Lezione 1: Dalle funzioni iterate al caos deterministico:
quando una farfalla può fare la differenza.
Lezione 2. Modelli dinamici 2dim. Biforcazioni e caos in
fisica, ecologia, economia …e salotti culturali.
Gian Italo Bischi
DESP-Dipartimento di Economia, Società, Politica
Università di Urbino “Carlo Bo”
[email protected]
http://www.mdef.it/gian-italo-bischi/
Orientamatica Milano, 24 gennaio, 7 febbraio 2014
Fenomeni governati da leggi matematiche = fenomeni prevedibili
•Caduta di un grave x(t) = x0 + v0xt ;
y(t) = y0 + v0y t ½ g t2
•Moto dei pianeti
•Moto di un pendolo
•Moto di un fluido …
Leibniz, XVII secolo (1646-1716)
Vediamo allora che ogni cosa procede in modo
matematico - cioè infallibilmente - nel mondo
intero, in modo che se qualcuno avesse una
sufficiente capacità di conoscere a fondo le cose,
e avesse abbastanza inte\lligenza e memoria per Gottfried Wilhelm von Leibniz
considerare tutte le circostanze e tenerne conto,
1646 -1716
questi potrebbe essere un profeta e potrebbe
vedere il futuro nel presente come in uno specchio
Effetto di piccole perturbazioni ?
Capitalizzazione (con interesse composto) interesse i%.
sia r = i/100
C(t+1) = C(t) + r C(t) = (1+r) C(t)
C(1) = (1+r) C(0)
C(2) = (1+r) C(1)= (1+r)2 C(0)
C(3) = (1+r) C(1)= (1+r)3 C(0)
Soluzione generale: C(t) = C(0) (1+r)t
Effetto di piccole differenze ?
Da "Il mistero di Marie Rogêt", Edgar Allan Poe, 1842.
Per quanto riguarda l’ultima parte della supposizione, si
dovrà considerare che la più insignificante differenza nei
fatti delle due vicende potrebbe dar luogo ai più importanti
errori di calcolo, facendo divergere radicalmente le due
sequenze dei fatti; proprio come in aritmetica un errore che
in sé non ha valore, alla fine, moltiplicandosi da un punto
all’altro del procedimento, produce un risultato lontanissimo
dal vero.”
Dal racconto “La notte dei numeri” di Italo Calvino.
Questi sono tutti i libri maestri della ditta – dice il ragioniere, nei cent’anni della sua esistenza [...] non c’è mai stato un
ragioniere come Annibale De Canis, eppure quest’uomo
infallibile , questo genio, vedi, il 16 novembre 1884, ... ecco, qui
c’è un errore di quattrocentodieci lire. Nessuno se n’è mai
accorto, io solo lo so, e sei la prima persona a cui lo dico:
tientelo per te e non lo dimenticare! E poi se anche lo andrai a
dire in giro, sei un ragazzo e nessuno ti darà retta... Ma adesso
sai che tutto è sbagliato. In tanti anni, quell’errore di
quattrocentosedici lire sai quant’è diventato? Miliardi!
Miliardi! Hanno un bel girare le macchine calcolatrici, i
cervelli elettronici e tutto il resto! L’errore è al fondo, al fondo
di tutti i numeri, e cresce, cresce, cresce!
Caos Deterministico: un ossimoro
deterministico : regolare, prevedibile
fenomeni ordinati e pianificabili
caos : assenza di regole, irregolarità, imprevedibilità.
Il concetto di caos deterministico spezza questa dicotomia:
modelli matematici deterministici non lineari possono
generare andamenti quasi indistinguibili da processi
aleatori, ed estremamente sensibili a piccole perturbazioni
Outline
• Generare caos deterministico iterando semplici funzioni
• Un po’ di storia
• Le proprietà del caos deterministico e l’effetto farfalla
• Un po’ di ordine nel caos: gli attrattori
• Caos deterministico nella letteratura, cinema, arte ….
Sistemi dinamici a tempo discreto
Assegnato x0, la successione degli stati (traiettoria) si
ottiene per induzione: xt+1 = f ( xt )
t = 0,1,…
Concetto di funzione y = f(x)
x→ f
→ y
Feed-back
Funzione composta (con se stessa)
Legge di evoluzione ottenuta mediante l’iterazione
(applicazione ripetuta) di una funzione, che dallo stato al
tempo t permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1
f
x(t)
x(t+1)
Per induzione, ossia iterando la f ...
x (0)
f
x (1)
f
x (2) ... x (t)
f
x (t+1) ...
… si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico
x(1) = f (x(0)) x(2) = f (x(1)) = f (f (x(0))) = f 2 (x(0)) … x(t) = f t (x(0))
Mappa lineare: f ( x ) = a x.
Evoluzione xt+1 = a xt
x1 = a x0
x2 = a x1 = a ( a x0 ) = a² x0
x3 = a x2 = a ( a² x0 ) = a³ x0
…
xn = a xn1 = a ( a n-1 ) x0 = anx0
Soluzione in forma chiusa:
xt  x0 a
 | a | < 1 (contraction)
 0<a<1
Contraction and orientation preserving.
It monotonously converges to x*=0
-1 < a < 0
Contraction and orientation reversing
The iteration converges to x* = 0 through
oscillations
| a | > 1 (expansion)
a > 1,
expanding and orientation preserving
It diverges monotonically
 a < 1
expanding and orientation reversing
It diverges through oscillations
t
• Particular (bifurcation) values
a= 1 xt = x0 constant
a= 1 xt = (-1)t x0 alternating values
Dato x0 e la regola induttiva xn+1 = f(xn) …. Come andrà a finire?
3
xn  xn 1
xn
x0=3
xn1  xn
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
x0=0.5
0
a
xn 1 
xn
Nota: xn+2 = xn
