Bibliografia:
J. Singh “Semiconductor Devices. Basic Principles”, John Wiley & Sons
C. Kittel “Introduzione alla Fisica dello Stato Solido” Ed. Boringhieri
Ashcroft N.W., Mermin N.D. – “Solid State Physics”
B.G. Streetman, S.K. Banerjee “Solid State Electronic Devices” Pearson International Edition
B. S.M. Sze “Semiconductor Devices: Phyisics and Technology” Ed. Wiley (cap1-5)
E.F. Schubert “Physical Foundations of Solid State Devices”, New York 2005
Per approfondire:
R. F. Pierret ”Semiconductor Device Fundamentals”, Ed. Addison Wesley
Sapoval, C. Hermann, “Physics of Semiconductors”, Ed Springer Verlag
J. Singh “Semiconductor Optoelectronics Physics and Technology”, Mac Graw Hill
E.F. Schubert “Physical Foundation of Solid State Devices” (cap 12-14-15)
http://people.roma2.infn.it/~demattei/Didattica/Fisica dei Dispositivi a Stato solido/
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Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis
1
Crisi della descrizione
classica del mondo fisico
Radiazione in cavità (Catastrofe UV) + Effetto
fotoelettrico  Fotoni hn (h=6.626 x 10-34J s
n=1015Hz)
Radioattività
Superconduttività a bassa temperatura
Spettri atomici discreti  bande nei solidi
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2
Spettri atomici



Spettri atomici (assorb e emiss) raggruppati in serie di linee
spettrali
Per l’idrogeno le serie prendono il nome da Lyman, Balmer,
Paschen ecc.
Differenze tra livelli energetici discreti (L m=1n, B m=2n,
{hkl}
P m=3n e viceversa)
2π 2 me4
Ry =
= 13.605eV
2 2
4πε0  h
1
En =  R y 2
n
Rydberg
1
1 Ry n 2  m 2 hc
Enm =  Ry 2  Ry 2  2

2
n
m m
n

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hc 2 n 2
nm  m 2
Ry
n  m2
Serie di
Balmer per
n>m=2
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3
Ipotesi di de Broglie
Dualismo onda particella. Elettrone è descritto anche da onda.
Relazione tra lunghezza d’onda e impulso
λ=
2π
=p h/p
Dipende dalla scala dell’oggetto con cui interagisce
l’onda/particella
Se molto più grande descrizione particella altrimenti onda
L’energia cinetica può allora essere scritta come
I=
V
R
2
p
1  2π 
 2k 2
K=
=

 =
2m 2m  λ 
2m
2
In presenza di energia potenziale l’energia totale della particella
sarà la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale
E=K+U
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4
Operatori quantistici

px i
y

py i
x


pz i
E i
z
t
In meccanica quantistica gli
osservabili sono operatori che
agiscono sulla funzione d'onda
Calcoliamo la lunghezza d'onda associata ad una energia di 1 eV nel caso di:
a) fotone; b) elettrone; c) neutrone
I=



V
R

a)

34
8
h
hc
6.6x10
Js
3x10
m
/
s

6
λ
=
=
= 
=
1.24
x
10
m
=
1.24
μm
ph
19
ν
E1.6x10
J
b)

34
2
π
h
6.6x10
Js
λ
=
=
=
=
1.23
nm
e
1
/
2

30 
19
k
2m
E
0.91x10
kg
1.6x10
J
e 2






m
1
e
c) λ
=
λ
=
λ
=
0.028
nm
n e
e
m
1824
n
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5
Equazione di Schrödinger
ψ = Ae + Be
ikx
 ikx
Particella libera non soggetta a potenziale
Onda piana
ψ t  = Ae = Ae
it
E
i

/
tψ
=

i ψ

I=
V
R
 

2
 +V r ψ = Eψ

 2m

2
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iEt 
Eq. Schrödinger
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7
Elettroni liberi
Elettroni liberi di muoversi in un potenziale
uniforme (zero).
Gli elettroni in un solido possono essere considerati
come se fossero “liberi” sotto alcune condizioni
addizionali
2
2




