Le Equazioni per lo Studio della Dinamica
Mediante le equazioni per lo studio della dinamica delle Macchine
Elettriche si cerca di predire il comportamento elettromeccanico delle
macchine al variare di alcune grandezze di influenza. In particolare,
mediante
queste
equazioni
è
possibile
studiarne
l’avviamento, la fermata ed il modo con cui la macchina si porta da un
punto di lavoro all’altro.
Se si desidera controllare (comandare) la dinamica, i modelli qui
presentati vengono inseriti in opportuni sistemi di controllo
(Azionamenti Elettrici=Macchine+Convertitore+Controllo).
Diversi sono gli approcci possibili:
• Risoluzione delle equazioni differenziali nel dominio del tempo,
• Approccio Input/Output mediante lo studio delle Funzioni di
Trasferimento,
• Modellizzazione con le Equazioni di Stato.
• La risoluzione delle equazioni di tempo è il primo metodo impiegato
per la previsione della dinamica. E’ stato abbandonato perché troppo
complicato e non si presta all’impiego nei controlli automatizzati.
• La Funzione di Trasferimento viene definita attraverso la trasformata
della risposta impulsiva o dal rapporto tra le trasformate dell’uscita e
dell’ingresso considerati. Bisogna selezionare una determinata uscita
in ragione di un ingresso, quando le altre grandezze restano costanti.
L’ipotesi di linearità è alla base del metodo.
• Si ricorda che la forma canonica delle equazioni di stato è:


 X  A  X  B U


Y  C  X  D U
Le equazioni di stato si determinano facilmente tenendo conto delle
variabili soggette a derivazione, in condizioni quindi di descrivere lo
stato della macchina. Sono state sviluppate per tenere conto di più
ingressi e più uscite, simultaneamente.
(Teoria=>Controlli;
Applicazioni=Azionamenti Elettrici
Soluzione della Dinamica nel Dominio del Tempo
Consideriamo un circuito con resistenza e coeff. di autoinduzione:
t0
v(t)
~
R
L
i(t)
La tensione di alimentazione v(t) è sinusoidale (f=50 Hz).
Si chiude l’interruttore all’istante t=t0 che definisce l’inizio del
transitorio che vogliamo determinare;
   t0
con
v( t )  Vm sin(  t   )
La corrente i(t) che percorre il circuito è definita dalla equazione
di
L  Ri  Vm sin( t   )
dt
L’omogenea associata a questa equazione differenziale è data da
t 
di
i
(
t
)

C
e
ed ha come soluzione
L
 Ri  0
0
dt
1
1


L
di R
1
R



 i  0  C(  )e  Ce  0
R
dt L

L
L’integrale generale è quindi dato da i(t)=i0(t)+ip dove ip è un
integrale particolare la cui forma è del tipo
i p  A cos(  t   )  Bsin (  t   )
di p
dove A e B sono delle costanti. Ora
L
 Ri p  Vm sin( t   )
dt
e la derivata di ip vale
di p
  A sin(  t   )  B cos(  t   )
dt
sostituendo:
L  (  A sin(  t   )  B cos(  t   ))  R( A cos(  t   )  Bsin (  t   ))  Vm sin(  t   )
( BR  AL )sin(  t   )  ( BL  RA ) cos(  t   )  Vm sin(  t   )
eguagliando i coefficienti dei termini simili si ottengono le due
equazioni che permettono di determinare i due coeff. incogniti.
BL 
A
BL   RA  0
R
2 2

BL

L

BR 
L  Vm ;
BR  B
 Vm ;
BR  AL  Vm
R
B( R 2  2 L2 )  RVm
BL 
L RVm
A

R
R R 2  2 L2
R
RV
B  2 m2 2
R  L
A
 LVm
R 2  2 L2
L’integrale particolare che soddisfa l’equazione diff. risulta quindi
 L Vm
RVm
ip   2
cos(  t   )  2
sin(  t   )
2 2
2 2
R  L
R  L
L
R


i p  Vm  2
cos(  t   )  2
sin(  t   )
2 2
2 2
R  L
 R  L

i p  Vm  p cos(  t   )  q sin(  t   )
Semplificando
dove è stato posto
p
sapendo che
 L
R 2  2 L2
q
r
p cos   qsin   r sin(    )
2 L2  R 2
1
p q  2

( R  2 L2 )2 R 2  2 L2
2
R
R 2  2 L2
r
2
 L
L
  arc tan
 arc tan
R
R
  arc tan
1
p q 
2
2
   arc tan
R 2  2 L2
L
R
L’integrale particolare cercato assume quindi la forma
ip 
Vm
R  L
2
2
2
sin (  t     )
Gli elementi R ed X=L sono i componenti dell’impedenza:
Z  R  j L
ed in modulo:
p2  q2
R 2  2 L2  Z
q
p
Vm
ip 
sin (  t     )
Z
In definitiva possiamo scrivere
L’integrale generale dell’equazione, dato da i( t )  i0 ( t )  i p risulta
i( t )  C e

R
t
L

Vm
sin (  t     )
Z
La costante C si determina dalle condizioni iniziali. Per t=0 => i(0)=0. Si ha
Vm
C
sin(    )  0
Z
C
Vm
sin(    )
Z
La soluzione generale dell’equazione generale è quindi
 Vm
  L t Vm
i( t )   sin(    ) e 
sin (  t     )
Z
 Z

