0
l'
equazione
(*)
diventa
:1
e
x
y
2
e
dx

e
d
0
x

y
0
,equazion
della
circ


di
raggio
nullo,
cioè
verificat
a
solamente
dal
punto
F

O
0;0
,pertanto
il
luogo
geometrico
così
defini
esclude
la
circonfere
nza
reale
( vedi
1

esempio
). Si
osserva
inoltre
che,
altendere
dell'
ecentricit
à
'e'
a
zero
l'
ellisse
tende
a
diventare
una
circonfere
nza
.
1o Esempio
Rappresent
azionegraficadelle curve
di equazione
x2  y2
 e , con d  x ,
dx
direttrice
d 1
nel caso in cui 
F0 ; 0 coordinatedel fuoco
e per i seguentivaloridell'eccentrici
tà e ,
tutti con 0  e 1 per ottenereuna serie di ellissi:
e  0,5; e  0,25; e  0,125; e  0,05; e  0,025;
e  0,0125; e  0,005.
21
2 o Esempio
Rappresent azione grafica delle curve
di equazione
x 2  y2
 e , con d  x ,
dx
nel caso in cui
direttrice
d  1

 F0 ; 0  coordinate del fuoco
e per i seguenti valori dell' eccentrici tà e :
e  0,5

e  1
e  2

0  e 1
e 1
ellisse
parabola
iperbole
22
2. Definizioni specifiche di conica
• Circonferenza - Si dice circonferenza il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un
punto C, detto centro. La distanza costante PC si chiama raggio della circonferenza.
• Parabola - Si dice parabola il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto F,
detto fuoco, e da una retta d, detta direttrice.
• Ellisse - Si dice elisse il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la somma delle
distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi.
• Iperbole - Si dice iperbole il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la differenza
delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi.
Dalla geometria all’algebra
Da queste definizioni specifiche, dedurremo, nei capitoli seguenti, le equazioni algebriche delle coniche,
inserendo nel piano opportuni riferimenti cartesiani ortogonali.
23
24
LO STUDIO DI UNA CONICA
Studiare una conica significa:
1. classificare la conica analizzando la sua equazione;
2. trovare gli elementi caratteristici (vedi pagina precedente);
3. disegnare il grafico.
Esempi
In questo contesto non ci occupiamo delle coniche con il termine ‘xy’ e, per tracciare il grafico, ci limitiamo a determinare
solo
alcuni elementi caratteristici: centro e assi di simmetria, vertici.
2
2
1.
Studia
la
conica
4x

y

24
x

4
y

36

0
Classifica
zione
4 012
M
0 1 2
det
4
(
36
-4)

12
(-12)

128

144


16

0
; 
4

0;

16
5


80

0
12
2 36
poichè
det(M)

0
, la
conica
non
èdegenere
;
conclusion
i:
poichè

0e
0,
la
conica
èun'
ellisse
reale.
Osserviamo
che
manca
il termine
rettangola
re
in
'xy'
,cioè
b

0eche
quindi
gli
assi
di
simmetria
sono
paralleli
agli
assi
cartesiani
.
25
Elementi
caratteris
tici
Cerco
il centro
di simmetria
C(x
la traslazi
onecheportaC nell'
origine
O(0;0)
:
0;y0) imponendo
( N.B. b0  assidisimmetria
paralleli
agliassicartesiani
, quindi
se il centro
di simmetria
coincide
conl'origine
delrif.cart.
, alloramancano
i termini
di primo
gradotanto
in 'x', quanto
in 'y'; vedi
pag.16.)
x xT x0
 4xT x02 yT y02 24xT x04yT y0360;

yyT y0
2
2
4xT
yT
8x0 24 xT 2y0 4yT 4x02 y02 24x
0 4y
0 360;
Dallacondizione
di annullamen
to dei termini
di primo
grado
deduciamo
le coordinate
delcentro
di
simmetria
C e le equazioni
degliassidi simmetria
r, s:
8x0 240
x0 3
,

 C-3;-2


2y0 40
y0 2
r: x3 , s: y2 .
Cerco
le coordinate
dei vertici
:
4x2 y2 24x4y360
x2 6x80
x1 4; x2 2


 V14;2; V22;2;



y


2
y


2
y


2



4x2 y2 24x4y360
y2 4y0
y 4; y2 0

 1
 V33;4; V43; 0;

x


3
x


3
x


3



26
Osserva che un’ellisse è sempre
inscritta in un rettangolo, come
appare in figura, quindi, per
tracciare il grafico della conica,
note le coordinate dei vertici, è
utile prima rappresentare il
rettangolo.
Infine, per rendere il disegno più
preciso, si può determinare
qualche altro punto:
2
2
2.
Studia
la
conica

2x

y

6
x

5
y

3

0
Classifica
zione
20 
3

det
M

0 1
5
/
2


2

(
3

25
/
4
)

3

3


5
/
2

0
;
3

5
/
23



2

0
;
det(M)

0

la
conica
non
è
degenere
;
conclusion
i
:

0

la
conica
è
un'
iperbole
con
gli
assi
di
simm.
paralleli
agli
assi
cartesi
(
b

0
).

