TELETRASPORTO QUANTISTICO
Lorenzo Marrucci
Cos’è il “teletrasporto”?
Definizione “naïve”: scomparsa di un oggetto da una
posizione e simultanea ricomparsa del medesimo
oggetto in altra posizione dello spazio (trasferimento
senza moto intermedio)
Una realizzazione concepibile per la fisica classica: il “fax” 3D
oggetto
originale
acquisizione informazioni
su posizioni e velocità atomi
originale
intatto
invio dati
materia
grezza
riposiziona
atomi
copia
oggetto
Alcune caratteristiche qualitative di questo
“teletrasporto classico” stile fax 3D:
• Non si limita a teletrasportare, ma duplica l’oggetto
• Teletrasporto non “simultaneo”: velocità limitata
da quella di invio dati (velocità della luce)
Qualche considerazione di “fattibilità”:
Numero atomi (oggetto di 50 kg)  1028
Informazioni per atomo  100 bit (tipo di atomo e posizione relativa)
Informazioni da acquisire, trasferire ed applicare  1030 bit
Tempo necessario (proc. seriale a 10 GHz)  1020 s  31012 y
Considerazioni quantistiche sulla fattibilità del “fax 3D”:
La misura precisa di posizione perturba velocità e quantità
di moto e quindi aumenta l’energia
p 
10 

p
20
E 


J

3

10
J
2
2

27

11
2m 2mx
3 10  10 
2
x
2
34 2
La variazione casuale di velocità corrisponde ad
un riscaldamento:
1
2
k T  E
2E
6 1020 J
T 

 4000 K !!!
23
k
1.4 10 J/K
Si arrostiscono sia l’originale che la copia!
oggetto
originale
acquisizione
informazioni
originale
intatto
invio dati
materia
grezza
riposiziona
atomi
copia
oggetto
A un livello più fondamentale:
Si è supposto che lo “stato interno” degli atomi non
abbia importanza: ma sarà vero?
Teletrasporto quantistico: ricostruire lo stato
completo | di un oggetto su un altro oggetto
Analogo quantistico del fax 3D:
oggetto originale
in stato |
acquisizione informazioni su |
originale
intatto
invio dati
materia in
stato |
converti
stato in |
copia
oggetto
Ma è possibile?
Problemi:
E’ impossibile misurare lo stato quantistico di una singola
particella o di un singolo sistema (la funzione d’onda)
E’ anche impossibile copiare lo stato quantistico di una
particella su un’altra mantenendo imperturbato l’originale
Quantum no cloning theorem
[Wooters & Zurek, Nature 299, 802 (1982)]
Il “fax 3D quantistico” è impossibile
oggetto originale
in stato |
acquisizione informazioni su |
originale
intatto
invio dati
materia in
stato |
converti
stato in |
copia
oggetto
La cosa finisce qui?
NO! Anzi qui comincia il divertimento
Una via d’uscita è stata trovata da C. H. Bennett e altri
nel 1992
[Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993)]
Idea principale: utilizzare le correlazioni quantistiche di
Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) o entanglement
Correlazioni EPR o entanglement di particelle:
Esempio: - due particelle: 1 e 2 (distinte dalla posizione)
- due stati di singola particella: |a e |b
Uno stato EPR (o entangled):
 12 
1
2
a
1
a2  b1 b2
• Ciascuna particella non ha uno stato ben definito, ma
entrambe sì
• Misurando lo stato di una particella si determina
istantaneamente quello dell’altra, ovunque essa sia
• Queste correlazioni non possono essere spiegate con un
modello locale a variabili nascoste (teorema di Bell, 1964)

Una “base” di stati EPR per due particelle (base di Bell):
Una base “normale” (particelle indipendenti):
a1 a2 ,
a1 b2 ,
b1 a2 ,
b1 b2