R
2V
i (t ) 
Z
R
 t

L
sin (  t     )  sin (    ) e 


;
L
tan  
R
L’andamento della i nel tempo (a partire dall’istante t = 0 in cui si chiude l’interruttore
M) è indicato nel grafico seguente, in cui si è posto:
Ip : valore massimo della corrente
Ir : valore di cresta della corrente a regime;
i
i(t)
corrente unidirezionale
R
 t
2V
sin (    ) e L
Z
Ip
Ir
t
La corrente a regime si determina per t=>
Vm
ir ( t ) 
sin (  t     )
Z
La
corrente
a
regime
è
sfasata
ritardo rispetto alla tensione dell’angolo
ed ha (com’è ovvio) un valore efficace
I
V
Z
ed un valore di cresta
L
  arc tan
R
in
Ir 
2V
Z
Se la resistenza R è trascurabile nei confronti della reattanza X=L (R<<X), si ha che
/2 e quindi la corrente di corto a regime, sfasata di 90° in ritardo rispetto alla
tensione, è data da:
i (t ) 
2V
cos (  t   )
Z
Il valore di picco della corrente, Ip, dipende dall’angolo di fase della tensione applicata,
=t0 e quindi dall’istante t0 in cui ha inizio la circolazione di corrente.
Nel grafico seguente è riportato l’andamento della corrente per diversi valori
dell’angolo  –  (arctan(-L/R) dipende dagli elementi circuitali e dalla pulsazione
 che possiamo ritenere costante dal momento che il sistema funzione a 50 Hz)
Ip / Ir
icc(t)
   = 90°
2
   = 60°
   = 30°
1
Ir
Ip
0
t
   = 0°
Nelle ordinate del grafico precedente è anche riportato il rapporto fra valore di picco Ip
della corrente e valore di cresta della corrente di corto a regime Ir .
Il più alto valore di tale rapporto si ha per  –  =90°, cioè per  = /2, dove si ha
Ip/Ir = 2.
Equazioni Interne per la Dinamica di Motori in CC
die ( t )
ve ( t )  ( R p  Re )ie ( t )  Le
dt
( t )  N eie ( t ) / 
Eccitazione Separata
e( t )  K e' ( t )( t )  K e" ( t )n( t )  K e' " ie ( t )( t )
dia ( t )
va ( t )  Ra ia ( t )  La
 K e' ( t )( t )
dt
Tm ( t )  K m' i e ( t )ia ( t )  K m" ( t )ia ( t )
d( t )
Tm ( t )  Tr ( t )  F( t )  J
dt
Il modello non è lineare per la presenza di moltiplicazioni tra
parametri dipendenti dal tempo, in particolare la f.e.m. indotta e la
coppia generata.
Se voglio un sistema lineare, devo tenere fermo qualche parametro e
modificare altri opportunamente.
Strategie per il Controllo
Se voglio un sistema lineare, devo tenere ferma la configurazione del
sistema di eccitazione mentre variano le grandezze di armatura e
viceversa.
Con riferimento alle equazioni non lineari
e( t )  K e' ( t )( t )
Tm ( t )  K mi e ( t )ia ( t )
possiamo ottenere quattro configurazioni di controllo:
1)
Eccitazione costante: si controlla la tensione di armatura;
2)
Eccitazione costante: si controlla la corrente di armatura con
tensione di armatura costante;
3)
Variazione della sola tensione di eccitazione a tensione di
armatura costante;
4)
Variazione della corrente di eccitazione a tensione di armatura
ed eccitazione costanti.
Esempio: Funzioni di Trasferimento
Si vuole determinare la funzione di trasferimento per un motore ad
eccitazione separata, in cui la variabile di ingresso è la tensione di
armatura mentre quella di uscita è la velocità angolare. La coppia di
carico è proporzionale alla velocità angolare, siamo in presenza di
attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia
complessivo, J). L’eccitazione è mantenuta costante.
Se il regime elettrico del circuito di eccitazione è mantenuto costante,
il sistema di equazioni si particolarizza nel modo seguente:
Ve  ( R p  Re )I e
  Ne I e / 
e( t )  K e' ( t )  K e ( t )
dia ( t )
va ( t )  Ra ia ( t )  La
 K e ( t )
dt
Tm ( t )  K m I eia ( t )  K M ia ( t )
d( t )
Tm ( t )  Tr ( t )  F( t )  J
dt
La funzione di trasferimento si definisce come :
( s )
W( s ) 
Va ( s )
W(s) deve contenere solo termini riferiti alla macchina, non deve
contenere termini “elettrici”. Si devono ricavare equazioni contenenti
solo pulsazioni e tensioni di armatura. Dalla equazione meccanica:
d( t )
Tm ( t )  Tr ( t )  F( t )  J
dt
Tm ( t )  K M ia ( t )
d( t )
K M ia ( t )  K( t )  F( t )  J
dt
Trasformando
K M I a ( s )  ( K  F )( s )  sJ( s )
con Laplace
Si considera anche il II° principio di Kirchoff applicato alla maglia di
armatura
di ( t )
va ( t )  Ra ia ( t )  La
a
dt
 K e ( t )
Trasformando con Laplace
Va ( s )  Ra I a ( s )  sLa I a ( s )  K e ( s ) 
Va  ( Ra  sLa )I a ( s )  K e ( s )
Per determinare la Funzione di Trasferimento, è necessario che si trovi
una equazione con le sole variabili di ingresso e di uscita.
Considerando di nuovo la eq. della meccanica e mettendo in evidenza
la corrente Ia(s):
I a ( s )  ((( K  F )  sJ )( s )) / K M
La inserisco nella equazione elettrica della maglia di ingresso
(( K  F )  sJ )( s )
Va ( s )  ( Ra  sLa )
 K e ( s )
KM
( Ra  sLa )(( K  F )  sJ )  K M K e
Va ( s ) 
( s )
KM
Tenendo conto della definizione di F.d.T.:
( s )
KM
W( s ) 

