Onde 3
13 novembre 2014
Interferenza
Diffrazione
(Battimenti)
Fenomeni ondulatori
• Interferenza e diffrazione sono fenomeni
esclusivamente ondulatori e sono dovuti alla
sovrapposizione di due o più onde
• La sovrapposizione può essere costruttiva o
distruttiva, in dipendenza della fase relativa tra
le onde che si sovrappongono
• Noi studieremo i seguenti fenomeni
– Interferenza tra due fenditure (Young)
– Diffrazione da una fenditura
2
Coerenza
• Un concetto importante è quello di coerenza:
due o più onde sono coerenti se mantengono
costante la loro differenza di fase relativa
3
Interferenza
• L’interferenza riguarda la distribuzione spaziale
della sovrapposizione di onde di ugual
frequenza e coerenti
• Il risultato è diverso da punto a punto dello
spazio, a seconda dello sfasamento relativo
delle singole onde
4
Interferenza di onde sulla superficie
di un liquido
• Consideriamo un’onda piana
monocromatica sulla superficie di
un liquido, incidente su uno
schermo in cui sono praticate due
fenditure (distanti d l’una dall’altra)
• Per il PdH le due fenditure si
comportano da sorgenti S1, S2 di
onde circolari coerenti (e in fase),
la cui sovrapposizione al di là dello
schermo, dà luogo al fenomeno
dell’interferenza
5
Interferenza di onde sulla superficie
di un liquido
• Determiniamo il cammino tra ciascuna delle due
fenditure e il generico punto P del semipiano a destra
dello schermo
2
2
d
d




r1  x 2   y  
r2  x 2   y  
2
2


y
P(x,y)
r1
S1
S2
r
d/2
d/2
r2
x
6
Interferenza di onde sulla superficie
di un liquido
• Dato che le onde sono in fase sullo schermo, per avere un
massimo di interferenza, occorre che la differenza di
cammino sia un multiplo di lunghezza d’onda: r2  r1  n
• E’ noto dalla geometria che questa relazione rappresenta
una famiglia di iperboli (una per ogni n)
• Sviluppando i calcoli si trova che l’equazione di queste
iperboli è
4n 22 x 2  4 d 2  n 22 y 2  n 22 d 2  n 22  0




• Com’è noto dalla geometria la differenza di due lati di un
triangolo è minore del terzo lato, quindi r2  r1  d
2
2 2
d

n
  0 e l’equazione rappresenta
• da cui segue che
proprio iperboli
7
Interferenza di onde sulla superficie
di un liquido
• Posizione dei massimi
di interferenza nel
semipiano di destra
• I massimi si trovano su
d
rami di iperbole
• I calcoli sono stati fatti
per i seguenti valori
dei parametri: d=10,
=3
• Si vede che per ogni ramo d’iperbole nel 1° quadrante (n>0) ce
n’è uno simmetrico nel 4° (n<0)
8
Interferenza di onde in un fluido
• Se ora abbiamo una parete assorbente immersa in un
fluido (ad es. aria), con due fori attraverso cui l’onda
incidente (sonora) può propagarsi, possiamo estendere
immediatamente le considerazioni svolte per il caso a
due dimensioni
• Nel semispazio a destra della parete introduciamo un
sistema cilindrico, ove l’asse verticale funge da
coordinata z e l’asse orizzontale da coordinata radiale r
• Il luogo dei punti di interferenza costruttiva è ora la
superficie di (metà) iperboloide, una per ogni possibile n,
che ha z come asse di simmetria
9
Interferenza di onde in un fluido
• Volendo calcolare l’ampiezza dell’onda risultante
dovremmo sommare le due onde sferiche uscenti dai
due fori
• Dette r e z le coordinate del punto arbitrario P, i cammini
dalle sorgenti a P sono
2
2
d
d


2
2
r1  r   z  
r2  r   z  
2
2


• Nell’ipotesi semplificativa che A non dipenda dalla
coordinata azimutale, l’onda risultante in P sarà
sin kr1  t 
sin kr2  t 
f a
a
r1
r2
10
Interferenza
• L’esempio classico è l’esperienza di
Young, in cui un’onda piana
monocromatica incide su uno
schermo su cui sono praticate due
fenditure (distanti d l’una dall’altra)
• Per il PdH le due fenditure si
comportano da sorgenti di onde
sferiche coerenti (e in fase)
• Calcoleremo sia le posizioni dei
massimi che la corrispondente
ampiezza dell’onda risultante
11
Interferenza
• Per semplicità geometrica studiamo l’interferenza su uno
schermo a grande distanza (potenzialmente infinita) dalle
fenditure,
• In tal caso i cammini ottici sono semirette parallele
q
12
Interferenza
• Analizziamo l’interferenza per ogni
possibile direzione q e diciamo z la
coordinata relativa a q
• Per la simmetria delle fenditure, le due
onde hanno ugual ampiezza A per lo
stesso q (A e` funzione di q)
• Hanno inoltre una differenza di fase fissa
 dovuta alla differenza di cammino
ottico l  d sin q
• La differenza di fase è data dalla
proporzione l :    : 2
• E quindi
l
d
  2
 2 sin q