[

+
V
]
ψ
r
=
E
ψ
r
0
2m
2 2
k
1 ±ikr
E=
+V0
r= e
ψ
2
3
2m




d
r
ψ
r
=
1

V
Relazione di dispersione
Normalizzazione
k

v=
p
ψ
=

i
ψ


k
ψ
ovvero
p
=

k
m0

r
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8
Banda di energia
Le energie permesse per l'elettrone libero formano
una banda continua che parte da V0 in su
2k2
E=
+
V
0
2m
Relazione E-k
o di dispersione
Intervallo di energie permesso
2 2
k
E=
+V0
2m
V0
Intervallo di energie proibito
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k=
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9
Densità degli stati DOS
Densità degli stati N(k) è il numero di stati
elettronici disponibile per unità di vettore d’onda
per unità di volume. E’costante!


N k =
Condizioni periodiche al contorno,
cubo di lato L
L3 Volume del solido
1
2π 3
m0 massa dell'elettrone
Densità degli stati N(E) è il numero di stati elettronici disponibile
per unità di energia per unità di volume. Non è costante!
Il numero di stati in un intervallo dE intorno al valore E è N(E)dE
N E  =
3/ 2
2m0
E  V0 1/ 2
π 2 3
DOS (J-1 m-3)
N E   m03 2 E  V0 
1/ 2
DOS nulla
V0
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E
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10
Densità degli stati DOS
La periodicità impone che gli stati stazionari siano a valori di k discreti (L=NAa)
ψ (x+L,y,z )=ψ (x,y,z )
ψ (x,y+L,z )=ψ (x,y,z )
ψ (x,y,z+L )=ψ (x,y,z )
2
πn
x
k
=
x
L
2
πn
y
1
/3
ky =
n
0

N
i=
L
2
πn
z
k
z=
L
n

;
i
I valori di k sono quindi equispaziati ed ogni stato elettronico occupa un volume nello spazio k pari
3
a
8π 3
 2π 
  =
VL
 L 
Il numero di stati in un intervallo d3k intorno a k per unità di volume è N(k) d3k
duplicità di spin
3
3
2d
k d
k


N
k
d
k
= 3 3=3
V
8
π
/
L8
π
3
La relazione di dispersione è isotropa rispetto a tutte le direzioni e quindi ci interessa conoscere la
densità degli stati in funzione del modulo |k|.
2m 0
2m0 E  V0 
4 πk 2 dk k 2 dk
dk =
dE
N (k )dk= 2 3
= 2
k=
2 E  V0
8π
2π

Il numero di stati in un intervallo dE intorno al valore E è N(E)dE.
N E dE =
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2m03 / 2 E  V0 
π 2 3
1/ 2
dE
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11
Densità degli stati DOS
Calcoliamo la densità degli stati di elettroni che si muovono in un potenziale nullo con una
energia di 0.1 eV.
La densità degli stati in un sistema 3D è:
2m03 / 2 E1/ 2
dE =
2 3
π 
N E dE =