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
Pierre-Simon Laplace
1749-1827
Nel 1776 Laplace scriveva :
“Lo stato attuale del sistema della natura
consegue evidentemente da quello che era
all’istante precedente e se noi
immaginassimo un’intelligenza che a un
istante dato comprendesse tutte le relazioni
fra le entità di questo universo, essa
potrebbe conoscere le rispettive posizioni, i
moti e le disposizioni generali di tutte quelle
entità in qualunque istante del futuro”
Legge di evoluzione:
x (t + 1) = f ( x (t) )
Costruzione geometrica qualitativa delle traiettorie
x0
x1
x2
x1
x1
x1 = f (x0)
x1
x3
x4
x2
x0
x0
x0
lineare
x(t  1)  x(t )
x(t  1)  f ( x(t ))  x 2 (t )  b
x0
b = 1.7
x3
x1
x4
x2
x
n
x
n
Interesse composto con tassa proporzionale al quadrato !!
C(t+1) = (1+r)C(t) – bC(t)2
logistica
0
C(1)= (1+r)C(0) – bC(0)2
(1+r)/b
grado 2
C(2)= (1+r)C(1) – bC(1)2 = (1+r)[(1+r)C(0) – bC(0)2 ][1-b((1+r)C(0) – bC(0)2)]
C(3)= (1+r)C(2) – bC(2)2
.
.
C10 = ………
grado 210 = 1024 !!!!
grado 23 = 8
grado 22 = 4
Henry Poincaré (1903)
Se conoscessimo esattamente le leggi della natura
e la situazione dell’universo all’istante iniziale,
potremmo prevedere esattamente la situazione
dello stesso universo in un instante successivo.
Ma se pure accadesse che le leggi naturali non
avessero più alcun segreto per noi, anche in tal
caso potremmo conoscere la situazione iniziale
Henry Poincaré, 1854-1912
solo approssimativamente.
Se questo ci permettesse di prevedere la situazione
successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e
dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.
Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle
condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..
Edward Lorenz
(May 23, 1917–April 16, 2008)
dx
 x  y
dt
dy
 Rx  y  xz
dt
dz
  Bz  xy
dt
Lorenz
xn  xn21  2
2
x0=0.5
xn
x1(t)-x2(t)
0
4
-2
0
10
20
30
400
50
60
t
2 x0=0.499
xn
-4
x1(0)=0.5
x2(0)=0.499
0
10
20
30
0
-2
0
10
20
30
40
50
60
t
40
50
60
t
Si dice che si è in presenza di dinamiche caotiche se:
(1) Sensitività rispetto alle condizioni iniziali
generando due traiettorie da diverse condizioni iniziali, ma arbitrariamente
vicine, esse si mantengono limitate ma la distanza fra esse cresce
esponenzialmente e dopo un tempo finito diventa dello stesso ordine di
grandezza delle variabili di stato.
(2) Transitività (o mixing):
i punti della traiettoria generata partendo da una generica condizione
iniziale ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi
cioè ciascun punto dell’intervallo su cui si muove tale traiettoria risulta
essere punto di accumulazione dei punti della traiettoria stessa.
(3) Esistenza di infiniti cicli repulsivi
con i punti periodici densi nella regione ricoperta dalle traiettorie caotiche.
Nota: (2) e (3) implicano (1)
La Geometria del Caos
Stretching & Folding (Stiramento e ripiegamento)
0.875 =
Kneading of the dough (impastare)
c
c1= f (c)
x(0)
t
4
3
a = 3.61
1
1
J
c
c
c2
I
c3
c3
I
c1
c1
0
0
J
c2
x
1
0
0
50
t
100
-1.74
x
-1.80
1.75
1.79
Self-similarity
(omotetia interna)
Robert May, 1976
“Appello evangelico per l’introduzione di queste equazioni alle differenze
semplici in corsi elementari di matematica, cosicchè l’intuizione degli
studenti possa essere arricchita vedendo le cose bizzarre che succedono
con semplici equazioni non lineari. [...]”.
“Io vorrei sollecitare che sia presentata [l’equazione logistica] presto
nell’educazione matematica. Questa equazione può essere presentata
da un punto di vista fenomenologico iterandola con una calcolatrice,
o persino a mano. Il suo studio non richiede più sofisticazione di quanto
non richieda un corso elementare di matematica.
Tale studio potrebbe in generale arricchire l’intuito di uno studente circa
i sistemi non lineari. Non solo nella ricerca, ma anche nella vita politica
ed economica di ogni giorno, noi saremmo più ricchi se un numero
maggiore di persone si rendesse conto che semplici sistemi non lineari
non possiedono necessariamente semplici proprietà dinamiche.”
Supponiamo che ogni anno si riproduca una frazione r di insetti
e ne muoia una frazione m.
Nell’anno successivo la popolazione è
N t  1  N t   rN t   mN t 
 1  r  m N t 
r-m rappresenta il tasso netto di crescita della popolazione
Questa è una legge di evoluzione lineare
xt+1 = axt
Popolazione che vive in un ambiente limitato.
Si fa l’ipotesi che il tasso di mortalità m non sia costante, ma
aumenti al crescere della numerosità della popolazione
ad esempio m = sN(t),
termine di mortalità per sovraffollamento (carenza di cibo ecc.)
Con questa ipotesi la legge di evoluzione diventa non lineare:
N (t  1)  1  r N (t )  sN (t )
2
Una funzione di secondo grado
Con un cambio di variabile diventa:
x(t  1)  ax(t )1  x(t )
logistica
Iterazione della funzione (iperbole)
k  x2
f ( x) 
2x
k  xn2
xn 1 
2 xn
2
k