La base di Bell (particelle correlate al massimo grado):
12 
12 


12

 12 
1
2
1
2
1
2
1
2
a
a
a
a
1
a2  b1 b2
1
a2  b1 b2
1
b2  b1 a2
1
b2  b1 a2




stati simmetrici per
scambio posizioni
particelle
stato antisimmetrico
per scambio posizioni
particelle
Procedura per teletrasporto quantistico (5 passi):
Passo 1: preparare una coppia di particelle (2 e 3) in stato
EPR, una nel punto di partenza (ALICE) e una nel punto di
arrivo (BOB)
 23 
1
2
a
2
b3  b2 a3

Passo 2: ALICE riceve la particella da teletrasportare (1),
in stato ignoto (indipendente da particelle 2 e 3)
1   a1   b1
Lo stato complessivo delle tre particelle è
 123   1  23

con

   1
2
2
Facciamo due calcoli su questo stato |123:
 123 

2

a1 a2 b3  a1 b2 a3  

2
b
1
a2 b3  b1 b2 a3
 123   12 12   a3   b3   12 12   a3   b3  
 12  12  a3   b3   12  12  a3   b3

Passo 3: ALICE fa una misura congiunta sulle particelle
1 e 2 nella base di Bell
Esiti possibili misura:
12 , 12 ,  12 ,  12
Probabilità ¼ = 25% per ciascun esito

Al momento della misura di ALICE su 1 e 2, la particella 3 (da
BOB) “collassa” istantaneamente nello stato corrispondente:
12
 3   a3   b3
12
 3   a3   b3
 12
 3   a3   b3
 12
 3   a3   b3
(Nota: l’operazione matematica è: 3 = 12123)
Passo 4: ALICE comunica a BOB l’esito della misura con
un segnale classico (limitato dalla velocità della luce).
Essendo quattro gli esiti possibili, il segnale è di 2 bit.
Passo 5: BOB esegue sulla particella 3 una trasformazione
dello stato quantistico (operazione unitaria U) determinata
dall’esito della misura su 1 e 2 comunicato da ALICE
12
 3   a3   b3
|a → |b e |b → |a
12
 3   a3   b3
|a → |b e |b → |a
 12
 3   a3   b3
|b → |b
 12
 3   a3   b3
nessuna trasformazione
Risultato finale:
 3   a3   b3
La particella 3 ha assunto lo stesso stato della particella 1!
Schema riassuntivo:
Alcune caratteristiche importanti di questo teletrasporto:
• Lo stato | viene trasferito ma non viene misurato (resta ignoto). La
particella 1 al termine dell’operazione è in uno stato indeterminato e ha
perso ogni memoria dello stato iniziale. Perciò non si viola il teorema
“quantum no cloning”.
• E’ richiesta la preparazione preliminare di una coppia di particelle in stato
EPR (entangled) e la loro distribuzione nei due siti (passaggio di
informazione non classica)
• Al momento del teletrasporto è richiesto il passaggio di informazione
classica (come nel fax 3D): questo limita la velocità a quella della luce
(teletrasporto non istantaneo, salvo in un caso su 4)
• Il trasferimento dello stato può avvenire sia tra particelle identiche
(distinte solo dalla posizione) che tra particelle di tipo diverso
Il metodo descritto può anche essere generalizzato a
sistemi a molti gradi di libertà:
Base di Bell di stati EPR per due sistemi 1 e 2,
ciascuno a N stati:

nm
12
1

N
N
2 ikn / N
e
k

k 1
1
 k  m  mod N
2
Operatore unitario Unm da utilizzare sul sistema 3 per
ciascun esito nm della misura nella base di Bell sui
N
sistemi 1 e 2:
2 ikn / N
Uˆ nm   e
k
 k  m  mod N
k 1
Informazioni da mandare classicamente: 2 log2N bit
Schema ipotetico del teletrasporto quantistico di un oggetto:
ALICE
oggetto originale
misura congiunta
in base di Bell
materia in
stato EPR
materia in stato
EPR
invio dati su
esito misura
BOB
applica trasformazione
selezionata da dati
oggetto
teletrasportato
Prime realizzazioni sperimentali del teletrasporto (1997):
Ora descriviamo
questo lavoro
Schema sperimentale per il teletrasporto di un fotone
(stato quantistico di polarizzazione):
Preparazione del fotone 1 da teletrasportare
Gli stati |a e |b in questo caso sono due
polarizzazioni ortogonali (ad esempio |H e |V)
Polarizzazione lineare qualsiasi:
polarizzatore
E 
 1   H1   V1
( = cos,  = sin)
Polarizzazione circolare:
polarizzatore
lamina /4
1 
1
2
H1 
i
2
V1
Preparazione dei fotoni 2 e 3 in stato EPR (entangled)
(Nota: con lo stesso metodo sono generati i fotoni 1 e 4)
Fluorescenza parametrica:
/2, H

cristallo
non lineare
/2, V
Aggiungendo opportune lamine birifrangenti,
è possibile generare uno qualsiasi degli stati EPR di Bell
Misura dello stato dei fotoni 1 e 2 nella base di Bell (Alice)
“Magie quantistiche” del beam-splitter (divisore di fascio)
modo 2
Assumiamo:
• Divisione al 50%-50%
• Simmetrico per scambio fasci
modo 1
Matrice unitaria di evoluzione del
beam-splitter (singola particella):
 1  ˆ  1 

 U   
 2 
2 
1
2
modo 1
modo 2
 1 i   1 

 2 

i
1

 
Vediamo ora come agisce su stati di due particelle…
Ragionamento intuitivo:
 1  ˆ  1 

 U   
 2 
2 
1
2
 1 i   1 

 2 

i
1

 
modo 2
modo 1
modo 1
La riflessione di due fotoni
introduce un segno meno.
modo 2
Stati EPR simmetrici: interferenza distruttiva dei
processi di trasmissione e riflessione di entrambi i fotoni
I fotoni si
“uniscono”
Stato EPR antisimmetrico 
I fotoni
restano
separati

12
: interferenza costruttiva
Vediamo i calcoli in dettaglio:
1
Uˆ  12  Uˆ
 H1
2
1
 H1

2 2
1

 i H1
2 2
i V1

V2  V1 H 2
 i H 2
 i V
1

1  ˆ
U H1

2
Uˆ V   Uˆ V Uˆ
 V2    V1  i V2
1
2
 i H
1

H2  

 H 2   
V1  H1 V2  H 2 V1  i H 2 V2 
H1  V1 H 2

V2 H1  i V2 H 2
i

ˆ
U  12 
 H1 V1  H 2 V2
2

1

ˆ
U  12 
 H1 V2  H 2 V1
2

I due fotoni vanno sempre
dalla stessa parte (1 o 2 )
I due fotoni vanno sempre
uno per lato
Analogamente…
Uˆ 12 
i
2 2
H
1
H1  H 2 H 2  V1 V1  V2 V2

I due fotoni vanno
sempre dalla stessa
parte
Conclusioni sul beam-splitter:


Solo lo stato 12 è riconoscibile (un fotone per lato)
In questo esperimento il teletrasporto si può fare solo quando
capita questo caso (cioè il 25% delle volte, in media).
E negli altri casi?
Oops! Siamo spiacenti, teletrasporto
non riuscito.
E’ anche necessario preservare l’indistinguibilità dei due fotoni
Un ritardo sufficiente rende
i due fotoni distinguibili
I pacchetti d’onda devono
essere sincronizzati
Con fotoni distinguibili (“classici”) l’esito <un fotone per lato>
si verifica comunque il 50% delle volte (e non il 25%)
Trasformazioni dello stato del fotone 4 (Bob)