Va ( s ) ( Ra  sLa )(( K  F )  sJ )  K M K e
Si sviluppa per portarsi alla forma canonica:
( s )
KM
W( s ) 
 2
Va ( s ) s La J  s( Ra J  La ( K  F ))  ( Ra ( K  F )  K M K e )
Ora, per evidenziare la struttura di questa F.d.T, si possono fare
alcune ipotesi semplificative: F basso, come dovrebbe essere e K
basso (caratteristica della coppia resistente con bassa pendenza). Ciò
implica che
RaJ>>La(K+F)
KMKe>>Ra(K+F)
KM
W( s )  2
s La J  sRa J  K M K e
 Ra J 
Ra J 2  4 La JK M K e
I poli si calcolano
p1,2 
facilmente
2 La J
Caso A
Se è verificata la condizione La<<Ra2J/KMKe
e se ci si avvale della approssimazione valida per piccoli valori di X
=> (1-X)1/2 =1-X/2
i due poli del sistema possono essere espressi come:
K M Ke
p1  
Ra J
Ra
p2  
La
Polo elettromeccanico
Polo elettrico
Normalmente m>e
Ra J
m  
K M Ke
La
e  
Ra
La F.d.T. può essere scritta come:
KM
1
1
W( s ) 
K
La J ( s  ( K M K e ))( s  Ra )
( 1   m s )( 1  e s )
Ra J
La
E descritta con un diagramma di flusso
Va(s)
+
E(s)
1
Ra  sLa
Tm(s)
Ia(s)
KM
+
Tr(s)
1
F  sJ
(s)
Ke
Una diminuzione della velocità dovuta, ad esempio, all’aumento del
carico, porta, a parità di Va, ad un aumento della Ia perché è diminuita
la f.e.m. indotta Ke(t), ed ad un aumento della coppia motrice che
riequilibra il carico.
Esempio: Funzioni di Trasferimento
Si vuole determinare la funzione di trasferimento per un motore ad
eccitazione separata, in cui la variabile di ingresso è la tensione di
armatura mentre quella di uscita è la coppia motrice. La coppia di
carico è proporzionale alla velocità angolare, siamo in presenza di
attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia
complessivo, J). L’eccitazione è mantenuta costante.
T (s)
W( s ) 
Dalle
equazioni
consideriamo le:
della
dinamica
d( t )
Tm ( t )  K( t )  F( t )  J
dt
Tm ( t )  K M ia ( t )
dia ( t )
va ( t )  Ra ia ( t )  La
 K e ( t )
dt
m
Va ( s )
Trasformando
con Laplace
Tm ( s )  ( K  F )( s )  sJ( s )  (( K  F )  sJ )( s )
Va ( s )  Ra I a ( s )  sLa I a ( s )  K e ( s ) 
Va  ( Ra  sLa )I a ( s )  K e ( s )
Tm ( s )  K M I a ( s )
Per la f.d.t. devo eliminare sia Ia(s) che (s).
Tm ( s )
Ia( s ) 
KM
Tm ( s )
( s ) 
(( K  F )  sJ )
Tm ( s )
Tm ( s )
Va  ( Ra  sLa )
 Ke
Km
(( K  F )  sJ )
( Ra  sLa )
Ke
Va ( s )  (

)Tm ( s )
Km
(( K  F )  sJ )
Tm ( s )
K m (( K  F )  sJ )
W( s ) 

Va ( s ) ( Ra  sLa )(( K  F )  sJ )  K m K e
Tenendo conto della definizione di F.d.T. in forma canonica
(rapporto di polinomi in s)
Tm ( s )
sK M J  K M ( K  F )
W( s ) 
 2
Va ( s ) s La J  s( Ra J  La ( K  F ))  ( Ra ( K  F )  K M K e )
Tm(s)
Ia(s)
Va(s)
+
-
1
Ra  sLa
KM
+
Tr(s)
E(s)
(s)
Ke
+
1
F  sJ
Regolazione della Tensione di Eccitazione
Questo controllo è più facile da realizzare da punti di vista degli
amplificatori di potenza. L’inconveniente sta nel mantenere costante
la corrente di armatura.
die ( t )
ve ( t )  ( R p  Re )ie ( t )  Le
dt
d( t )
Tm ( t )  Tr ( t )  F( t )  J
dt
Tm ( t )  K m' i e ( t )I a  K mie ( t )
Applicando la trasformata di Laplace
Tm ( s )  K m' I e( s )I a  K m I e ( s )
Tm ( s )  Tr ( s )  F( s )  sJ( s )
Ve ( s )  (( R p  Re )  sLe )I e ( s )
Tm ( s )
Ie( s ) 
Km
Tr ( s )  K( s )
Km
( s )
W( s ) 