x
Punti fissi: x 
2x
f '( x) 
1
k
 2
2 2x

x2  k
x k
f '( k )  0
x
Stabilità
-1<f’(x*)<0
0<f’(x*)<1
Instabilità
f’(x*)>1
f’(x*)< -1
Stabilità locale di un punto di equilibrio x* : | f ’(x*) | <1
Approx lineare in un intorno di x*:
xt+1= f(xt)= f (x*) + f ’(x*)(xtx*) + o(xt x*)
retta tangente
Da cui:
xt+1 x*  f ’(x*)(xtx*)
Xt+1 = a Xt dove Xt = xtx* spostamento dall’equilibrio
xt 1  axt 1  xt 
Mappa logistica:
Punti fissi q*=0
c = a/4
c
p* = (a1)/a
p*
f’ (x) = a(1 2x).
f’(q*) = a
q* stabile per 1<a <1
f’(p*) = 2  a
p* stabile per 1<a<3
q* 0
c-1
1
Stabilità strutturale, biforcazioni
f ’ (x*) through value 1
• Fold bifurcation:
– two fixed points appear, one stable and one unstable
x
x
x
Bifurcation diagram
Normal form:
f(x,a) = a + x  x2
f ’(x*) through value 1
• Transcritical bifurcation (or stability exchange):
– two fixed points merge, exchanging their stability
x
x
x
Bifurcation diagram
Normal form:
f(x,a) = a x + x  x2
f ’ (x*) through value 1
• Pitchfork bifurcation
– a fixed point becomes unstable (stable) and two further fixed
points appear, both stable (unstable)
x
x
x
supercritical
subcritical
Normal form:
f(x,a) = a x + x  x3
Normal form:
f(x,a) =  a x  x + x3
f ’ (x*) through value 1
• Flip bifurcation (period doubling bifurcation):
– the fixed point becomes unstable and a stable period 2 cycle appears,
surrounding it. It corresponds to a pitchfork bifurcation of the second
iterated of the map.
supercritical
subcritical
x
alfa
Normal form:
f(x,a) =  1ax + x3
a=
2.5
y
a=2
x
x
y
3
5
x
4
x*
x
3
x
*
2
x
x
x
1
p*
2
x
0.5
0
1
x
x
1
p*
a=2
x
0

a=
3.1
y

a
a
f(x)
2
f(x)
0
x
0
0.5
F(x)=f (x)
1
x
a=3.1
1
2
F(x)=f (x)
x*
x*
0.5
a=2.5
x
Let C = {c1, c2, …, ck} be a k-cycle of xt+1 = f(xt)
i.e. cic1 , i=2,…,k ; f(ci) = f(ci+1) , i=1, …, k-1, and f(ck)=c1
In other words:
C = {c1, f(c1),f 2(c1), …, f k-1(c1)} and f k(c1) = c1
Then c1 is a fixed point of f k.
Indeed, any cj, j=1,…,k, is a fixed point of f k .
By the chain rule it is easy to compute the multiplier of C:
k
f ' (c j )
lC = Df k (ci) = f ′ (c1) ∙ f ′ (c2) ∙… ∙ f ′ (ck) = 
j 1
C is stable if |lC| < 1
What we said for the fixed points of f , on their stability and
local bifurcations etc., can be applied to k-cycles, seen as
fixed points of f k
In particular:
A couple of k-cycles (one stable and one unstable) can be
created by a fold bifurcation of f k
A k cycle can give rise to a 2k-ycle via a flip bifurcation of f k
Sharkovsky Theorem (1964).
If a k-cycle exists for f : II, then at least a p-cycle exists
for each number p that follows k in the following total
ranking of natural numbers:
3, 5, 7, 9, …, 3∙2, 5∙2, 7∙2, …, 3∙22, 5∙22, …, ….24, 23, 22, 2, 1
Li & Yorke Theorem (1975): Period 3 implies chaos
If f: II has a 3-cycle then:
An uncountable set of points S  I exists that does not include any
cycle and has the following properties:
i) For any p, q  S, pq,
max lim f n ( p)  f n (q)  0 and min lim f n ( p)  f n (q)  0
n
n 
(ii) For any q  S and any periodic point p  I
max lim f n ( p)  f n (q)  0
n 
The trajectories starting from an i.c. in S (scrambled set) are
chaotic, i.e. they have the 3 properies that characterize
deterministic chaos
Remark: it may occur mes(S) = 0 (invisible chaos)
Altro esempio: una mappa bimodale
xn+1 = f (xn) = a (5  xn) (xn  1)2
con a > 0
f ’ (x) = - a (x1)2 + 2a(5  x)(x  1) = a(x  1)(11  3x)
Metodo di Newton per la ricerca degli zeri di una funzione
Partiamo da x0 “sufficientemente vicino” alla radice
cercata. Calcolando l’intersezione fra la tangente in
(x0, f(x0) e l’asse delle ascisse si ottiene
x1 = x0 - f(x0) / f '(x0)
E così via
f ( xn )
xn+1 = G(xn) = xn 
f ' ( xn )
Nota: se f(x*) = 0 allora G(x*)=x* e G’(x*)=0
Esempio:
f (x) = 3x2  1 = 0
xn+1 = G(xn) =
x* = 1/3.
3 xn2  1
xn 6 x
n
3xn2  1
=
6 xn
f(x) = x3 3x2 +1 = 0
xn3  3xn2  1
xn+1 = G(xn) = xn 
=
3xn2  6 xn
2 xn3  3xn2  1
=
3xn2  6 xn
Un altro tipo di complessità:
in presenza di più attrattori occorre studiare la struttura dei bacini di
attrazione
Continuous and increasing maps
•The only invariant sets are the fixed points.
•When many fixed points exist they are alternatingly stable and
unstable: the unstable fixed points are the boundaries that separate the
basins of the stable ones.
• Starting from an initial condition where the graph is above the
diagonal, i.e. f(x0)>x0, the trajectory is increasing, whereas if f(x0)<x0
the trajectory is decreasing
r*
r*
p*
q*
p*
q*
f(x) = a arctan (x-1)
a = 0.5
basin
boundary
a=3
fold bifurcation
a=1
Continuous and decreasing maps
The only possible invariant sets are one fixed point and cycles of period 2, being f 2=f °f
increasing
The periodic points of the 2-cycles are located at opposite sides with respect to the unique
fixed point, the unstable ones being boundaries of the basins of the stable ones. If the
fixed point is stable and no cycles exist, then it is globally stable.
f(x) = – ax3 + 1
a = 0.2
a = 0.5
a = 0.7
Nononvertible maps. Several preimages
Z0
c
q-1
p
p
Z2
q
q
c-1
r
Noninvertible map: x’ = f (x) = a x (1– x)
y
Z0
c=a/4
Z2
0
c-1= 1/2
1
x
1
1
1
f
(
x
'
)