2 0.91x10

30
kg

3/ 2
π 2 1.05x10 34 Js

3
E
dE = 1.07x10 56 E dE
J 3 / 2 m 3
Convertendo i valori di energia in eV otteniamo

3
/
2


3
1


56
2
21

1

3


N
E
=
1.07x10
x
eV
10
cm
E
=
6.8x
E
eV
cm


19
1.6x10


che per E=0.1 eV vale
N(E)=2.15 x
1021
eV-1 cm-3
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Valore indicativo, non ha vero senso.
Bisognerebbe integrarlo su un
intervallo di energie
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12
Elettroni nell'atomo
Gli elettroni in un atomo sono soggetti al potenziale coulombiano del nucleo ed eventualmente
degli altri elettroni. Ci sono due intervalli di energie di interesse.
Stati liberi Quando l'elettrone possiede un'energia cinetica sufficiente per superare l'attrazione del
nucleo. Tutti i valori di energia sono permessi.
Stati legati Sono gli stati stazionari dell'atomo che abbiamo visto danno origine alle transizioni
atomiche
1
E n =E vac− R y 2
n
caso dell'idrogeno
Generalmente si assume l'energia del vuoto come zero dell'energia
E vac= 0
Gli stati legati hanno energia negativa, quelli liberi positiva
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13
Elettroni in un solido cristallino
Gli stati a energia più bassa, stati di core, rimangono abbastanza
imperturbati e simili agli stati di core dell'atomo
Gli elettroni di valenza sono quelli coinvolti nel
legame molecolare. Nell’esempio del diamante ogni
atomo di carbonio ha quattro legami covalenti con 4
altri posti ai vertici di un tetraedro equilatero
A bassa temperatura gli elettroni sono legati nei loro
legami tetraedrici. Aumentando la temperatura
questi legami possono delocalizzarsi e gli elettroni
contribuire alla conduzione.
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14
Elettroni in un solido cristallino
 I livelli energetici più alti, elettroni di
valenza, si allargano in bande di
energie permesse.
 Le bande permesse possono essere
separate da intervalli energetici proibiti.
Gap di energia
In un atomo, se applichiamo un campo elettrico l'elettrone non si muoverà
perché soggetto al potenziale del nucleo. E' come se avesse una massa
molto grande
In un cristallo l'elettrone obbedirà ad una relazione di dispersione E-k
anche se questa sarà più complicata.
All'interno di ogni banda permessa l'elettrone si comporta come se fosse
libero salvo che risponde con una massa inerziale differente. Massa
efficace m*
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15
Distribuzione degli elettroni negli stati
Come si distribuiscono gli elettroni nei vari stati permessi?
Gli elettroni si dispongono in accordo al principio di esclusione di
Pauli (al massimo un elettrone in ogni stato disponibile)
Funzione di distribuzione di Fermi-Dirac fE= 1
Probabilità che uno stato permesso a energia E
sia occupato (all'equilibrio termico)
EE
F
1
+
e kT
f(E) ≤ 1 e monotono decrescente.
EF è l'energia di Fermi e rappresenta l'energia del livello per cui si ha
probabilità di occupazione ½. (E=EF → f(E)= ½ )
Il livello di Fermi è determinato conoscendo la densità degli stati
N(E) e la densità degli elettroni.
Quando (E-EF)»kBT si ricade nella distribuzione di Boltzmann
E

E
F
=
fBE
e kT

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16
Metalli Semiconduttori Isolanti
Quali stati permessi sono occupati da elettroni e quali no?
Gli elettroni si dispongono in accordo al principio di esclusione di
Pauli (al massimo un elettrone in ogni stato disponibile) e seguendo
la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac.
A T=0 gli elettroni disporranno nelle bande via via a maggiore
energia. L'energia che separa gli stati occupati da quelli non
occupati è l'energia EF(T=0).
Due casi sono possibili:
• Una banda permessa è completamente piena di elettroni mentre la
seguente banda permessa è separata da un gap di energia Eg ed è
vuota.
La più alta banda occupata è solo parzialmente occupata.
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17
Conduzione
Quando una banda è occupata completamente, gli elettroni
nella banda non possono condurre alcuna corrente
Gli elettroni sono fermioni e le bande sono simmetriche per
inversione spaziale. Per ogni stato k (2m0v=hk) ce ne è un altro a k.
In assenza di forza esterna, per un elettrone che si muove in un verso
ce ne è un altro che si muove nel verso opposto.
d
Fext= k
dt
In presenza di una forza esterna, se non ci sono stati disponibili in
cui un elettrone può spostarsi rompendo la simmetria tra +k e -k, non
può esserci corrente netta.
Questo spiega la distinzione tra metalli (banda semipiena) e isolanti
(banda piena).
Un semiconduttore è un isolante con energia di gap Eg<3eV
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18
Conduzione
La banda che a 0 K normalmente è piena di elettroni nei
semiconduttori è detta banda di valenza mentre la banda vuota
superiore è detta banda di conduzione.
I metalli hanno una conducibilità molto alta a causa del numero
molto alto di elettroni che possono partecipare alla corrente di
trasporto. E' difficile alterare la conducibilità dei metalli.
I semiconduttori, invece, hanno conducibilità nulla a 0 K e cmq
bassa a temperatura normale, ma è possibile alterare la loro
conducibilità di ordini di grandezza.
Per questo i semiconduttori possono essere usati come dispositivi
attivi mentre i metalli sono relegati ad essere usati come componenti
passivi come interconnessioni, contatti, etc.
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19
Conduzione
La differenza di energia tra il livello energetico di vuoto (quando
l'elettrone è libero di uscire dal solido) e il livello di Fermi è detta
Funzione di lavoro (Work Function ee )
La differenza di energia tra il livello energetico di vuoto (quando
l'elettrone è libero di uscire dal solido) e il fondo della banda di
conduzione è detta Affinità elettronica (Electron Affinity ee )
e
e
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e
e
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20
Livello di Fermi
Semiconduttore T=0 K
Banda di valenza piena
Banda di conduzione vuota
Non c'è conduzione
Semiconduttore T>0 K
Banda di valenza con qualche vuoto
Banda di conduzione con qualche elettrone
Sia la banda di valenza che quella
di conduzione possono concorrere
al trasporto
Quanti elettroni ci sono nella banda di conduzione ?