Ve ( s ) (( R p  Re )  sLe )(( K  F )  sJ )
Tm ( s )
Km
W( s ) 

Ve ( s ) (( R p  Ra )  sLa )
La prima f.d.t. è caratterizzata da due poli reali di cui uno elettrico e
l’altro meccanico.
Per quanto riguarda la
caratteristica
meccanica
Tm
(Tm=f(n, Ve)), si osserva che:
Ve
Ve  ( R p  Re )I e
Ve
Ie 
( R p  Re )
Ve
Tm  K m I e  K m
( R p  Re )
Le caratteristiche coppia-velocità risultano parallele all’asse orizzontale.
Esempio: Equazioni di Stato
Si vuole determinare le equazioni di stato per un motore ad
eccitazione separata, controllato con la tensione di armatura, avente
coppia di carico proporzionale alla velocità angolare, presenza di
attriti (coeff. di attrito, F) e masse inerziali (momento di inerzia
complessivo, J).
Ve  ( R p  Re )I e
  Ne I e / 
e( t )  K e' ( t )  K e ( t )
dia ( t )
va ( t )  Ra ia ( t )  La
 K e ( t )
dt
Tm ( t )  K m I eia ( t )  K M ia ( t )
d( t )
Tm ( t )  Tr ( t )  F( t )  J
dt
Il sistema è diventato lineare. Posso applicare le trasformate di
Laplace alle equazioni che descrivono il modello di macchina
considerato:
Va ( s )  Ra I a ( s )  sLa I a ( s )  K e ( s )
Tm ( s )  K M I a ( s )
Tr ( s )  K( s )
Tm ( s )  Tr ( s )  F( s )  sJ( s )
Le equazioni di stato si determinano facilmente tenendo conto che le
variabili soggette a derivazione, in condizioni quindi di descrivere lo
stato della macchina, sono la ia(t) e la (t).
La variabile di ingresso è rappresentata dalla tensione di armatura
va(t) mentre quella di uscita è la velocità angolare.


 X  A  X  B U


Y  C  X  D U
Si mettono in evidenza le variabili di stato derivate
sLa I a ( s )  Va ( s )  Ra I a ( s )  K e ( s )
sJ( s )   K( s )  K M I a ( s )  F( s )
Con
Tm ( s )  K M I a ( s )
Tr ( s )  K( s )
Si rendono le equazioni in forma canonica
Ra
 Ke
1
sI a ( s )  
Ia( s ) 
( s )  Va ( s )
La
La
La
KM
KF
s( s )  
Ia( s ) 
( s )
J
J
E si passa dalle equazioni in forma normale alla forma matriciale.
Le equazioni di stato si ricavano facilmente dalla prima e dalla terza
equazione del dominio s di Laplace (pag.precedente).
s
Ia( s )
( s )

Ra

La
KM
J
Ra

La
d ia ( t )

dt ( t ) K M
J
Ke

La
1
Ia( s )

 La Va ( s )
K  F ( s )
0

J
0 1 Ia( s )
Y

( s )
Ke
1

ia ( t )
La

 La va ( t )
K  F ( t )
0

0 1 ia ( t )
J
Y

( t )
Trasformatori: Equazioni di Stato
I coeff. M12 ed M21 sono definiti come induttanze di mutua induzione e
tengono conto dei flussi generati da un circuito elettrico che si
concatenano con un altro circuito elettrico mutuamente accoppiato.
L’induttanza mutua è una quantità positiva se correnti positive nei due
avvolgimenti producono flussi propri e mutui concordi, altrimenti è
negativa.
Nell’ipotesi di simmetria del circuito magnetico M12=M21=M
Le fem indotte si calcolano di conseguenza.
d 1 ( t )

di1 ( t )
di2 ( t )
e1 ( t ) 
  L1
M


dt
dt
dt

e ( t )  d 2 ( t )  M di1 ( t )  L di2 ( t )
2
2

dt
dt
dt

In forma matriciale
e1 ( t )
e2 ( t )

L1
M
d i1 ( t )

L2 dt i 2 ( t )
M
La relazione tra correnti e flussi concatenati può essere così riassunta,
in forma sistemica ed in forma matriciale:
 1 ( t )  L1i1 ( t )  Mi2 ( t )

 2 ( t )  Mi1 ( t )  L2i2 ( t )
1(t )
2(t )

L1
M
M i (t )
1

L2 i 2 ( t )
Se si considera il II° Kirchoff applicato alle maglie di ingresso e di
uscita, si ottiene:
di1 ( t )
di2 ( t )

v 1 ( t )  R1i1 ( t )  L1 dt  M dt

v ( t )  R i ( t )  M di1 ( t )  L di2 ( t )
2 2
2
 2
dt
dt
Si applicano le trasformate di Laplace al sistema:
V1 ( s )  R1 I 1 ( s )  sL1 I 1 ( s )  sMI 2 ( s )