f
(
x
'
)

f
Se x’ < a/4 allora
1
2 ( x' )  x1 , x2 
x1  f
1
1
aa  4 x'
1
( x' )  
2
2a
Punto di massimo c = a/4
x2  f
1
2
aa  4 x'
1
( x' )  
2
2a
c1  f 21 (c)  f 21 (c) 
1
2
f ’ (c-1) = 0 e c = f (c-1)
z
Z1
cmax
p
Z3
cmin
Z1
r
q
z
Z1
q-12
q-11
cmax
p
Z3
cmin
q
r
Z1
c-1
Dinamica dei prezzi: modello della Ragnatela
Quantità richiesta al tempo t dai consumatori
Qd = D ( p )
funzione di domanda
Quantità che viene immessa sul mercato dai produttori
Qs = S ( p )
funzione di offerta
Q
Esempio:
funzioni D e S lineari:
D(p) = a  b p ;
S(p) =  c + d p
S
D
Equilibrio: Qd = Qs
a, b, c, d costanti positive
p*
p
Introduciamo il tempo.
Al tempo t i consumatori decidono in base al prezzo pt osservato, ma la merce nel mercato
al tempo t è stata prodotta in base a decisioni prese in un tempo precedente, perché la
produzione richiede un certo lasso di tempo.
Sia Dt = 1 il tempo di produzione che intercorre fra decisione e immissione nel mercato
•I consumatori decidono la quantità da acquistare in base a pt
• I produttori decidono in t1 la quantità da immettere nel mercato al tempo t in base al
prezzo atteso ptatt
D( pt )  S ( ptatt )
Introduciamo aspettative statiche (o naive) :
pt = D-1 (S(pt-1 )) = f (pt-1)
ptatt  pt 1
Con funzioni di domanda e offerta lineari: D(p) = a  b p ; S(p) =  c + d p
a  b pt =  c  d pt-1, da cui:
d
ac
pt   pt 1 
b
b
Funzione di offerta non lineare:
Q
QS = S ( p) = arctan (l(p1))
D(p)=a-bp
S ( p ) = arctan (l (p - 1))
S
D
D(pt) = S(pt-1)
diventa
pe
a  bpt = arctan (l(pt-11))
da cui si ottiene il modello dinamico
pt = F(pt-1)= [a arctan (l (pt-1 1))]
La mappa F(p) è monotona decrescente
p
F
F
p2
pe
p1
5
p
p
0
0.3
p
l
0.4
Aspettative adattive
ptatt1 = p tatt + a ( pt  p tatt )
con 0 < a  1
Inserendo:
pt = F ( p tatt )
mapping from beliefs to realizations
nell'equazione delle aspettative adattive:
att
t 1
p = p
att
t
a
+ a ( F ( p )  p ) = (1  a  p +
[a arctan (l ( p tatt 1))]
b
att
t
att
t
att
t
F ( p att )
(1  a ) p att  aF ( p att )
p att
ptatt
pe
ptatt
l
Modelli con aspettative
In economia e nelle scienze sociali lo stato attuale consegue sì da
quelli del passato, ma dipende anche dalle decisioni degli individui
che lo compongono, decisioni che sono influenzate dalle aspettative
che essi hanno sul futuro.
(e)
x
xt+1 = f ( t 1 )
oppure
(e)
x
xt = f ( t 1 )
Le aspettative degli agenti sul futuro si riflettono sul modo in cui i
sistemi evolvono: mappings from beliefs to realizations.
Gli agenti economici dei modelli devono essere dotati della capacità
fare congetture sulla distribuzione di probabilità dei possibili stati
futuri dell’Economia
Ipotesi delle aspettative razionali (Muth, 1961, Lucas, 1972)
Gli agenti economici sono in grado di prevedere correttamente il
futuro dei sistemi che studiano, così come un fisico conosce le leggi
della natura.
xt(e1)  xt 1
Così nasce l’agente economico rappresentativo razionale
Aspettative razionali e caos deterministico. Una evidente antinomia
Se si parte da un modello con aspettative razionali e si scopre che
esso genera caos deterministico, allora le previsioni non possono
essere razionali (cioè perfette) per definizione di dinamiche
caotiche.
Un corollario che contraddice un’ipotesi del teorema!
Benhabib, Day (1982) “A characterization of erratic dynamics in the overlapping
generations model” Journal of Economic Dynamics and Control, 4, 37-55.
Boldrin, Montrucchio. (1986) “On the Indeterminacy of Capital Accumulation Paths.”
Journal of Economic Theory 40: 26—39.
Grandmont, J.M. (1985) “Endogenous Competitive Business Cycles” Econometrica 53:
995—1045.
IPOTESI
STANDARD
RAZIONALITÀ
ILLIMITATA (O PIENA)
AGENTE
RAPPRESENTATIVO
IPOTESI ALTERNATIVE
RAZIONALITÀ
LIMITATA
AGENTI
ETEROGENEI
ASPETTATIVE
RAZIONALI
ASPETTATIVE
ADATTIVE
IPOTESI DEI MERCATI
EFFICIENTI
FINANZA
COMPORTAMENTALE
Identifichiamo due categorie di investitori:
fondamentalisti e chartisti
MODELLO CON FUNZIONI LINEARI
Pt+1 = Pt + γ [DtC + DtF]

