Unità di insegnamento/apprendimento
relativa al “tappeto di Sierpinski”
(Ringrazio Giorgio Pietrocola per avermi opportunamente consigliata
nella realizzazione di determinate animazioni)
Per visionare l’UA precedente, relativa al “triangolo di Sierpinski”, cliccare qui
Contesto in cui è stata prodotta l’Unità d’ins./appr.: Ricerca-azione:
Metodo per lo studio dei frattali, promossa dall’OPPI e coordinata da Adalberto
Codetta Raiteri A.S. 2004/2005
Destinatari: Classe V B
Scuola primaria statale “Giuseppe Garibaldi”, Genova
(a.s. 2005/2006)
Docente coinvolto: Ivana Niccolai
A cura di Ivana Niccolai
1
Il tappeto di Sierpinski
È un frattale autosimile
Costruzione
Si parte da un quadrato
Lo si divide in 9 quadrati uguali e viene tolto
il quadrato centrale.Tale procedimento si ripete in
ognuno degli 8 quadrati rimanenti e si continua a
dividere ciascuno degli 8 quadrati in 9 quadratini
sempre togliendo il quadratino centrale…Questo
procedimento continua a essere ripetuto…
Il “tappeto di Sierpinski” risulta composto da otto
copie di sé stesso, ognuna larga 1/3
A cura di Ivana Niccolai
2
Animazione dei primi stadi della costruzione del
tappeto di Sierpinki (si visualizzano i quadrati “sottratti”)
A cura di Ivana Niccolai
3
Alcuni stadi (diversamente colorati) della costruzione del tappeto
di Sierpinski
Animazione
(dove si visualizzano i quadrati “sottratti”)
Se si usa un triangolo equilatero al posto di un quadrato, si
ottiene una gerla (o triangolo) di Sierpinski.
A cura di Ivana Niccolai
4
Alcuni stadi della costruzione del triangolo di Sierpinski
Animazione
(dove si visualizzano i triangoli “sottratti”)
Il triangolo di Sierpinski è composto da tre copie di sé stesso,
ciascuna delle quali è un triangolo di lato pari a metà del lato del
triangolo di partenza.
A cura di Ivana Niccolai
5
La spugna di Menger
La spugna di Menger è l'analogo in tre
dimensioni del tappeto di Sierpinski.
Si costruisce come un tappeto di Sierpinski,
usando però un cubo, dividendolo in 27 cubi,
sottraendo i 7 centrali (6 sulle facce e 1
all’interno) e ripetendo il processo all’infinito…
L’immagine è stata tratta dal libro”La matematica del Novecento” Di P.Odifreddi
La dimensione “d” della spugna di Menger si calcola:
3d = 20
d = 2,7266833028…
A cura di Ivana Niccolai
6
Alcuni stadi (diversamente colorati e di diverse
misure) della costruzione del tappeto di Sierpinski
A cura di Ivana Niccolai
7
TABELLA (relativa ai primi stadi della costruzione del
tappeto di Sierpinski)
STADI DELLA
COSTRUZIONE
MISURA DEL LATO
DI OGNI
QUADRATO
N° QUADRATI
1
1
1° stadio
1/3
8
2° stadio
1/9
8*8 = 64
3° stadio
1/27
8*8*8 = 512
stadio zero
(partenza)
A cura di Ivana Niccolai
8
Tabella (per il calcolo del perimetro e dell’area del tappeto in
ognuno dei primi stadi della sua costruzione)
Stadi della
costruzione
PERIMETRO
AREA
4
1
Primo stadio
4+4/3
8/9
Secondo
stadio
Terzo Stadio
4+4/3+[(4/9)*8]
64/81
4+4/3+[(4/9)*8]+[(4/27)*64]
512/729
Stadio zero
(partenza)
(lato del quadrato =1)
A cura di Ivana Niccolai
9
Dimensione del tappeto di
Sierpinski
A ogni stadio della costruzione, in ogni quadrato il lato è sempre diviso
in 3 parti uguali e la superficie è divisa in 8 quadrati uguali.
Se il quadratino centrale non fosse “tolto” potremmo scrivere:
32 = 9 (La dimensione del quadrato, nella geometria euclidea, è infatti: 2)
Per calcolare, invece, la dimensione “d” del tappeto di Sierpinski,
dobbiamo scrivere:
3d = 8
Basta usare, ad esempio, excel per calcolare il valore di “d”:
d = 1,892789261…
A cura di Ivana Niccolai
10
Ode al tappeto di Sierpinski
(di Grazia Raffa e Ivana Niccolai)
1/3
Per costruirlo si parte da un quadrato
stabilendone il lato uguale a uno;
lo stesso viene in nove sezionato,
quello centrale chiamasi “nessuno”.
Tale procedimento si ripete
per gli otto quadrati rimanenti,
sempre scindendo come si compete,
detti quadrati in nove altri “frammenti”.
A cura di Ivana Niccolai
11
Ode al tappeto di Sierpinski
(di Grazia Raffa e Ivana Niccolai)
2/3
Ogni volta togliendo il quadratino
che si trova nel centro del disegno,
si bucherella questo tappetino
usando la pazienza e un po’ d’impegno.
Si nota che a ogni stadio del costruito,
nato dalla scissione più costante,
il lato in tre parti è ripartito,
la superficie in otto (“non volante!”)
A cura di Ivana Niccolai
12
Ode al tappeto di Sierpinski
(di Grazia Raffa e Ivana Niccolai)
3/3
La dimensione di questa figura,
cioè tre alla “d” a otto uguale,
rese gli addetti lieti oltre misura
come quando si acquista un “orientale”.
3d = 8
d = 1,892789261
A cura di Ivana Niccolai
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Tappeto di Sierpinski di varie misure
Animazione
A cura di Ivana Niccolai
14
L’insieme di Cantor
I quattro segmenti (entro il contorno del tappeto di Sierpinski) degli
assi di simmetria del quadrato stesso (precisamente le due diagonali e
le due mediane) rappresentano, ciascuno, l’insieme di Cantor.
Infatti a ogni stadio della costruzione ciascun segmento continua a
essere diviso in 3 parti da cui è sempre tolta la parte intermedia, per
cui continuano a rimanere 2 segmenti.
La dimensione frattale “d” dell’insieme di Cantor si calcola così:
3d = 2
d= 0,630929754
A cura di Ivana Niccolai
15
L’insieme di Cantor
(ANIMAZIONE di alcuni stadi della costruzione dell’insieme di Cantor)
A cura di Ivana Niccolai
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Conclusione con alcuni quesiti
 Quale potrebbe essere l’analogo, in quattro dimensioni, del
“tappeto di Sierpinski?
Un ipercubo diviso in 81 ipercubi, da cui si tolgono… quanti
ipercubi?
 Quale potrebbe essere l’analogo, in cinque dimensioni, del
“tappeto di Sierpinski?
Un pentacubo diviso in 243 pentacubi, da cui si tolgono…
quanti pentacubi?
 Quale potrebbe essere l’analogo, in sei dimensioni, del
“tappeto di Sierpinski?
Un esacubo diviso in 729 esacubi, da cui si tolgono… quanti
esacubi?
A cura di Ivana Niccolai
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