V2 ( s )  R2 I 2 ( s )  sMI 1 ( s )  sL2 I 2 ( s )
Si consideri ora il vincolo esterno di carico ohmico/induttivo:
di2 ( t )
v2 ( t )  Rc i2 ( t )  Lc
dt
V2 ( s )  Rc I 2 ( s )  sLc I 2 ( s )
Trasformando
con Laplace:
Ed inserendo la relazione di uscita nel sistema:
V1 ( s )  R1 I 1 ( s )  sL1 I 1 ( s )  sMI 2 ( s )

 Rc I 2 ( s )  sLc I 2 ( s )  R2 I 2 ( s )  sMI 1 ( s )  sL2 I 2 ( s )
V1 ( s )  R1 I 1 ( s )  sL1 I 1 ( s )  sMI 2 ( s )

0  ( R2  Rc )I 2 ( s )  sMI 1 ( s )  s( L2  Lc )I 2 ( s )
Con le posizioni
R2*=(R2-Rc)
ed L2*=(L2-Lc)
si perviene alle
equazioni di stato.
V1 ( s )  R1 I 1 ( s )  sL1 I 1 ( s )  sMI 2 ( s )

0  R2 * I 2 ( s )   sMI 1 ( s )  sL2 * I 2 ( s )
 L1 sI 1 ( s )  MsI 2 ( s )   R1 I 1 ( s )  V1 ( s )

MsI 1 ( s )  L2 * sI 2 ( s )   R2 * I 2 ( s )  0
Passando alla rappresentazione matriciale
L1
M
M
L2 * sI 2 ( s )

sI 1 ( s )

R1
0
0 I (s) 1
1

 V1 ( s )
R2 I 2 ( s ) 0
Ora, per semplicità, si ponga Zc=Rc
Inoltre, si ipotizza che
M  k L1 L2
=>
L2*=L2
Per ottenere una equazione di stato in forma canonica è necessario
invertire la matrice dei coefficienti al primo membro
H
H
1
1


L2
M
M
1

L1 
L2
L1 L2 ( 1  k 2 )
k L1 L2

L1 L2 ( 1  k 2 )
Dove
  L1 L2  M 2  L1 L2 ( 1  k 2 )
Quindi
k L1 L2

L1 L2 ( 1  k 2 )
L1
L1 L2 ( 1  k 2 )
1

(1 k2 )
1
L1
k

L1 L2
k

L1 L2
1
L2
Se moltiplico H-1 per le altre due matrici delle equazioni di stato:
1
(1 k2 )
1
L1
k

L1 L2  R1
k

L1 L2
1 0
L2
0
R1

L1
1

2
(
1

k
) R1k
 R2 *
L1 L2
R2 * k
L1 L2
R2 *

L2
1
L1
k
1

L1 L2 1
L1
1
1

2
k
k
1 0 (1 k2 )
(1 k )


L1 L2
L2
L1 L2
Ora è possibile riunire le sezioni per ottenere le equazioni di stato in
forma canonica
Se moltiplico H-1 per le altre due matrici delle equazioni di stato per
lo studio della dinamica di un trasformatore monofase:
R1

L1
I1 ( s )
1

I ( s ) ( 1  k 2 ) R1k
2
L1 L2
R2 * k
L1 L2
I1( s )


1
L1 ( 1  k 2 )
k
R2 *

I2( s ) 
L1 L2 ( 1  k 2 )
L2
 V1 ( s )
I1( s )
V2 ( s )  0
Rc 
I2( s )
Le equazioni di stato per i trasformatori trifasi si ricavano come
estensione del caso monofase.
Motori Sincroni: Equazioni di Stato
Da un punto di vista modellistico siamo di fronte ad un avvolgimento
trifase, fisso nello spazio, attraversato da un sistema di correnti
equilibrate, collegate a stella, che
i2
danno origine ad un campo
i
2
m
magnetico rotante nello spazio, i.
N
m i=2/3(i +ai +a2i ) con (i +i +i )=0
1
2
3
1 2 3
S
i1
1 Il rotore è sede di un campo
statico che ruota solidale con esso.
3
i3

Si considera solo la fondamentale (si trascurano
le armoniche di ordine superiore). Ne segue che
i vettori i, m e  stanno in un piano e possono
essere rappresentati da fasori spaziali.
i
Li

[] = L [ i ] + [ m]
m
m

l’equazione elettrica è:
d  
v  Ri  
dt
La coppia Tm può anche essere rappresentata dal prodotto interno di
due vettori a tre dimensioni:
d [ m ]
Tm ( t )  pi 
d e
t
d m
3
Tm ( t )  pi 
2
d e

Trasformazione Trifase / Assi Fissi 
I vettori a tre componenti vengono riportati nel piano tramite una
trasformazione di riferimento
2
1
1
 
i
2
i

i

1 
i 123
3
i 
2
3
1
3
0

3
1

3
2
I
BB  I
3
3
trasf. 123 => 
[i] =[B][i]; [] =[B][];
B
3

[m] =[B][m];
[] = L [ i ] + [ m]
L’equazione elettrica si trasforma immediatamente da 123 => 
Bv  BRi  B
d 

v  Ri 
d 
dt
dt
Ed anche la equazione di coppia si trasforma immediatamente da 123
=>  considerando il legame tra un fasore e la sua derivata:
d m
3
Tm  pi 
2
d
d m

 j m
d
d m
3
3
Tm  p( i 
)  p( i  m )
2
d
2
3
Tm  p  i  m  sin(    )
2
d m
 j m
d
i
J
m

