Misura della costante di Planck
Alessandro Cianchi
INFN – Roma Tor Vergata
Enrica Chiadroni, Giuseppe Papalino
INFN-LNF
Sommario
 La meccanica quantistica e l’importanza
della costante di Planck
 Semiconduttori e giunzioni
 Il nostro esperimento
Excusatio non petita
 “In un corso introduttivo non è
possibile raccontare la storia della
radiazione di corpo nero in un modo
intellettualmente onesto e
significativo e un discorso
approssimativo sull’argomento
lascia solo disorientati gli studenti”
A. Arons “Guida all’insegnamento della fisica”, Zanichelli
Emissione
 Ogni oggetto emette energia elettromagnetica
in forma di calore
 Un corpo emette radiazione di tutte le
lunghezze d’onda, ma la distribuzione
dell’energia emessa in funzione della lunghezza
d’onda dipende dalla temperatura
Emissione di oggetti noti
Corpo umano
Lampadina
Legge di Stefan (1874)




R = potenza emessa per unità di area
T = Temperatura assoluta (K)
e = Emissività (opposto di assorbività a)
s = Costante di Stefan-Boltzmann
R = esT4
Corpo nero
 Se un corpo è in equilibrio termico con
ciò che lo circonda (temperatura
costante) emette e assorbe la stessa
quantità di radiazione
 In questo caso e=a indipendentemente
dalla temperatura e dalla lunghezza
d’onda
 Corpo nero e=1
Radiazione del corpo nero: Kirchhoff
 Nel 1882 kirchhoff dimostro’ che si puo’ ottenere un
dispositivo che si comporta come un corpo nero
mantenendo a temperatua costante le pareti di un corpo
cavo nel quale sia stato praticato un forellino
Gustav kirchhoff (1824-1887)
Spettro di corpo nero
Tutti i corpi neri, alla stessa temperatura, emettono
radiazione termica con lo stesso spettro
lmaxT=b
Legge di Wien
Come si fa?
 Come facciamo a calcolare lo spettro di
corpo nero?
 Vogliamo calcolarlo e confrontarlo con
l’esperimento
Onde stazionarie
 Solo le onde che hanno un nodo sulle pareti
possono propagarsi all’interno di una scatola
chiusa
Onde stazionarie animazione
Calcolo del numero dei modi
2E 2E 2E 1 2E
 2  2  2 2
2
x
y
z
c t
E  E0 sin
n1x
n y
n z
2ct
sin 1 sin 1 sin
L
L
L
l
n12  n22  n32 
8L3
N 3
3l
4 L2
l
2
Numero di modi in
una sfera
4 2
2
2
n1  n2  n3
3

Densità per unità di
lunghezza

3
2
8
l4
Teorema di equipartizione dell’energia
 Il teorema di equipartizione consente di
calcolare l’energia media di ogni
componente dell’energia, come l’energia
cinetica di una particella e quella
potenziale di una molla
 L’energia media associata ad ogni
variabile che contribuisce
quadraticamente all’energia vale 1 KT in
2
equilibrio termico
Un esempio legge di Dulong Petit
 Nel caso di un solido tridimensionale schematizzato come
tanti oscillatori armonici abbiamo per ogni atomo



1
1
2
2
2
2
2
2
2
E
p x  p y  p z  M q x  q y  q z
2M
2
Per N atomi il teorema di equipartizione da’ come
contributo totale 3NKT
K bT
U  nN A 6
 3nRT
2
1 U
cv 
 3R  25 J / K
n t

Legge di Rayleigh-Jeans
 Descrive la densità di energia in funzione della
lunghezza d’onda
 (l ) 
Densità dei modi
8
l
4
KT
energia
La “catastrofe ultravioletta”
Il calore specifico a bassa temperatura
Non solo per il corpo
nero ma anche per i
solidi a bassa
temperatura il teorema
di equipartizione
dell’energia fallisce. Il
calore specifico non è
costante ma decresce
come AT3+BT (B=0 per
i non metalli)
Cosa non funziona?
 Il numero di modi di oscillazione è stato
calcolato correttamente
 Il teorema di equipartizione di energia
associa ad ogni modo una energia KT.
Questo è un teorema fondamentale !
 Ma la fisica classica prevede che TUTTE
le energie siano possibili
 Questo NON è vero
Solo livelli discreti
N2
E=2   P= A e
N1
E= P= A e
N0
xe


2 
KT
I livelli sono discreti

KT
E=0 P= A


KT


Etot N 0 0  x  2 x 2  3x 3 ...
E 

N tot
N 0 1  x  x 2  ...


