Le geometrie
non euclidee
di Paolo Bernacchioni
Euclide (325 ? - 265 a. C.)
Del matematico di
Alessandria ci sono
pervenuti “Gli elementi”,
opera formata da 13 libri.
I primi quattro trattano le
proposizioni fondamentali
della geometria piana.
L’importanza degli “Elementi”
non è tanto nei risultati e nelle
relazioni geometriche in essi
contenute, quanto nel metodo da
essi proposto.
Partendo da poche proposizioni
assunte come vere (postulati e
assiomi), se ne dimostrano altre
(teoremi o proposizioni).
Edizione del 1498 degli
“Elementi” di Euclide
Si utilizza il metodo
deduttivo (Aristotele).
Euclide, “Elementi”
Libro I
Contiene:
 23 termini (le nostre definizioni)
 5 postulati (“nozioni specifiche” in Aristotele)
 8 assiomi (“nozioni comuni” in Aristotele)
 48 proposizioni (teoremi)
Premessa importante
La geometria di Euclide è relativa ad
oggetti che è possibile disegnare con
riga e compasso, oggetti che hanno
quindi una loro realtà intrinseca.
Tutto cambia nel
XIX secolo
David Hilbert (1862 - 1943)
Nel 1899 pubblica
“Fondamenti della
geometria” che rovescia
l’impostazione euclidea.
Sono i postulati a definire
implicitamente gli oggetti
di una teoria matematica.
Euclide: i termini
Sono definizioni di “oggetti” geometrici.
Questi oggetti sono considerati entità reali.
I
punto è ciò che non ha parti
II
linea è lunghezza priva di larghezza
III
estremi di una linea sono punti
IV
linea retta quella che giace ugualmente
rispetto ai suoi punti
V
superficie è ciò che ha soltanto lunghezza
e larghezza
VI
Estremi di una superficie sono linee
VII
Superficie piana è quella che giace
ugualmente rispetto alle rette su di essa
Notiamo che sono descrizioni di enti esistenti,
a volte senza specificare bene i termini
VIII - XII riguardano gli angoli
XIII – XIV figure geometriche enti limitati
XV - XVIII riguardano il cerchio
XX-XXII si definiscono i triangoli e i quadrilateri
XXIII riguarda le rette parallele
“parallele sono quelle rette che, essendo nello
stesso piano e venendo prolungate illimitatamente
dall’una e dall’altra parte, non si incontrano fra
loro da nessuna delle due parti”
Che significa “illimitatamente”?
Euclide: le nozioni comuni
(assiomi)
Sono proposizioni vere in assoluto, anche al di
fuori del contesto geometrico.
I cose uguali a una stessa sono uguali tra loro
II Se a cose uguali si aggiungono cose uguali,
le somme ottenute sono uguali
III Se da cose uguali si tolgono cose uguali, i resti
sono uguali
IV I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro
…………
VII Cose che coincidono tra loro sono uguali
…………
I primi 4 postulati
Sono proposizioni relative alla geometria
su cui tutti concordano (verità evidenti).
1.
Da ogni punto si può condurre una retta
ad ogni altro punto.
2.
Una retta si può prolungare per diritto.
3.
Con ogni centro e distanza si può
disegnare un cerchio.
4.
Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
Il quinto postulato
5. Se una retta, incontrando altre due
rette, forma gli angoli interni dalla stessa
parte minori di due retti, le due rette
prolungate all’infinito si incontrano da
quella parte in cui gli angoli sono minori
di due retti.
Ancora sul quinto postulato
Cerchiamo di capire ….
Se
r
a + b < 2 retti
allora r incontra s
b
s
a
Cosa dire del quinto postulato?
 E’ intuitivo?
 E’ verificabile operativamente?
Inoltre ...
introduzione
La Proposizione 17 dimostra l’inverso del
V postulato “In un triangolo la somma di
due
angoli, comunque presi, è minore di due
angoli retti”.
E’ assurdo dimostrare l’inverso di un
postulato
Nella proposizione (teorema) 29, Euclide
utilizza per la prima volta il V postulato
Se r parallela ad s tagliate da una trasversale si dimostra che:
a=a’, a=a’’ e a + b = 2 retti
a’
r
b
a’’
a
s
Dal 5° postulato
derivano importanti
proprietà geometriche
Proposizione 32 la somma degli angoli
interni di un triangolo è uguale a due
angoli retti
a + b + g = 2 retti
g
a
b
Sorgono spontanee
delle domande

il 5° postulato è importante?

può essere riformulato più
semplicemente?