Comportamento dei FONDAMENTALISTI:
DtF = α (F – Pt )

D = eccesso di domanda
α>0
Comportamento dei CHARTISTI:
DtC = β (Pt – F)
β>0
Cosa succede al passare del tempo al prezzo del titolo?
Pt+1 = Pt + γ [β (Pt – F) + α (F – Pt)]
Occorre identificare il punto fisso o stato stazionario (P*)
e successivamente verificarne la stabilità.
Pt+1 = Pt = P*
P* = F
Il punto fisso è il valore Fondamentale.
Stabilità
Pt+1 = f (Pt) = (1 + γβ – γα) Pt – γβF + γαF
Modello lineare, condizione per la stabilità :
1 < (1 + γβ – γα) < 1
Pendenza POSITIVA e MINORE di 1
Pendenza NEGATIVA e MAGGIORE di -1
Pendenza POSITIVA e MAGGIORE di 1
Pendenza NEGATIVA e MINORE di -1
 I prezzi CONVERGONO quando:
0 < (α – β) < 2 /γ
Cioè i fondamentalisti predominano, ma non eccessivamente
 I prezzi DIVERGONO quando una delle seguenti condizioni si verifica:
1 + γ(β – α) > 1
β>α
I chartisti sono più reattivi dei
fondamentalisti (dominano il mercato)
1 + γ(β – α) < –1
(α – β) > 2 /γ
I fondamentalisti sono troppo
più reattivi dei chartisti
MODELLO CON CHARTISTI PRUDENTI

Comportamento dei FONDAMENTALISTI:
DtF = α (F – Pt)

α>0
Comportamento dei CHARTISTI:
DtC = β arctan (Pt – F)
β>0
Equazione di evoluzione del prezzo:
Pt+1 = f (Pt) = Pt + γ [βarctg (Pt – F)+ α (F – Pt)]
Punto fisso Pt+1 = Pt = F
Stabilità: 1< f’(F) <1
1 + γ(β – α) > 1
β>α
1 + γ(β – α) < –1
(α – β) > 2 /γ
Cosa succede quando il prezzo Fondamentale è instabile?
Indice FTSE MIB
Telecom Italia
MODELLO CON FONDAMENTALISTI PIÙ AGGRESSIVI

Comportamento dei FONDAMENTALISTI:
Df = a(F – Pt)3
α>0
• Dinamica del prezzo: (con x = P-F)
xt+1 = f(xt) = xt + γ [βxt – αxt3] = h(xt) = (1+ γβ) xt– γα xt3
Punti fissi:
x0 * = 0
(P = F)
Gli altri due stati stazionari sono quelli che risolvono l'equazione:
1 = 1 + γβ −
γα(x*)2