E 
e

KT
1

La formula giusta
 (l ) 
8hc
l
5
1
e
hc
lKT
1
Ripetiamo cosa abbiamo capito
 Non tutti i livelli di energia sono possibili
 I livelli che possono essere occupati
sono solo alcuni e sono discreti
 NON c’è modo per la fisica classica di
spiegare lo spettro di corpo nero
Effetto fotoelettrico
All’inizio del 1900 era noto
per via sperimentale che,
quando la luce incide sulla
superficie di un metallo, dalla
superficie vengono espulsi
elettroni.
In
particolare
l’energia
cinetica degli elettroni espulsi
e’
indipendente
dalla
intensita’
della
luce
ma
dipende solo dalla frequenza
in modo lineare.
Se si aumenta l’intensita’
della luce, aumenta il numero
degli elettroni emessi per
unita’ di tempo ma non la
loro energia.
Effetto fotoelettrico: Einstein
Nel 1905 Einstein pubblica
un articolo in cui fornisce
un’interpretazione
dell’effetto fotoelettrico
usando il concetto di
energia quantizzata
introdotto da Planck solo
5 anni prima!
1928 Nernst, Albert Einstein, Max Planck,
Robert Andrew Millikan, Max Laue
Effetto fotoelettrico
Effetto fotoelettrico: Einstein
Secondo l’interpretazione di Einstein, l’energia di un fascio di luce
monocromatica si propaga in pacchetti di valore hn ; questo quanto
di energia puo’ essere trasferito completamente ad un elettrone.
Cioe’ l’elettrone acquista un’energia (mentre si trova ancora nel
metallo) pari a
E= hn
Supponendo che si debba eseguire un certo lavoro W per rimuovere
l’elettrone dal metallo, allora l’elettrone emergera’ dal metallo con
energia cinetica
E cin= E –W = hn –W
(dove W e’ il potenziale di estrazione ed e’ una costante
caratteristica del metallo, indipendente dalla frequenza)
La costante h=6.62618 10-34 Js
 Dunque la costante h gioca un ruolo
fondamentale
 Definisce il “quanto” fondamentale di
radiazione
 E’ fondamentale poichè le altre costanti
possono essere espresse in funzione di h
 E’ fondamentale perchè da’ la scala di
grandezza dove i fenomeni quantistici
giocano un ruolo fondamentale
Esempio
esT4
Integrale su tutte le
frequenze-> Legge di Stefan
 (l ) 
8hc
l
5
Deriviamo per trovare il massimo della
distribuzione -> legge di Wien
1
e
hc
lKT
1
lmaxT=b
Riassunto
 La meccanica classica non può spiegare
lo spettro di corpo nero
 Lo spettro di corpo nero viene spiegato
con la formula di Planck
 Viene introdotta una costante
fondamentale h che è il riferimento di
scala dei fenomeni quantistici
 L’interpretazione dell’effetto fotoelettrico
fornì la prova dell’assunzione che
l’energia della radiazione è quantizzata
Problema
 La funzione lavoro per l’atomo di Litio
vale 2.3 eV
 Calcolare la lunghezza d’onda di soglia
per avere l’effetto fotoelettrico
 Si ricorda che 1 eV=1.602 10-19 J
Soluzione
 hn=W
 hc=lW
 l=hc/W=5.391 X 10-7 m
I modelli di atomo
Esperimento di Millikan (1909)
Spiegazione dell’esperimento di Millikan
In assenza di potenziale vale
Mg  6rv1
4
M  r 3  0   A 
3
 viscosità
r raggio della gocciolina
o densità dell’olio
a densità dell’aria
v1 velocità
Con il potenziale abbiamo invece
q
V
 Mg  6rv2
D
V potenziale D distanza tra i piatti
E infine
D
q  6r  v1  v2 
V 
Modello a panettone
Modello di J.J. Thompson
Esperimento di Rutherford (1911)
Esperimento di Rutherford animato
Modello di atomo di Rutherford (1911)
Limiti dell’atomo di Rutherford
 Gli elettroni sono come
pianeti in moto intorno
ad un sole centrale
 Ma cariche in moto
irraggiano
 In 10-10 s dovrebbero
cadere sul nucleo !
 Come si spiegano gli
spettri di emissione dei
materiali?
Spettri
Modello di Bohr (1913)
Come funziona
 Gli elettroni occupano orbite circolari
discrete
 Questi sono stati stazionari e dunque
non emettono
 Non tutti i livelli energetici sono
disponibili
 Anche il momento angolare è
quantizzato e vale L=l 
Spiegazione degli spettri
Problema n.1
 L’energia di ionizzazione dell’atomo di
idrogeno nel suo stato fondamentale
vale E=13.60 eV
 Calcolare la frequenza e la lunghezza
d’onda della radiazione necessaria per
ionizzarlo
 Si ricorda che 1 eV=1.602 10-19 J
Soluzione
 E=13.60 eV=2.18 X 10-18 J
 n=E/h=3.29 X 1015 Hz
 l=c/n=9.12 X 10-8 m
Problema n.2
 Un tipico laser da laboratorio He-Ne ha
una potenza di 1 mW ed emette una
radiazione coerente a l=633 nm
 Quanti fotoni sono emessi in un
secondo?
Soluzione problema 2