27
Elementi
caratteris
tici
Cerco
il centro
di simmetria
C(x
la traslazi
onecheportaC nell'
origine
O(0;0)
:
0;y0) imponendo
x xT x0
2
2
 2xT x0 yT y0 6xT x05yT y030;

yyT y0
2xT2 yT2 22x0 3 xT 2y0 5yT 2x02 y02 6x0 5y0 30;
Dallacondizione
di annullamen
to dei termini
di primo
grado
deduciamo
le coordinate
delcentro
di
simmetria
C e le equazioni
degliassidi simmetria
r, s:
2x0 30
x0 3/2
,

 C3/2;5/2


2y

5

0
y

5/2
 0
0
r: x3/2, s: y5/2.
Cerco
le coordinate
dei vertici
:

12 104
2x2 y2 6x5y30
8x2 24x130
x1,2
; V20,2;5/2;


 V12,8;5/2
8

y

5/2
y

5/2


y5/2

L'iperbole
ammette
solodue vertici
, quindi
il secondo
sistema
nondeveavere
soluzioni,
infatti
:
Δ
sol.
2x2 y2 6x5y30
2y2 10y150
 50 nessuna

4

x 3/2
x 3/2

x -3/2
28
Per tracciare in modo più preciso
un’iperbole sarebbe necessario
tracciare gli asintoti, ma in questa
fase accontentiamoci di fare una
‘bozza’ del grafico.
Rendiamo il disegno accettabile
determinando qualche altro punto:
2
3.
Studia
la
conica
y

x

y

6

0
Classifica
zione
0 0 1
/
2
11 1

det
M

0 1
1
/
2


(

)



0
;
22 4
1/2

1
/
2
6


0
;
det(M)

0

la
conica
non
è
degenere
;
conclusion
i
:

0

la
conica
è
una
parabola
con
l'
asse
di
simm.
parallelo
ad
uno
degli
assi
cart.
(b

0
).

29
Elementi
caratteris
tici
La parabolanon ha centrodi simmetria,
tuttav
ia è possibiletrovarele coordinate
del verticeV(x0; y0 ), usandoancorail
metododella traslazi
one,che porta
V(x0; y0 ) nell'origineO(0;0)
:
x  xT  x0

y  yT  y0
yT  y0 2  xT  x0 yT  y0 6  0;
yT2  xT  2y0 1 yT  y02  x0  y0 6  0;
Dallacondizione
di annullamen
to dei termini
di primogrado,deduciamo
che:
 si può annullare
solamente
il termine
in ' y', per y0 1/2,
quindil'assedi simmetria
è paralleloall'asse' x' ( F(x;-y) F(x;y));
 y 1/2 è l'assedi simmetria
e l'ordinatadel vertice
.
Determinia
mo l'ascissadel vertce
:
y2  x  y 6  0
x  25/ 4
  0

y 1/ 2
y 1/ 2
 V25/4;1/2 ,
r : y 1/2 .
y2  x  y 6  0
y2  x  y 6  0
B(0;-2)
Intersezio
ne con gli assi cartesiani
: 
 A6;0 ; 

C(0; 3)
y  0
x  0
30
2
2
4.
Studia
la
conica

4
y
x

16
y

16

0
Classifica
zione
1 0 0
M
0 
det
4
8
1
(
64

64
)
0
;
0
8
16
poichè
det(M)

0
, la
conica
èdegenere
eil
polinomio
aprimo
membro
dell'
equazione
può
essere
scompo
in
fattori
:
2
2
x


(
x
4
y

16
y

16
)
0  2
(
x
2
y

4
)

0 
x

2y

4

2y

4
0
;
l'
equzione
è verifica
ta
da 
2y
x

4

0 o

2y

x
4

0
, che
sono
le
equazioni
di
due
rette
incident
nel
punto
A(0
;-2)
:
2
x

2y

4

0
x

0





x

2y

4

0
y

-2
.