Con lo stato
non è necessaria alcuna trasformazione.
12
Come si verifica il successo del teletrasporto?
Misure di coincidenze in funzione del ritardo ottico
Risultati sperimentali:
(necessaria la sottrazione di un “fondo” di eventi spuri)
Un altro sistema: misure di coincidenze a 4 fotoni
Risultati sperimentali:
(senza sottrazione del fondo)
Il teletrasporto quantistico dal 1997 a oggi:
Anno
(rivista)
Gruppo
Oggetto
Particolarità
1998
(Science)
Kimble (Caltech)
Luce (stati coerenti del
campo)
Sistema continuo (a infinite
dimensioni)
1998
(Nature)
Nielsen (Los
Alamos Lab)
Atomi diversi in molecola
(stati di spin nucleari NMR)
Primo teletrasporto di
materia, distanza di pochi Å
2001
(PRL)
Shih (Maryland)
Fotoni (polarizzazione)
Misura completa in base di
Bell (bassissima efficienza)
2002
(PRL)
De Martini
(Roma)
Luce (due stati di numero di
fotoni)
Alta “fidelity”
2003
(Nature)
Gisin (Ginevra)
Fotoni (polarizzazione)
Primo teletrasporto su grande
distanza (2 km in fibra ottica)
2004
(Nature)
Blatt (Innsbruck)
Wineland (NIST)
Ioni intrappolati (Ca, Be,
stati elettronici)
Primo teletrasporto di materia
in sistema individuale
2004
(Nature)
Zeilinger
(Vienna)
Fotoni (polarizzazione)
Oltrepassando il Danubio
(600 m di distanza reale)
Il teletrasporto di atomi (Innsbruck 2004)
[Nota: immagini che seguono parzialmente tratte da presentazioni del gruppo di Innsbruck]
Il sistema: trappola lineare di Paul per ioni 40Ca+
Gli stati quantistici |a e |b: stati elettronici dell’atomo
stato metastabile
(  1 s)
radiazione per
misurare stato
radiazione per
controllare stato
stato
fondamentale
Controllo dello stato quantistico di un singolo atomo
Per scegliere l’atomo da controllare:
fasci laser focalizzati
Controllo dello stato quantistico di un singolo atomo
|D
Per controllare lo stato: oscillazioni di Rabi
  S   D

|S
|E(t)|
“area” = /2
“area” =  “area” = 
t
Altre eccitazioni utili: i modi vibrazionali degli atomi
nella trappola
Notate: coinvolgono tutti gli atomi insieme!
Metodo per creare o misurare l’entanglement
[Cirac e Zoller (1995)]
Stati elettronici + vibrazionali:
Indirizzamento del solo
stato elettronico
(“carrier”)
Indirizzamento
simultaneo di stato
elettronico e
vibrazionale (“blue
sideband”)
Procedura per mettere due atomi in stato EPR (entangled):
2 3
2 3
2
3
2 3
2 3
2
3
2
3
2
3
2 3
2 3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
Procedura per fare una misura completa in base di Bell:
Idea di fondo: (i) usare il processo inverso all’entanglement
 12 
1
2
S
D2  D1 S2


S1 S 2
 12 
1
2
S
1
D2  D1 S 2


D1 D2
12 
1
2
S
1
S2  D1 D2


S1 D2
1
2
S
S2  D1 D2


D1 S 2


12

1
1
(ii) misurare lo stato dei due atomi mediante fluorescenza
Verifica sperimentale del teletrasporto ( “fidelity”)
(1)
(3)
|S3|S1|2
Verifica sperimentale del teletrasporto
stato teletrasportato
A che può servire il teletrasporto quantistico?
Crittografia quantistica per telecomunicazione a grande
distanza (ripetitori quantistici per trasferire l’entanglement)
Metodo per trasferire uno stato quantistico coerente su un
diverso sistema fisico più comodo per le misure
Processo elementare multi-purpose del quantum
computing
E poi resta ovviamente il sogno del teletrasporto alla
“Star Trek” …