E=hn=hc/l
l=6.33 X 10-7
P=1 mW
N=P/E=3.19 X 1015
Esperimento di Frank e Hertz (1914)
Momento magnetico
Magnetone di Bohr
 Il momento magnetico è dato in modulo
da M=IA con I=corrente e A=area
 I=ev/2r
A=r2
 L=mvr
 M=eL/2m
M
B

L
e
B 
2m
Interazione con un campo magnetico
B
Fx  M 
x
B
Fy  M 
y
B
Fz  M 
z
 Vi è una forza solo se il campo
magnetico è NON uniforme
 Altrimenti vi è solo una processione a
velocità angolare costante
Esperimento di Stern-Gerlach
Anche il momento angolare è quantizzato
Ipotesi di De Broglie
 Sappiamo che per un fotone valgono le seguenti relazioni
E  hn
hn h
p

c
l
 De Broglie suppose che anche per una particella
materiale valessero le stesse equazioni. E’ a causa del
piccolo valore di h che a livello macroscopico non
vediamo gli effetti della meccanica quantistica
 Se l’orbita dell’elettrone è uno stato
stazionario, l’onda associata a questo deve
essere una onda stazionaria ed avere un
numero di lunghezze d’onda intere in una
circonferenza nl  2r
nh
L  rp 
 n
2
Esperimento di Davisson & Germer 1925
Dualismo onda particella
Humor
E’ un’onda o una particella?
Effetto Compton
 E’ un altro esempio in cui si evidenzia la
natura corpuscolare della radiazione
Esperimento di Compton
h
1 cos  
l f  li 
mc
Principio di indeterminazione
 La meccanica quantistica rappresenta un
arretramento rispetto alla pretesa della
meccanica classica di conoscere e
prevedere il moto in modo
deterministico
 Non si può misurare con precisione
infinita allo stesso momento la posizione
e il momento di una particella
 E’ il principio di indeterminazione che
rende stabile l’atomo !
Pacchetti d’onda
La diffrazione è indeterminazione
Dq=l/s=l/Dz
Dpz=poDq
l h
DzDp 
D
D l
DzDpz=h
Funzione d’onda di Scroedinger
La probabilita’ di trovare una particella in
una piccola porzione di volume e’
proporzionale al quadrato del modulo della
funzione d’onda Y
Orbitali
Rappresentazione
tridimensionale
delle distribuzioni
di probabilità per
gli orbitali s p d
Riempimento degli orbitali
 Come si dispongono gli elettroni negli
orbitali
 Vanno tutti ad occuparne uno solo?
 Perchè è importante questo riempimento
ai fini delle proprietà chimiche e fisiche
degli elementi?
Fermioni e Bosoni
Alla famiglia
dei Fermioni
appartengono
le particelle
più comuni,
quali elettroni,
protroni,
neutroni
Principio di esclusione di Pauli
 Due fermioni identici non possono
occupare lo stesso stato quantistico allo
stesso tempo
 Il principio di esclusione è alla base della
struttura della nuvola elettronica degli
atomi, dalla quale dipendono le loro
caratteristiche fisice e chimiche
Riempimento degli orbitali