N E dE
n= 
 E  EF
E0 
 1+ exp k T
 B

A T=0










N(E) densità degli stati
n numero di elettroni nella banda
per unità di volume
Valido solo per i metalli (EF>E0)
EF
3/ 2
2m03 / 2
2
2
m
1/ 2
3/ 2
0


n =  N E dE = 2 3  E  E0  dE =
E

E
F
0
2 3
π
3π 
E
0
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21
Livello di Fermi
T>0
N
ρ 22 23
3
e
n
=
N

10
÷
10
cm
A
A
2
 
La situazione è più complicata
Per i metalli dove il numero di portatori è alto l'espressione è ancora valida
n è la densità di elettroni di conduzione calcolata precedentemente.
Questo determina l'energia di Fermi
/2
 23
E

E
=
3
π
n
F
0
2m
0
Per i semiconduttori il numero di portatori è molto più basso f(E) può
essere rappresentato dalla funzione di Boltzmann

n=
3/ 2
2 m0
π 2 3

E0
3/ 2
=
2 m0
π 2 3
k BT 3 / 2 e
2 m0
π 2 3
E F  E0

k bT
k BT 3 / 2 e

dE =
y e  y dy =
E F  E0

k bT
x
e
 dy =
EE
F

kBT
Ee
n=N
dE

E
0
Caso non-degenere
2
E0
3/ 2
=
E  EF
k BT
E0
3/ 2
=
E  E 0 1/ 2 e

2 m0
π 2 3
k BT 3 / 2 e
E F  E0
k bT
π
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n = Nce
E F  E0
kbT
 m0 
N c = 2
2 
 2π 
3/ 2
k BT 3 / 2
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22
Livello di Fermi
Caso non-degenere
Per i semiconduttori il numero di portatori è molto più basso
f(E) può essere rappresentato dalla funzione di Boltzmann

n=
3/ 2
2 m0
π 2 3

E0
3/ 2
=
2 m0
π 2 3
e
E  EF
k BT
E F  E0

k bT

dE =
y e  y dy =
E0
2 m0
π 2 3
k BT 3 / 2 e
E F  E0

k bT
x
 e dy =
2
E0
3/ 2
=
1/ 2
k BT 3 / 2 e
3/ 2
=
E  E0 

2 m0
π 2 3
k BT 3 / 2 e
E F  E0
k bT
∞
−
n= ∫ N (E )e
E− E F
kBT
dE
E0
EF E0
kbT
n=Nce
3/2
 m 
Nc =2 02 
2π 
kTB3/2
π
Caso degenere
Se il numero di portatori è alto una buona approssimazione è quella di Joyce-Dixon
n1

n
E

E
=
k
T
ln
+ 
F
0
B

N
8
c
c
N

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23