31
RETTE TANGENTI AD UNA CONICA
CONDOTTE DA UN PUNTO
Per determinare le equazioni delle tangenti ad una conica condotte da un punto P(x p;yp), si applicano in
generale o il metodo del discriminante nullo o il metodo delle formule di sdoppiamento.
In casi particolari, come per la circonferenza, si possono applicare altri metodi più comodi.
Metodo del discriminante nullo -  = 0
1.
2.
3.
4.
si scrive l’equazione del fascio di rette con centro in P;
si scrive il sistema formato dalle equazioni del fascio e della conica;
si trova l’equazione risolvente di 2° grado in una delle due incognite;
si impone la condizione di tangenza  = 0 per calcolare il coefficiente angolare delle due tangenti
(sarà una sola, se P appartiene alla conica, nessuna soluzione se P è interno alla conica).
32
Esempio Dopo aver classificato la conica di equazione x 2 + y2 - 8x - 4y + 10 = 0 , determina le equazioni
delle rette ad essa tangenti e passanti per il punto P(-1 ; 7).
1
0

4


x

y
8x
4y

10

0
;det
M

0
1

2

1

(10
4)
4

4


10

0
; 
1

0
;

4

2
10

22

conclusion
i
:
det(M)

0

la
conica
non
è
degenere;

0

la
conica
è
un'
ellisse,
in
particol
e
è
una
circonfere
nza
perchè
b

0
e
a

c.
Verifichiamo ora se il punto P appartiene alla conica: 1 + 49 + 8 - 28 + 10 = 40  0,  P non appartiene
alla conica, pertanto l’equazione =0 può avere due soluzioni (due tangenti) o nessuna soluzione (nessuna
tangente).
x
; ymx
1
. equazione
del
fascio
di
centro
P(-1;7)
:y
-7

m
1

m

7
;
y

mx

m

7

2
2.2 2
2
x
(mx

m

7)

8
x

4
(mx

m

7)

10

0
;
x
y
8
x

4
y

10

0

3
.
22
2
2

x
m
x
m

49

2
m
x

14
mx

14
m

8
x

4
mx

4
m

28

10

0
;
2




2 2
2
2
... 1

m
x
2
m

5
m

4x

m

10
m

31

0
;


5
 25

9
2
4. 
0
; ... 3
m

10
m

3

0
; m

;
1,2
4
3
m

3

1
.

m


1
3
2
Conclusion
e
: le
rette
tangenti
, condotte
dal
punto
P,
sono
:y

-3x

4e
1 20
y

-x
 .
3 3
33
Metodo delle formule di sdoppiamento
Data l’equazione di una conica espressa in forma normale
2
2
ax

bxy

cy

dx

ey

f

0
e un punto P(xP ; yP), si sostituiscono alle variabili x e y dell’equazione della conica le seguenti espressioni:
x

x

P
x

; 2

xx
;
x
P

2

y

y

2
P
y

; y

yy
;
fatta
la
sostituzio
ne
si
ottiene
l'
equazione
di
una
retta

.

P
2

y

y
x
 x
P
P
xy

;

2

A questo punto, considerato il significato geometrico della retta , si presentano tre casi:
34
1°
P è esterno alla conica  la retta  è la retta polare e interseca la conica nei due punti di tangenza
A e B delle due rette tangenti, r ed s, cercate;
2°
P appartiene alla conica  la retta  è la retta tangente cercata;
3°
P è interno alla conica
 la retta  non interseca la conica, o  non esiste se P coincide con il
centro di simmetria della conica.
Esempio Consideriamo la circonferenza dell’esempio precedente, di equazione x 2 + y2 - 8x - 4y + 10 = 0 ,
e troviamo le equazioni delle rette ad essa tangenti, condotte da un punto P, nei seguenti tre casi:
1°
2°
3°
4°
1

P(-1 ; 7) è esterno alla circonferenza;
P(2;5) appartiene alla circonferenza;
P( 2; 4) è interno alla circonferenza e non coincide con il centro di simmetria;
P(4; 2) è il centro di simmetria della circonferenza.

;
P
1;7
x
1y

7

applico
le
formule
di
sdoppiamen
to
x

7y
8
4

10

0
;
2 2
2
2
x

y
8
x

4
y

10

0
x

7y
4x

4
2y
14

10

0
;5x

5y

0
;y

xèla
retta
polare

.
2 2

x

y
8
x

4
y

10

0
2
2
Trovo
ipunti
A
eB
ditangenza
:


x
x
8x
4x

10

0
; 26x
x

5

0
;
y

x

x
1


; B

;