z
q
1
d
2
q
l
13
Interferenza
• Le due onde hanno dunque forma
f1  Aq  coskz  t 
f 2  Aq  coskz  t   
• La funzione che ne rappresenta la sovrapposizione è la
loro somma f  f1  f 2
• Applicando le formule di Werner, otteniamo
 


f  2 Aq  cos  cos kz  t  
2 
2

• L’espressione in parentesi quadre è l’ampiezza dell’onda
risultante
14
Interferenza
• L’ampiezza dipende dallo sfasamento e può assumere
il valore minimo, zero, per  o 2n+1) e il valore
massimo, 2A, per  o 2n
• Il valore minimo corrisponde ad una differenza di
cammino di un numero dispari di mezze lunghezze

d’onda: interferenza distruttiva

1
l 
   n  

2
2
• Il valore massimo corrisponde ad una differenza di
cammino di un numero intero di lunghezze d’onda:
interferenza costruttiva
l  n

15
Interferenza
• Poiché l’intensità di un’onda è proporzionale al quadrato
dell’ampiezza, l’intensità dell’onda di interferenza sullo
schermo varia tra zero e quattro volte l’intensità delle
singole onde sulle fenditure
I interf

 d

 4 A q  cos  4 I q  cos   sin q 
2
 

2
2
2
Iinterf
Grafico dell’intensita`
nel caso particolare
in cui A sia costante
rispetto ad q
/2
16
Immagini di
interferenza
17
Interferenza
• Commento sul fattore 4: questo non comporta una
violazione della conservazione dell’energia, ma solo
una redistribuzione spaziale dell’energia
• Nel caso le onde abbiano ampiezza diversa, un’analisi
piu’ approfondita porta al risultato che l’intensità
dell’onda risultante varia tra i due estremi
I max   A1  A2 
2
I min   A1  A2 
2
• Nella trasparenza successiva è dato un esempio
18
Interferenza con ampiezze diverse
• Ricordiamo l’interferenza di due onde in un fluido
sin kr1  t 
sin kr2  t 
f a
a
 A sin kr1  t  a 
r1
r2
• Conampiezza A   a 1  1  2 1 1 cos 
2
2
r1 r2
r1 r2
• sfasamento relativo   k r2  r1  (e a una fase inessenziale)
• L’ampiezza varia tra i seguenti estremi:
Amax  a
Amin
1
1
1 1
1
1
1 1


2
cos
2
n


a


2
 A1  A2
2
2
2
2
r1 r2
r1 r2
r1 r2
r1 r2
1
1
1 1
1
1
1 1
a 2  2 2
cos2n  1  a 2  2  2
 A1  A2
r1 r2
r1 r2
r1 r2
r1 r2
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Diffrazione
• Consideriamo un’onda piana
monocromatica di ampiezza A0
incidente su uno schermo con una
fenditura di larghezza a
• Per il PdH tutti i punti della fenditura
si comportano da sorgenti di onde
sferiche coerenti (e in fase), la cui
sovrapposizione al di là dello
schermo, dà luogo al fenomeno della
diffrazione
20
Diffrazione
• Per semplicità geometrica studiamo la diffrazione su
uno schermo a grande distanza (potenzialmente
infinita) dalla fenditura, in tal caso i cammini ottici
sono semirette parallele
q
21
Diffrazione
z
• Analizziamo la diffrazione per ciascuna
direzione q e diciamo z la coordinata
relativa ad q
• Le onde elementari hanno ugual
ampiezza dA per lo stesso q
• Un punto Q della fenditura a distanza y
dal punto più alto P, ha una differenza
di fase  dovuta alla differenza di
cammino ottico
P
Q
P
l  y sin q
• La differenza di fase è data da
l


 y  2
 2

y

sin q  y
q
y
Q
q
l
22
Diffrazione
• Detta dA l’ampiezza infinitesima di ciascuna onda
elementare, queste hanno forma
df  dA coskz  t  y   Ady coskz  t  y 
• Ove A =dA/dy=A0/a
• NB: A dipende q da ma non da y
• Detto u  kz  t l’onda risultante sarà data
dall’integrale delle onde elementari su tutta la
fenditura
a
f   A cosu  y dy 
0
A

sin u  a   sin u 
23
Diffrazione
• Applicando le formule di Werner
A
a 
 a  
f 
2 sin   cos u 