Entrambi i vettori sono funzione dell’angolo meccanico. Per renderla
lineare serve rendere indipendente il flusso dall’angolo e quindi dal
tempo.
Trasformazione Assi Fissi / Assi Rotanti
Si consideri un sistema di riferimento (d,q) che ruota rispetto al
riferimento fisso con una velocità angolare d/dt, scelto in modo tale
che per t=0 l’asse d coincide con l’asse . Per portarsi sugli assi
rotanti (d, q) si possono individuare delle trasformazioni matriciali che
operano direttamente sui vettori

i
q i
iq
id
i
A(  ) 
d


cos
sin 
sin
cos
A  1 (  )  At (  ) 
cos
 sin
sin 
cos
L’operatore matriciale A() trasforma le coordinate dello stesso
vettore da un sistema di riferimento (, ) fisso ad un altro (d, q)
mobile con il rotore e viceversa.
trasf.  => dq
[i]dq=[A()][i] ;
[]dq=[A()][[] ;
[m]dq=[A()][[m] ;
[]dq = L [ i ]dq + [ m]dq
Con la trasformazione assi fissi / assi rotanti ci portiamo su un
riferimento fisso con il rotore. E’ necessario conoscere la posizione
angolare del rotore stesso mediante misura o ricostruzione algoritmica.
In queste condizioni, l’asse d è allineato con il vettore spaziale del
flusso mozionale m e si perde la sua dipendenza dal tempo.
solo la componente in
q
i 
i dq quadratura contribuisce
A(J)
alla generazione della
coppia.
iq
questa
angolo  Con
trasformazione
id
m d
l’espressione
della
3
T  p m iq ( t ) coppia è linearizzata.
2
La trasformazione  => dq della equazione elettrica introduce un
termine mozionale j(t) dq che tiene conto che il riferimento dq ruota
con pulsazione (t).
d
vdq  Ridq  j( t ) dq 
dq
dt
Riassumendo, le equazioni interne di macchina, con riferimento agli
assi rotanti dq, è
vdq  Ridq  j( t )dq 
dq  Lidq  mdq
ddq
dt
Il modello è valido per
macchine in linearità e con
rotore liscio (isotropo).
3
3
Tm  p  i  m  sin(    )  p   m  iq
2
2
Per ottenere una sua rappresentazione di stato (tensioni come variabili
di ingresso e correnti come variabili di stato) è necessario fare delle
ulteriori considerazioni per minimizzare l’influenza di dq.
Se si evidenziano le
 d  Lid  md  Lid   m
componenti d e q di dq  Lidq  mdq  
 q  Liq  mq  Liq
dq :
Avendo scelto di far coincidere l’asse d con la direzione nord del
flusso di rotore abbiamo che
md = m e mq = 0
Analogamente, per la equazione elettrica
d d

vd  Ri d  j( t ) d 

ddq

dt
vdq  Ridq  j( t )dq 
 
dt
v  Ri  j( t )  d q
q
q
 q
dt
Tenendo conto che i vettori dq e jdq sono ortogonali tra loro,
q
jdq

2
dq
d
 j d   q

 j q    d
d d

vd  Ri d  ( t ) q  dt

v  Ri  ( t )  d q
q
d
 q
dt
Sostituendo le espressioni di d e q nella equazione elettrica,
ricordandoci che (dm / dt ) = 0, md = m , q=0 perché siamo sul
riferimento fisso sul rotore
 d  Lid   m

 q  Liq
d d 
did

vd  Ri d  ( t ) q  dt
vd  Ri d  ( t )Liq  L dt


v  Ri  ( t )  d q v  Ri  ( t )Li  ( t )  L diq
q
d
q
d
m
 q
 q
dt
dt
 did
 L dt  vd  Ri d  ( t )Liq

 L diq  v  Ri  ( t )Li  ( t )
q
q
d
m
 dt
Risolvendo rispetto alle
derivate delle correnti, si
ottiene l’espressione delle
equazioni di stato.
R


(
t
)
i
i
v
d d
1
d
d
L


dt iq  ( t )  R iq L vq  ( t ) m
L
Che risulta lineare ed autonoma se (t)costante, altrimenti è una
equazione di stato non lineare a coefficienti variabili nel tempo.
Se attraverso una retroazione di corrente si riesce ad imporre che id=0
ed i=iq allora l’equazione di asse q diventa analoga a quella del motore
in cc.
dia
va  Ri a  L
 K( t )
dt
did

vd  ( t )Liq
vd  Ri d  ( t )Liq  L



dt


diq
di
 ( t ) m
v  Ri  ( t )Li  ( t )  L q vq  Ri q  L
q
q
d
m
dt


dt

Esempio di una possibile soluzione per la realizzazione delle
condizioni poste per ottenere la equazione di stato vista.
idq
v123 = [v]
At(J)
A(J)
i
; i123 = [ i ]
2
3
mod.
-
P.I.
v*123
v*
v*dq
i*dq
i123
3
2
 ij = 0