x1,2* = ±
a

(P = F 
)
a
Stabilità degli equilibri
df
= 1+ γβ – 3γαx2
dx
 Nel punto fisso centrale (quello del prezzo fondamentale):
df
= 1 + γβ
dx
Quindi il punto fisso fondamentale è sempre instabile.
 Negli altri punti fissi:
df
= 1 – 2γβ
dx
Stabili se 2γβ > 2
β > 1/γ
CAOS DETERMINISTICO E LETTERATURA
Dal romanzo: Jurassic Park,
di Michael Crichton (23 ottobre 1942, 4 novembre 2008)
Un passo tratto dalla Seconda Iterazione
[…] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella
nuova generazione di matematici che mostravano un vivo
interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi,
sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento
dei matematici.
Per prima cosa si servivano continuamente del computer,
cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio.
Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari,
nel campo emergente del cosiddetto caos.
Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché i
loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fatto
esisteva nel mondo reale.
Ancora Ian Malcom, da Jurassic Park, terza iterazione.
“I computer vennero costruiti verso la fine degli anni 40, perché
matematici come John Von Neumann , il massimo matematico della
sua generazione, pensavano che avendo a disposizione una macchina
capace di gestire contemporaneamente molte variabili, si sarebbe stati
in grado di fare previsioni meteorologiche a lungo termine. […].
La teoria del caos manda all’aria tutto questo, non si può prevedere il
tempo se non per pochi giorni. […] Tutto il denaro speso per
previsioni meteorologiche lungo termine - circa mezzo miliardo di
dollari negli ultimi decenni- è buttato via. È un’impresa vana quanto
cercare di trasformare il piombo in oro. Oggi gli sforzi degli alchimisti
ci fanno ridere, ma generazioni future guarderanno noi e rideranno
nello stesso modo”.
Jurassic Park, terza iterazione:
“Un simile controllo è impossibile” dichiarò Ian Malcom
“Invece sì” disse Hammond
“Mi scusi, ma lei non sa quello che dice” ribattè Malcom
“Piccolo stronzo arrogante” disse Hammond. Si alzò e uscì.
“Mi spiace” disse Malcom “ma il punto è che ciò che definiamo
natura è di fatto un sistema complesso, non lineare.
Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi
combiniamo pasticci.
Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma
dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere
il muso contro l’evidenza dei fatti?
Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe
rivitalizzato l’Egitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo,
produce infestazioni da parassiti e rovina l’economia.
Abbiamo costruito...
Carlo Emilio Gadda (1953) nel racconto "L’egoista"
"Se una libellula vola a Tokio, innesca una catena di reazioni che raggiungono me".
Gadda (1974) Meditazione milanese
"L'ipotiposi della catena delle cause va emendata e guarita,
se mai, con quella di una maglia o rete. Ogni anello o
grumo o groviglio di relazioni è legato da infiniti filamenti
a grumi o grovigli infiniti. Come gli gnocchi. Unti,
agglutinati, filamentosi per formaggio e per salse, e uno
cento ne traina, e ognuno dei cento poi mille e ognuno dei
mille, milioni. Altro che le ciliegie, delle quali sogliono li
esperti affermare che una tiri l’altra!"
Gadda (1957) Quer pasticciaccio brutto de via Merulana
«Il dottor Ingravallo sosteneva, fra l'altro, che le inopinate catastrofi non sono mai
la conseguenza o l'effetto che dir si voglia d'un unico motivo, d'una causa al
singolare: ma sono come un vortice, un punto di depressione ciclonica nella
coscienza del mondo, verso cui hanno cospirato tutta una molteplicità di causali
convergenti. Diceva anche nodo o groviglio, o garbuglio, o gnommero, che alla
romana vuoi dire gomitolo. L'opinione che bisognasse «riformare in noi il senso
della categoria di causa» quale avevamo dai filosofi, da Aristotele o da Emmanuele
Kant, e sostituire alla causa le cause era in lui una opinione centrale e persistente:
una fissazione, quasi» […]
Caos deterministico al cinema
Mappe iterate del piano
 x(t  1)  ax(t )  y (t )
T :
2
y
(
t

1)

x
(
t
)
b

y
T
T
T
T
x
Point mapping f : Rn  Rn
x’ = f ( x ) x  Rn
Takes a point in Rn and moves it to a new position
If S is a set of points then f(S) = { f(x) | xS}
Lineland : f : R R x’ = f(x) Flatland f : R2  R2  x'  f1 ( x, y)

f
x
 y '  f 2 ( x, y )
f
(x,y)
x’
f
(x’,y’)
A
B
A’B’
f
A
B
A
B
f
f
B’
A’ B’
A’
S
S’
2-dimensional linear maps: contractions, expansions, rotations etc.
x’ = ax + by +c
y’ = dx + ey +f
rotation
2dim-linear
Linear map T:
 x'  a11
 y '  a
   21
a12   x 
 y
a22 
 
area (F’) = |det A | area (F)
|det A | < 1 (>1) contraction (expansion)
Meaning of the sign of |det A |
T is orientation preserving
if det A > 0
C
T
C’
F’
A
F
B
A’
T
C
T is orientation reversing
if det A < 0
B’
A’
A
B’
F
F’
B
C’
Henon map:
nonlinear, invertible
 x'  y  1  ax 2
T :
 y '  bx
det DT = b
1

x

y'
1 
b
T :
a
 y  x' 2 y '2 1
b

T ( x, y)  T3 (T2 (T1 ( x, y)))

T1 : ( x, y)  x, y  1  ax 2
T2 : ( x, y)  bx, y 

transforms a line y=k into a parabola
is a linear contraction in x direction for |b|<1
T3 : ( x, y)   y, x  is a reflection through the diagonal
S
T2(S)
T(S)
T3(S)
Noninvertible (Many-to-One) map: Distinct points are mapped into the same point
.
.
T
p1
p2
Equivalently, we say that p’ has several rank-1 preimages
p1
SH
2
SH1
1
2
T
y
T11
LC1
U1,2
R1
U-
p2
y
’
Z
U
R2 1,1
x
2
.
p’
T
Folding action of T
.
.
T1-1
T2
-1
.
p’
Z
L
C
0
x
’
Unfolding action of T-1
 x(t  1)  ax(t )  y (t )
T :
2
 y (t  1)  x(t )  b
y
.
3
T
P1
2
.
P = T(P1) = T(P2)
1
T
.
P2
-3
-2
1
-1
2
x
3
-1
-2
y
2 inverses

1  x   y 'b
T1 : 

 y  x' y 'b

y 'b
1  x 
T2 : 

 y  x' y 'b
.
3
T11 2
1
1
P
P
T21
1
.
P21
-3
-2
1
-1
-1
-2
Noninvertible maps: many to one
.
2
3
x

 xt 1  axt  yt
1  x   y 'b
2D example T: 
T1 : 
2
 y  x' y 'b
 yt 1  xt  b
 a 1
DT  

2
x
0


det DT = -2x =0 for x=0
T({x=0})  {y=b}
LC = {(x,y) | y = b }
LC-1 = {(x,y) | x = 0 }
 x  y 'b
T :
 y  x' y 'b
1
2
 x'  ax  y
T :
2
y
'

x
b

T
F
F’= T(F)
LC-1
LC
LC-1
y
D
LC-1
C
y
C
B
A
B
A
O
B’
A’
LC
C’
A’
D’
B’
LC
C’
O’
x
x
LC-1
y
LC-1
y
B
B
A
C
C
A
C’
LC
B’
A’
A’
C’
B’
LC
Itera…
x
x
 x(t  1)  ax(t )  y (t )
T :
2
y
(
t