3
9
x
5
; 1

A
1;1
5;5
1,2
x
5

2




; y
Tangente
rpassante
per
P
eA
: coeff.
ang.
m

1
7
1

1
-3
;y
7


3
x

1


3
x

4
;
1
1
1 20



; y
Tangente
spassante
per
P
eB
: coeff.
ang.
m

5
7
5

1
-; y
7


x

1

x
 .
3
3
3 3
35
2




P4 6;0;
4x6-4x
-16
-4 6-2y

10
0;
3


x4 6 y
applico
leformule
di
sdoppiamen
to 4
x
 6-8
-4 
10
0;
2
2
2
2
x
y

8
x4
y
10
0
2;4;
P
y


6
x-32 6 èla
retta
tangente
.
2
x2 y4
applico
leformule
di
sdoppiamen
to2x
4y
-8
-4

10
0;
2
2
xy 
8
x4
y
10
0
2
2
2x
4y
-4x
-8-2y
-8
10
0;
-2x
2y
-60;
yx
3 èlaretta
.
yx
3


2
Verifico
che
non
interseca
laconica
: 2 2

2x

6
x70; 
50,
4
x y 
8
x4
y
10
0

quindi
nessuna
soluzione
reale.
4

4;2;
P
x4 y2

applico
le
formule
di
sdoppiamen
to
4x

2y
8
-4

10
0;
2
2
2
2
x
y

8
x4
y
10
0
4x
2
y-4x
-16
-2y
-4
10
0;
-10
0, scrittura
assurda
, quindi
non
esiste
laretta
.
36
Esercizi
Determina le equazioni delle tangenti alla conica di equazione assegnata, condotte dal punto P:
a. 2
x
2x
–
y
–
1

0
P(2,3)
applicare
ilmetodo
del
discrimina
nte
nullo
Verifico
se
Pappartiene
alla
conica
: 4

4
-3
-1

2

0
Pnon
appartiene
alla
conica.
x-2
; ymx
1.equazione
del
fascio
di
rette
di
centro
P(2;3)
:y
-3

m
-2m

3
;
y

mx
-2m

3

2.2
2
x
2x

(mx
-2m

3
)
1

0
;
x
2x
–
y
–
1

0

3. 2
x
(2

m)x

2m

4

0
;
m

2

2
4.Δ

0
; ... m

12m

20

0
; m

6
16
; 1
1,2
m
10

2
Conclusion
e
: le
rette
tangenti
,condotte
dal
punto
P,
sono
:y

2x

1e
y

10x

17
.
2
2
b.
5x
–
y

6xy

4y

1

0 P(1,
–
2)applicare
le
formule
di
sdoppiamen
to
Verifico
se
P
appartiene
alla
conica
: 5
4
12
8

19

0
P

alla
conica.

2x

y y

2
Applico
le
formule
di
sdoppiamen
to
:
5x

2y

6

4 
1

0
;
2
2
5x

2y

6x

3y

2y

4

1

0
;

x

7y

3

0è
la
retta
τ
.
2
2

5x
–
y

6xy

4y

1

0
Trovo
ipunti
A
e
B
ditangenza
: 


x

7y

3

0

37
2

1
43y

112y

23

0con


0,
quindi
la
retta
non
interseca
la
conica
e
non
esistono
tangenti
condotte
da
P
.
P
è
interno
alla
conica.
c.
2

x
xy

y

3y

0 P(0
;0)
Applicare
entrambi
i metodi.
2
Verifico
se
Pappartiene
alla
conica
:
0
0
Pappartiene
alla
conica.
Metododelleformuledi sdoppiamen
to
x0
x  0  y 0
y0
 y 0  3
0 ;
2
2
3
y0 ;
2
y  0 è la retta tangente .
Metododel discrimina
nte nullo
y  mx
 2
2
x  xy y  3y 0

x2  mx2  m2x2  3mx  0 ;
m

 m 1 x2  3mx  0 ;   9m2  0  m  0 ;
quindiy  0 è la retta tangente
.
2
38
Esercizi di riepilogo
Classifica le coniche seguenti, disegnale (solo se manca il termine in ‘xy’) e trovane le tangenti condotte dal
punto P.
1. 5x2 + 5y2 – 11xy + 1 = 0
P(1;1)
iperbole ruotata - tang: y = – x + 2
2. x2 + y2 – 3x – 7y + 12 = 0
P(– 1;6)
circonferenza - tang: 3x + y – 3 = 0 ; x + 3y – 17 = 0
3. 4x2 – 4xy + y2 + 6x + 1 = 0
P(0;0)
parabola ruotata - tang.: y = – x ; y = 5x
4. x2 – 2y2 – 2y – 1 = 0
P(0;0)
iperbole
5. 4x2 + y2 – 4y + 2 = 0
P(0;0)
ellisse
6. x2 + 2xy – 2x – 6y + 1 = 0
P(1;0)
iperbole ruotata - tang: y = 0 .
-
tang.:
y=±x
- tang.: y = ± 2x
39