E di un algoritmo per eliminare la interazione tra gli assi d e q.
+
-
i*d=0
-
vd+
+
1
R + sL
id
L
L
i*q
+ -
-
vq + -
1
R + sL
iq
m
Se così è, allora:
Tm  0
id
3
p  m 
iq
2
m
Riassumendo
La macchina viene descritta da un sistema di equazioni non lineari.
Per poterla controllare è necessario formulare delle ipotesi
semplificative o delle ipotesi di lavoro che riducano la complessità del
sistema.
In base alle ipotesi formulate si realizzano diverse tipologie di
azionamenti.
In particolare, abbiamo visto come una particolare retroazione di
corrente (id, iq) diventi un controllo di macchina.
Sono necessarie delle trasformazioni di riferimento che richiedono la
conoscenza della velocità o della posizione del rotore ed, almeno, otto
moltiplicazioni.
Altre soluzioni sono possibili e verranno descritte nella sezione
azionamenti perché non riguardano il funzionamento proprio della
macchina.
Motori Asincroni Equazioni su Riferimento e
 s  Ls is  Mir

 r  Lr ir  Mis
d ( s )
V f  Rs is 
 je  s
s
dt
d ( r )
0  Rr ir 
 j( e  me )r
dt
3
M
Tm  K r p( is   r )
Kr 
2
Lr
Legame correnti, flussi
Equazione di statore
Equazione di rotore
Coppia motrice (Kr è il
coefficiente di accoppiamento
rotorico.
Equazioni Esterne per la Dinamica
Alimentazione con terna di tensioni concatenate che possono essere
variate a piacere [v]=f(t).
Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr(t), che varia in
funzione della applicazione Tm(t)=Tr(t)+Fm (t)+Jdm (t)/dt
Dalle Equazioni Interne alle Equazioni di Stato
Sono state ricavate le equazioni interne di macchina in regime di
tempo considerando le variabili nei riferimenti bifasi:
s   s
is  i s
s
t
is
t
r   r
ir  i r
r
t
v  v
t
v
t
ir
 s  Ls is  Mir
Legame correnti=> flussi sul riferimento e

 r  Lr ir  Mis
d ( s )
Equazione di statore
V f  Rs is 
 e  s
s
dt
d ( r )
Equazione di rotore
0  Rr ir 
 ( e  me )r
dt
3
M
Equazione delle coppie
Tm  K r p( is   r )
Kr 
2
Lr
Si considerino i flussi di rotore e statore come variabili di stato
Sia  il determinante
 s  Ls is  Mir
della matrice delle
 s Ls M is
=>



induttanze
 r  Mis  Lr ir
r M L ir
r
  Ls Lr  M 2
L M 
1 r
s


ir   M Ls r
is
Lr
M

is    s    r

i   M   Ls 
s
r
 r


d ( s )
Lr
M
s  r ) 
 e  s
s


dt
Ls
M
d ( r )
0  Rr (   s  r ) 
 ( e  me )r


dt
d ( s )
Rs Lr
Rs M
 V f  ( e 
) s 
r
s
dt


Rr Ls
d ( r ) Rr M

s  (
 ( e  me ))r
dt


V f  Rs (
Le equazioni di stato si ricavano facilmente
Rs Lr
( e 
)

 s

Rr M
 r

A

s
r
Rr Ls
(
 ( e  me ))

Rs Lr
( e 
)

Rr M

Rs M


Rs M


Rr Ls
(
 ( e  me ))

1
B  V f s
0
Analogamente al caso del sincrono, nella matrice di stato rimangono
coefficienti legati alla velocità angolare.
Si possono ricavare altre matrici di stato considerando, a coppie,
correnti e flussi.
Tenendo conto che la coppia è comunemente espressa come:
3
M
Si ricavano le equazioni di stato
Tm  K r p( is   r )
Kr 
con is e r come variabili di stato.
2
Lr
Partendo dalle equazioni interne in regime dinamico, si esprimono ir e
 s in funzione di is e  r
r Mis
 s  Ls is  Mir
ir  

Lr Lr
 r  Mis  Lr ir

=>
 r Mis
 s  Ls is  M ( 
) 
d ( s )
V f  Rs is 
 e  s
Lr Lr
s
dt
2
M
M
d ( r )
 s  ( Ls 
)is   r
0  Rr ir 
 ( e  me )r
Lr
Lr
dt
M2
M
ponendo
Lk  Ls ( 1 
)   s  Lk is  r
Ls Lr
Lr
Si sostituiscono ir e  s nelle equazioni elettriche
M
d ( Lk is 
r )
M
Lr
V f  Rs is 
 e ( Lk is 
r )
s
dt
Lr
d ( is ) M d ( r )
M
V f  Rs is  Lk

 e Lk is  e
r
s
dt
Lr dt
Lr
d ( is )
M
M d ( r )
V f  ( Rs  e Lk )is  Lk
 e
r 
s
dt
Lr
Lr dt
Nella seconda equazione elettrica
r Mis
d ( r )
0  Rr ( 
)
 ( e  me )r
Lr
Lr
dt
Rr M
Rr
d ( r )
0
is  (  ( e  me ))r 
Lr
Lr
dt
Devo rendere le equazioni omogenee per la trasformazione in
equazioni di stato. Dalla seconda evidenzio la derivata del flusso e la
sostituisco nella prima.
d ( r )
Rr M
Rr