2  
2 

• e sostituendo i valori di  e u
sin  a  sin q  
a

f  Aa
cos kz  t   sin q 
 a  sin q



• L’ampiezza dell’onda diffratta
sin  a  sin q 
A  Aa

risultante è quindi
 a  sin q
• Con A a=A0 ampiezza
dell’onda incidente
 A0
sin 

24
Diffrazione
• Se per semplicità assumiamo che A sia costante
rispetto a q, l’intensità dell’onda diffratta sullo
2
2
schermo è


I diff
 sin  
sin  a  sin q 
  I 

 A0 
  
  a  sin q 
2
• Notare che l’intensità è diversa da zero anche per q (e ) diverso da zero
Idiff

25
Immagini di
diffrazione
26
Risoluzione di uno strumento ottico
• Gli strumenti ottici (telescopio, microscopio)
servono a rendere visibili oggetti che l’occhio
nudo non riesce a vedere
• Ad es. il telescopio permette di vedere stelle
troppo flebili per l’occhio nudo
• Le stelle sono talmente lontane da noi che
anche per il più potente telescopio ottico è
come se fossero riducibili ad un punto senza
dimensioni
27
Risoluzione di uno strumento ottico
• Un buono strumento ottico trasforma un
punto oggetto in un punto immagine,
quindi un buon telescopio dovrebbe dare
un’immagine puntiforme di una stella
• La diffrazione, dovuta alla stessa natura
ondulatoria della luce, pone però un limite
fisico insuperabile a questo funzionamento
ideale
28
Risoluzione di uno strumento ottico
• Qualunque telescopio, infatti, sarà
costruito di lenti di diametro finito
• La lente, raccogliendo solo la parte
dell’onda luminosa proveniente dalla stella
corrispondente alla superficie della lente
stessa, agirà come un foro circolare in uno
schermo e quindi darà un’immagine in cui
è presente diffrazione
29
Risoluzione di uno strumento ottico
• Ciò significa che
l’immagine non è
angolarmente
puntiforme, ma estesa
• Il limite di risoluzione
angolare dovuto alla
diffrazione è ancora
dell’ordine di 
D
• ove  è la lunghezza
d’onda della luce e D il
diametro della lente
30
Risoluzione di uno strumento ottico
• Criterio di Rayleigh
1 sorgente
2 sorgenti
Non risolte
I massimi centrali
si confondono
2 sorgenti
Risolte
I massimi centrali
sono distinti
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Battimenti
• Il fenomeno dei battimenti è in un certo senso
complementare a quello dell’interferenza:
riguarda l’evoluzione temporale della
sovrapposizione di onde di frequenza diversa in
un punto determinato dello spazio
• Consideriamo due onde che per semplicità
supponiamo armoniche e di ugual ampiezza
f1  Acosk1 x  1t   2 
f 2  Acosk 2 x   2 t  1
32
Battimenti
• Nel punto arbitrario x* assumono la forma

  t    Acos t  k x

f1  Acosk1 x *  1t  1  Acos 1t  k1 x *  1  Acos1t  1 
f 2  Acosk 2 x *
2
2
2
2
*

  2   Acos 2 t   2 
• La loro sovrapposizione in questo punto si calcola
ricordando la formula del coseno di una somma
f  f1  f 2  Acos1t  1   Acos 2 t   2  
• con
 2Acost    cost   


 2  1
2

 2  1
2
33
Battimenti
• A parte due fasi inessenziali, la funzione è del tipo
f  2Acost cost
• Il fenomeno vero e proprio dei battimenti si riferisce alla
sovrapposizione di due onde sonore le cui frequenze
sono circa uguali, allora

0
  1  2
• Cioè si ottiene un’onda sinusoidale di frequenza molto
vicina a quella delle onde che si sovrappongono: cost
con un’ampiezza
che non è costante,
ma modulata


secondo una funzione sinusoidale di frequenza molto
minore, che è poi quella che dà la sensazione
acustica

di battimento:
2Acost
34
Battimenti
• Quel che l’orecchio percepisce è l’intensità dell’onda
risultante, che è proporzionale al quadrato dell’ampiezza




I  k 4 A2 cos 2 t cos 2 t  2kA2 1  cos 2t  cos 2 t 
 2 I 0 1  cos 2t cos 2 t
• La modulazione dell’intensità ha frequenza doppia
rispetto all’ampiezza
• L’intensità varia da un minimo di 0 ad un massimo di 4I0
35