è davvero un postulato o può
essere dimostrato?
Proclo Diodoco (410 - 485)
Proclo dimostra che il 5° postulato è
equivalente alla seguente proposizione:
Per un punto fuori di una retta si può
condurre una sola parallela alla retta
data.
s
P
r
La retta s esiste
La retta s è unica
Molti matematici tentarono di
dimostrare il 5° postulato ...
senza alcun successo!
Gerolamo Saccheri (1667 - 1733)
Il gesuita Saccheri fu
il primo ad impostare
correttamente il
problema
Saccheri ragionò per assurdo, negando il
5° postulato
Costruì una geometria in cui da un punto
esterno ad una retta si possono condurre
infinite parallele alla retta data.
Si aspettava di cadere in qualche
contraddizione ...
ma invano!
Saccheri formulò e dimostrò molti teoremi
diversi da quelli della geometria euclidea...
ma non seppe essere coerente fino in fondo!
Senza nessuna necessità, ad un certo punto
affermò di aver trovato una
contraddizione.
Tutto cambia a partire
dalla prima metà del
XIX secolo
Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (1793 - 1856)
Nel 1835 - 1838 pubblica
(in russo) “Nuovi principi
della geometria con una
teoria completa delle
parallele”
Nel 1840 (in tedesco)
“Ricerche geometriche
sulla teoria delle
parallele”
Lobacevskij ammette i primi
quattro postulati di Euclide …
ma nega il quinto, per quanto
riguarda l’unicità della parallela.
Teoria di Lobacevskij
P
s
s’
r
La retta s parallela ad r esiste
s non è l’unica parallela ad r
Procedendo con metodo
deduttivo, Lobacevskij deriva una
geometria del tutto logica e priva
di contraddizioni, oggi detta
Geometria di
Lobacevskij - Bolyai
Janos Bolyai (1802 - 1860)
Matematico ungherese,
nel 1832 pubblica, in
appendice ad un trattato
del padre Wolfgang, uno
scritto in cui arriva a
conclusioni analoghe a
quelle di Lobacevskij
Il padre Wolfgang, orgoglioso,
sottopone il lavoro del figlio al più
grande matematico dell’epoca
Karl Friedrich Gauss
ma ...
Karl Friedrich Gauss
(1777 - 1855)
Gauss afferma che era
da tempo arrivato alle
stesse conclusioni ...
ma non le aveva
pubblicate perché
nessuno le avrebbe
accettate.
Bolyai ci rimane molto male ...
Alcuni teoremi della geometria
di Lobacevskij - Bolyai
Detta anche Geometria iperbolica

per un punto passano infinite parallele

la somma degli angoli interni di un
triangolo è minore di due angoli retti
non ci sono quadrilateri con 4 retti


in triangoli disuguali le somme degli
angoli interni sono disuguali
a + b + g = 2 retti - d
g
a
b
d si dice difetto
Il difetto tende a zero per triangoli di
dimensioni sempre minori ...
La geometria euclidea è un caso
limite di quella iperbolica!
Bernhard Riemann (1826 - 1866)
Nel 1854 tesi per libera
docenza a Gottingen: “Sulle
ipotesi che stanno alla base
della geometria”
Lobacevskij e Bolyai negano l’unicità
della parallela ...
Riemann ne nega l’esistenza.
P
r
La parallela ad r non esiste
Una conseguenza della
geometria di Riemann
Detta anche Geometria ellittica

la somma degli angoli interni di un
triangolo è maggiore di due angoli retti
a + b + g = 2 retti + e
g
a
b
e si dice eccesso
L’eccesso tende a zero per triangoli di
dimensioni sempre minori ...
La geometria euclidea è un caso
limite anche di quella ellittica!
Sorgono spontanee
delle domande
Dato che esistono tre geometrie
(iperbolica, ellittica ed euclidea) ...

qual è la geometria vera?

si può rispondere a questa domanda?

ha senso la prima domanda?
Modelli di geometrie
Tutti noi abbiamo un chiaro modello
dell’ambiente in cui si realizza la
geometria euclidea ...
un foglio di carta
Modelli di geometria iperbolica
Un esempio di modello di
geometria iperbolica
Superfici a curvatura
negativa
Pseudosfera
Eugenio Beltrami (1835 - 1900)
Matematico italiano, nel
1868 propose il modello di
geometria iperbolica
basato sulla pseudosfera.
Felix Klein (1849 - 1925)
Matematico tedesco,
propose un altro modello
di geometria iperbolica
Il modello di Klein per la
geometria iperbolica
L’ambiente è un
cerchio C privato
della circonferenza
di contorno
I punti sono quelli
interni a C
Le rette sono le corde
(estremi esclusi)
C
P
t
s
B
A
r
Rette parallele nel modello
di Klein
Data le retta r ed il
C
punto P esterno
Esistono infinite
parallele ad r per P
P
t
Le rette s e t sono
“di confine”
s
r
Distanza tra punti nel
modello di Klein
Consideriamo i
C
punti A, B su r
Qual è la loro
distanza?
La nozione usuale
non va bene.
A
B
r
La distanza di Klein è un po’
complicata...
C
AH
AK
d(AB)  ln
BH
BK
H
A
B
r
K
ma efficace per piccole distanze...
Se B  A
C
AH BK

1
AK BH
AH BK
ln

0
AK BH
d(AB)  0
H
A BBB B B B
r
K
e grandi distanze!
Se B  K
C
AH BK

0
AK BH
H
 AH BK 
ln 

 
 AK BH 
La retta ha
lunghezza infinita!
A
B B B BBBB K
r
Un modello di geometria ellittica:
la sfera
Q
P
P
Q
Definiamo punto una coppia di punti
diametralmente opposti
Le rette nella geometria sferica
Definiamo retta ogni circonferenza
massima
Relazioni tra punti e rette nella
geometria sferica
Segmento PQ
Q
P
Per due punti passa una sola retta
Relazioni tra rette nella
geometria sferica
r
s
Due rette si incontrano sempre in un punto
Non esistono rette parallele
Nella geometria sferica non vale il
5° postulato
Q
Q
Da un punto esterno ad una retta
non si possono tracciare parallele
I triangoli nella geometria
sferica
g
a
b
a = b = retto
a + b + g > 2 retti
In conclusione
Possiamo ora rispondere alla domanda
“Qual è la vera geometria?”
La risposta è nelle parole scritte nel 1887 dal
matematico e filosofo francese
Henri Poincaré
Henri Poincaré (1854 - 1912)
“Il problema se sia vera l’una o
l’altra delle tre geometrie è
senza senso.
Altrettanto varrebbe
domandarsi se il sistema
metrico è vero e false le misure
antiche.
Una geometria non può essere
più vera di un’altra, può essere
soltanto più comoda”