1)

x
(
t
)
b

miraquad
 xt 1  axt  yt

2
y

x
t b
 t 1
LC2
LC-1
LC1
LC3
LC
LC4
LC5
 xt 1  axt  yt
T: 
2
y

x
t b
 t 1
miraquad
miraquad
miraquad
 xt 1  axt  yt

2
y

x
t b
 t 1
http://paulbourke.net/fractals/
Fractals, Chaos
http://paulbourke.net/fractals/clifford/
Clifford Attractors
Definition
xn+1 = sin(a yn) + c cos(a xn)
yn+1 = sin(b xn) + d cos(b yn)
where a, b, c, d
Are parameters that
define each attractor.
a = -1.4, b = 1.6, c = 1.0, d = 0.7
a = 1.1, b = -1.0, c = 1.0, d = 1.5
a = 1.6, b = -0.6, c = -1.2, d = 1.6
a = 1.7, b = 1.7, c = 0.06, d = 1.2
a = 1.3, b = 1.7, c = 0.5, d = 1.4
Lovely renderings by Thomas Burt.
a = 1.5, b = -1.8, c = 1.6, d = 0.9
Let us choose a polynomial of the form:
f(x,y) = a x2+ b y2 + c x y + d x + e y + f
where a, b, c, d, e, f are constants discussed later and x, y are the usual coordinates in 2space. The simplest way to turn this polynomial into a map is known as coordinate
rotation :
ynew = f(xold, yold)
xnew = yold
OK, say you, what about those 6 constants? A willy-nilly choice of those will not give
you a strange attractor. There may be (probably is) some way to telling if a particular set
of constants produces an attractor but, I am not a mathematician, which means I don't
really care -- I basically write a program to pick them at random and see what comes
out. Most sets diverge, some converge to a point, some converge to a boring loop, and
only few produce good-looking pictures. These things are called attractors, not because
they're attractive, but because they attract reasonable points
Here is a short C/C++ program I wrote.
What is a strange attractor?
I, of course, do not know the formal, mathematical, definition of Chaotic Attractors, but
I will do my best to correctly guess it. Strange Attractor is a collection of points such
that each point is a function of another point What kind of function? Everything from
polynomials to transcendentals. Like a randomly-appearing mosaic - instead of
individual features appearing one after the other, dots light up and eventually compose
distinct shapes.
Chaos and symmetry
Coupled Twisted Logistic: four parameter algebraic map of 4th degree
 x'  1 y(1  y)  1 ( x  y )
T :
 y'  2 x(1  x)   2 ( y  x)
Symmetric case:
1   2  
 x '  y (1  y )   ( x  y )
TS : 
 y '  x (1  x )   ( y  x )
1   2  
Coutl simmetrica
Chaos and Symmetry. Mike Field , Martin Golubitsky,
http://people.mbi.ohio-state.edu/mgolubitsky/
Symmetric Icons Program
menu:
GOSUB parameters
DEFDBL I, P-Q, X-Z
PRINT USING "(X,y) = ##.#### ##.####"; x; y
ON ERROR GOTO errortrap
PRINT "Scale =", scale
DEF fnxpix (x) = nstartx + scalex * (x + scale)
PRINT "ESC to exit program"
DEF fnypix (y) = npixely - scaley * (y + scale)
PRINT "R for RETURN"
GOSUB initialize
CLS
GOSUB menu
GOTO menu
loops:
initialize:
GOSUB iterate
CLS
x = xnew: y = ynew
scale = 1!
PSET (fnxpix(x), fnypix(y))
nscreen = 12: npixelx = 640: npixely = 480
a$ = INKEY$
nstartx = 160
IF a$ = "c" THEN iterates = 1: CLS : GOSUB parameters
SCREEN nscreen
IF a$ = "i" THEN GOSUB parameters
GOSUB setscreen
restart:
x = .01: y = .003: n = 4: iterates = 1
IF a$ = "m" THEN GOSUB menu
lambda = -1.8: alpha = 2: beta = 0: gamma = 1!: omega = 0
iterates = iterates + 1
RETURN
GOTO loops
initialpoint:
iterate:
CLS
zzbar = x * x + y * y
PRINT "Enter r to reset coordinates automatically"
p = alpha * zzbar + lambda
PRINT "Enter x to INPUT coordinates"
zreal = x: zimag = y
setscreen:
FOR i = 1 TO n - 2
CLS
za = zreal * x - zimag * y
scaley = npixely / (2 * scale)
zb = zimag * x + zreal * y
scalex = (npixelx - nstartx) / (2 * scale)
zreal = za: zimag = zb
RETURN
NEXT i
zn = x * zreal - y * zimag
p = p + beta * zn
xnew = p * x + gamma * zreal - omega * y
ynew = p * y - gamma * zimag + omega * x
RETURN
Two kinds of complexity
k = 1; v1 = v2 = 0.851 ; 1= 2 =0.6 ; c1 = c2 = 3
1.5
y
E*
0
0
(a)
x
1.5
From: G.I. Bischi and M. Kopel “Multistability and path dependence in a dynamic
brand competition model”, Chaos, Solitons & Fractals, vol. 18 (2003) pp.561-576
strutture complesse dei
bacini di attrazione nel caso
di più attrattori coesistenti
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/newton/newton.html
Newton's method is an iterative method for finding solutions of equations.
Given an estimate zn for a solution of an equation f(z) = 0, it generates the estimate
zn+1, which would be exact if f were linear.
This works out to give the formula
zn+1 = zn - f(zn) / f '(zn).
Thus, beginning with an initial estimate z0, we obtain a series of estimates z0, z1, z2, ...,
which, one hopes, converges to a solution of f(z) = 0.
The question of convergence turns out to be a most interesting one. Given a function
f with f(z) = 0 having more than one solution, we may ask, for an initial value z0, not
only whether the series z0, z1, z2, ... converges to a solution, but, if so, which solution