is  (  ( e  me )) r
dt
Lr
Lr
d ( is )
M
M Rr M
Rr
V f  ( Rs  e Lk )is  Lk
 e r  (
is  (  ( e  me )))r
s
dt
Lr
Lr Lr
Lr
d( i ) M R
Rr M 2
V f  ( Rs  e Lk  2 )is  Lk s  (  r  2e  me ))r
s
dt
Lr Lr
Lr
Da cui si prosegue per le equazioni di stato
d ( is )
Rr M 2
M Rr
Lk
 ( Rs  e Lk  2 )is  (   2e  me ))r  V f
s
dt
Lr Lr
Lr
d ( r )
Rr M
Rr

is  (  ( e  me )) r
dt
Lr
Lr
d ( is )
1
Rr M 2
M
Rr
1
  ( Rs  e Lk  2 )is 
(   2e  me ))r  V f
dt
Lk
Lk Lr Lr
Lk s
Lr
d ( r )
Rr M
Rr

is  (  ( e  me )) r
dt
Lr
Lr
is

 r
A
1
Rr M 2
 ( Rs  e Lk 
)
2
Lk
Lr
Rr M

Lr
M
Rr

(   2e  me ))
is
Lk Lr
Lr

r
Rr
 (  ( e  me ))
Lr
1
Rr M 2
 ( Rs  e Lk 
)
2
Lk
Lr
Rr M

Lr
M
Rr

(   2e  me ))
Lk Lr Lr
Rr
 (  ( e  me ))
Lr
1
B  Lk  V f s
0
ESEMPIO:
Dati di un motore ad induzione di cui si vuole studiare la
dinamica
Vs=380;
f=50;
P=2;
Rs=0.183;
Rr=0.277*0.5;
Lm=0.0538;
Ls=0.0553;
Lr=0.056;
B=0;
Jm=0.0165*10;
% Tensione concatenata di rete (valore efficace)
% Frequenza di rete
% Numero di coppie polari
% Resistenza di statore in Ohm
% Resistenza di rotore in Ohm
% Induttanza di magnetizzazione in H
% Induttanza di statore in H (Ls = Lls + Lm)
% Induttanza di rotore in H (Lr = Llr + Lm)
% Coefficiente di attrito
% Inerzia meccanica kg*m^2
Equazioni motore asse dq
Equazioni elettriche:
Vsd=Rs*Isd + d/dt(λsd) - ωe λsq
Vsq=Rs*Isq + d/dt(λsq) + ωe λsd
Vrd=Rr*Ird + d/dt(λrd) – (ωe- ωme) λrq
Vrq=Rr*Irq + d/dt (λrq) + (ωe- ωme) λrd
Equazioni di legame:
λsd=Ls*Isd + Lm*Isd
λsq=Ls*Isq + Lm*Irq
λrd =Lr*Ird + Lm*Isd
λrq =Lr*Irq + Lm*Isq
ωe : pulsazione elettrica
del sistema di riferimento
d-q arbitrario
ωme : pulsazione elettrica
di rotore (ωme = P* ωm)
Sostiuendo le equazioni di legame nelle equazioni elettriche si ottiene:
|V|=|R|*|I| + |L|*d|I|/dt + |J|*|I|
Vsd
Con:
|V|
=
Vsq
Isd
Isq
|I|=
Vrd
R
=
Ird
Vrq
Irq
Lm 0
Ls 0
|L|
=
Rs 0
0 Ls
Lm
0
0 Lm
0 Lr
Lm
0
0
Lr
0 0
0 Rs 0 0
0
0 Rr 0
0
0
0 Rr
|J| =|JL|* ωr + |JC|* ωc
|JL| =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Lm 0
Lm
0 Lr
Lr
0
|JC|
=
0 -Ls
0 -Lm
Ls
0
0
Lm
0
-Lm 0
0
-Lr
0
-Lr
0
Con le notazioni appena poste si ricava l’eq. di stato:
d|I|/dt = -|L|-1*( |R|+|JL|* ωr + |JC|*ωc )*|I| + |L|-1*|V|
d|X|/dt=
A*X
+ B *U
dove la variabili di stato sono date dalle correnti statoriche e rotoriche di
assi d e q. Questa equazione si risolve per via numerica; la condizione
iniziale |I|(0-) si ricava sempre dalla stessa eq. ponendo d|I|/dt (0-)=0.
Equazioni meccaniche:
Si dimostra che la coppia elettromeccanica vale
Te = 3/2 * P * Lm *( Iqs*Idr – Ids * Iqr)
dove P è il numero di coppie polari.
L’equazione meccanica è data da:
Te – Tc = Jm *dωm/dt + B* ωm
Anche la parte meccanica può essere scritta sottoforma di equazione di
stato:
dωm/dt = - B/Jm *ωm + 1/Jm*(Te - Tc)
Transitori
Velocità del motore
Correnti di statore
Modulo corrente statore istantaneo (Valore di picco)
Correnti di fase
Coppia motrice