H
He
Li
Be
B
C
1s
1s2
1s2
1s2
1s2
1s2
2s
2s2
2s2
2s2
2px
2px2
Tavola periodica degli elementi
Dagli atomi ai solidi
Dai livelli discreti alle bande
Metalli
isolanti
Semiconduttori
semiconduttori
Il Silicio
Il silicio è un
semiconduttore. Le sue
proprietà vengono dalle
caratteristiche strutturali
Un metallo e l’energia di Fermi
Un semiconduttore e l’energia di Fermi
Conduzione instrinseca
Drogaggio N
Drogaggio P
Giunzione senza tensione
Regione di svuotamento
Polarizzazione inversa
Polarizzazione diretta
Giunzione p-n
Caratteristica di una giunzione
LED (light emitting diode)
Si tratta di una
giunzione polarizzata
in modo diretto.
La ricombinazione tra
elettroni e lacuna è
radiativa, ovvero
avviene con emissione
di luce
Dal wafer al dispositivo
ossido
n
p
P+
Diodo
P
n+
Metallizazione
LED: light emitting diode
Il nostro esperimento
 L’obiettivo della nostra misura è dare
una stima della costante di Planck
 Con i mezzi che utilizziamo ovviamente
quello che possiamo aspettarci è di
trovare almeno l’ordine di grandezza
 Vedremo che riusciamo a misurarla con
una precisione del 10-20% !
Misura di h con l’uso di un LED
 Variare la corrente di alimentazione fino all’accensione del
LED
 Misurare la tensione
 Calcolare il valore di h dalla relazione
hn=qV
q = 1.602 10-19 C carica dell’elettrone
h = 6.626 10-34 Js
n = c/l
c = 2.9979 108 ms-1
Vs
Cosa fare
 Variare la corrente di alimentazione
 Misurare la corrispondente tensione
 Graficare la curva caratteristica del diodo e
linearizzarla (diodo interruttore)
 Estrapolare il valore di V dall’intersezione
della retta con l’asse delle tensioni
 Utilizzare tale valore per ricavare h
 Discutere brevemente il perchè secondo
voi il risultato non è esatto al meglio del
10-20%
Il nostro esperimento
 Parte sperimentale
oculare
Interruttori di accensione dei tre LED
Regolatore della tensione di alimentazione del LED
Selettore del LED da leggere
lettura tensione fotoconvertitore
alimentazione (12V)
lettura corrente LED
lettura tensione LED
lettura tensione fotconvertitore
lettura tensione LED
lettura corrente LED
alimentazione (12V)
Regolatore della
tensione di
alimentazione
del LED
Interruttori di accensione dei tre LED
Selettore del LED da leggere
Bibliografia
• Eisberg, Resnick “Quantum physics” Wiley
• Gamow “Biografia della fisica” Mondadori
• Millman, Halkias “Dispositivi e circuiti elettronici’’ Boringhieri
• Planck “La conoscenza del mondo fisico” Einaudi
• Rispoli “Elettronica’’ Veschi
• Segre’ “Personaggi e scoperte della fisica contemporanea” Mondadori
• Wychmann “La fisica di Berkekey – Fisica quantistica’’ Zanichelli