it converges to. In this way we arrive at the notion of a Newton basin: The Newton
basin of a solution is the set of starting points z0 for which Newton's method
converges to that solution.
Although you can enjoy the Newton Basin images without knowing the technical basis
for them, it helps to understand it.
Newton's method for finding roots of functions.
Newton's method began as a method to approximate roots of functions, equivalently,
solutions to equations of the form f(x)=0. Not only is the method easy to comprehend,
it is a very efficient way to find the solution to the equation.
From z0 we get
z1 = z0 - f(z0) / f '(z0) and so on….
The method does not work for any initial guess z0,
and if several roots exist then the method may
converge to one or another according to the initial
condition
The method works for complex functions, too.
Now, a function can have several roots. A polynomial of degree n has n roots. That's the
"fundamental theorem of algebra." (Of course, you have to count multiplicities of roots)
If you start close to a root, then Newton's method brings you closer to the root faster and faster. But
if you start far from a root, then Newton's method may take you to some root other than the closest
one. Suppose you paint the complex plane in colors so that all the points that approach a particular
root are painted one color. We'll say those points lie in one Newton basin for the function. An
interesting pattern emerges.
Introducing the problem: finding the basins of attraction of the roots of z2 - 1
How much harder can it be to find the basins of attraction of the roots of z3 - 1?
The complex function f(z) = z3 - 1 has three roots:
z1 = +1, z2 = -1/2 + i⋅(√3)/2, and z3 = -1/2 - i⋅(√3)/2.
These points are equally spaced around the unit circle, so one might expect the basins of
attraction of these three roots would be three 120 deg pie slices, symmetrically placed about
each root.
This is not true, because the solution is very complicated, as we see here.
Iterazione di Mandelbrot
f(z) = z2  a
con z = x + iy e a = b+ic numeri complessi
2
schema iterativo sul piano complesso: zn  zn 1  a equivalente a :
c=Im(a)
1
 xn , yn    xn21  yn21  b, 2 xn1 yn1  c 
2
b=Re(a)
-1
L’insieme di
Mandelbrot è
l’insieme dei valori
del parametro
complesso a tali che,
partendo dalla
condizione iniziale
z0=0+i0, lo schema
iterativo genera
successioni limitate,
Benoit Mandelbrot
Varsavia, 20 novembre 1924
Cambridge, Massachusetts, 14 ottobre 2010
David Ruelle “Caso e Caos”, Bollati Boringhieri, 1992
James Gleick “Caos. La nascita di una nuova scienza”, Sansoni 1997, 3° edizione
(edizione inglese : “Chaos. The amazing science of the unpredictable”)
Ian Stewart “Dio gioca a dadi ? La nuova matematica del caos” Bollati Boringhieri, 1993
Angelo Vulpiani “Determinismo e caos” La Nuova Italia Scientifica, 1994.
Douglas R. Hofstadter “Strani attrattori : schemi matematici collocati fra l’ordine e il
caos” su “Le Scienze”, Febbraio 1982.
James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, Robert S. Shaw “Il Caos”
“Le Scienze”, Febbraio 1987
A.K. Dewdney “Alla scoperta delle strane attrattive del caos” su “Le Scienze” ,
Settembre 1987.
F. Di Stefano “Il caos deterministico” in La Fisica nella scuola” n.6, 1991.
Alberto Rebaglia “Il Caos e i Frattali” inserto di “Scienza e Vita”, giugno 1993.
Marco dal Bosco “Comportamenti Casuali di un sistema deterministico”
in “La Fisica nella scuola” n.2, 1998.
Michele Fontana “Metti ordine nel caos” in Panorama del 21 febbraio 1988.
Pietro Greco “Il caos minaccia Newton”
da “La Repubblica” del 7 febbraio 1990.
Giorgio Israel “Grande è la confusione sotto il cielo della scienza : il determinismo non
è morto” da “La Repubblica” del 11 dicembre 1991.
Franco Prattico “I sacerdoti del caos”
da “La Repubblica” del 30 aprile 1993.
Giampiero Borrella “Avanti caos” in Panorama del 18 luglio 1993.
Carlo Bernardini “Finiremo tutti in un grande frattale”
da “La repubblica” del 3 dicembre 1986
Umberto Bottazzini “Il mondo del pressappoco” Il Sole 24 ore, 8 marzo 1987.
Omar Calabresi “Matematicamente belli” in Panorama del 17 gennaio 1988.
Pier Luigi Sacco “La finanza turbolenta si spiega coi frattali”
da Il sole 24 ore del 28 febbraio 1988.
Caos deterministico, libero arbitrio,
predeterminazione, controllo …
Contrapposizione fra:
•completa e rigida regolamentazione e
totale casualità degli eventi
•predeterminazione e il libero arbitrio
Anche in un mondo così rigido un piccolo
evento, una minuscola azione, può
provocare una rivoluzione.
Questo risulta perfettamente compatibile
anche nell'ambito di un sistema governato
da un rigido e predeterminato modello
matematico.
If you think you are too small to
make a difference, try sleeping
with a mosquito
the Dalai Lama