SIMMETRIE IN NATURA
SIMMETRIE IN FISICA
Le SIMMETRIE hanno un ruolo importantissimo
nello sviluppo delle ultime teorie della FISICA.
Un nuovo orizzonte si apre con il teorema di
Amalie Emmy NOETHER (1918):
SIMMETRIA
DINAMICA
LEGGE DI
CONSERVAZIONE
Il rapporto tra leggi di consevazione in fisica e le
simmetrie dinamiche ha basi matematiche molto
precise e tutto è dimostrabile matematicamente
con grande precisione. L’interpretazione fisica
è spesso complessa, nel seguito si cerca di
mostrare queste
relazioni
P. Dalpiaz
Università di con scarso
1
Ferrara
ausilio della
matematica.
IDEA GEOMETRICA DI SIMMETRIA:
Per rotazione la
simmetria è
continua
 /2
Per rotazione
la simmetria è
discreta
Al termine della trasformazione la descrizione
del sistema sfera o cubo è la stessa
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
2
IDEA DI SIMMETRIA DINAMICA
Se, a un tempo fissato, si effettua una
trasformazione di coordinate.
Trasformazione O,O’
O’
O
fenomeno
dinamico
v
Può succedere che una GRANDEZZA FISICA
(impulso, energia, ecc.) oppure una
EQUAZIONE DEL MOTO non cambia per
effetto della trasformazione di coordinate
In questo caso diremo che la
GRANDEZZA FISICA o
L’EQUAZIONE DEL MOTO è
INVARIANTE
La TRASFORMAZIONE è
SIMMETRICA
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
3
LEGGE DI CONSERVAZIONE IN FISICA
Se una grandezza fisica F, come per esempio: l’energia,
l’impulso, il momento angolare, la carica elettrica, ecc.
resta costante durante l’evoluzione temporale o spaziale, lungo una traiettoria :
F2
F

(x2,v2,t2)
1
(x1,v1,t1)
F(x1,v1,t1)=F(x2,v2,t2)

F  0
si dice che F si CONSERVA.
L’individuazione di leggi di conservazione
di grandezze fisiche è sempre stato uno dei
modi per costruire la Fisica.
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
4
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA
In assenza di attrito il pendolo
semplice continuerà ad oscillare con ampiezza costante.

F  mg
La sua energia cinetica si trasformerà continuamente in
energia potenziale e viceversa in modo che Ec+Ep=Et
Nel corso del tempo osservatori che misurano in istanti
diversi portano alla stessa descrizione del moto ( T , )
La dinamica è allora
INVARIANTE per TRASLAZIONI TEMPORALI
il TEMPO è OMOGENEO
OMOGENEITÀ
DEL TEMPO
CONSERVAZIONE
DELL’ENERGIA
MECCANICA
La forza di attrito rompe la simmetria temporale,
infatti le osservazioni in tempi diversi t0 e t0+dt,
mostrano ampiezze, periodi ed angoli diversi,
quindi in questo caso l’energia non si conserva.
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
5
INVARIANZA DELLA II LEGGE DI NEWTON
PER DIVERSI OSSERVATORI INERZIALI


F  ma
O
v0
Trasformazione di Galileo
O’
v0
r  r ' vt'
t  t'
La massa, l’accelerazione e la forza non variano
se osservate da due sistemi di riferimento inerziali
(abedue in moto rettilineo uniforme). Quindi, la II legge della
dinamica è invariante per trasformate di Galileo.
Nel caso di moto accelerato, in caduta libera sulla Terra oppure
percorrendo una curva, la simmetria si rompe per intervento della
forza di gravità o di quella centrifuga e lo sperimentatore trova
delle variazioni per le leggi della dinamica. Si può dire che le
leggi della dinamica non sono invarianti per sistemi non inerziali.
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
6
CONSERVAZIONE DEL IMPULSO
Un corpo di massa m in uno spazio Euclideo vuoto
non subisce l’azione di forze. Quindi tutti i punti
dello spazio sono equivalenti, cioè tutti gli osservatori traslati leggono la stessa fisica (simmetria):
SPAZIO VUOTO
ASSENZA DI INTERAZIONI
Legge di Newton

 

v p
ma  m

F 0
t t
SIMMETRIA PER
TRASLAZIONI
P. Dalpiaz Università di
Ferrara

p  cos t.
L’IMPULSO
SI CONSERVA
7
ROTTURA DI SIMMETRIA
Se il corpo cade in un campo di forze gravitazionali,
l’invarianza traslazionale è rotta lungo la linea di caduta
F  k /r
m
2
diventa
F '  k /( r  h)
2
per un osservatore
traslato, che vede una forza
diversa, non si conserva l’impulso.
Solo per l’osservatore che cade insieme al corpo si
ripristina la simmetria ed in quel caso si conserva
l’impulso. Si dice che nelle stazioni orbitanti
intorno alla terra la gravità è nulla,
questo è vero ed è dovuto al fatto
che il satellite è in perpetua
caduta sulla terra (Newton),
oppure che la forza centrifuga
compensa la forza P. Dalpiaz Università di
8
Ferrara
di gravità.
La caduta libera è abbastanza ben simulata sulla terra
nelle montagne russe, infatti quando il trenino precipita
si ha la brutta sensazione che lo stomaco si alzi:
Ciò è dovuto al fatto che lo stomaco e gli organi interni
nella nostra vita abituale sulla superficie della terra
tendono a cadere ed i nostri muscoli sono abituati a
sostenerli. In caduta libera gli organi non pesano più, i
muscoli continuano a spingere e quindi li alzano
veramente, con le conseguenti spiacevoli sensazioni.
È facile immaginare le sensazioni, non tutte piacevoli
che gli astronauti subiscono nei loro voli spaziali, e
la necessità, quindi, di pesanti allenamenti.
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
9
CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE
La legge di gravitazione
universale ha una evidente
SIMMETRIA SFERICA

r
F  k /r
Sole
2

F
Tutti i punti alla distanza r
Terra
subiscono la stessa attrazione,
Quindi siamo in presenza di una nuova SIMMETRIA
la SIMMETRIA di ROTAZIONE
Il momento angolare
Lrp
  
 
dato che p  Ft


 
 

L / t  ( r  p ) / t  r  F  0 dato che r // F
Quindi il momento angolare è costante
SIMMETRIA DI
ROTAZIONE
CONSERVAZIONE
DEL MOMENTO
ANGOLARE
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
10
Tutti gli osservatori che differiscono per una rotazione
attribuiscono una stessa interazione Terra-Sole e concordano sulla conservazione del momento angolare L.
Nel nostro esempio la legge di gravitazione è il legame
tra la simmetria e la legge di conservazione, nel caso di
un solido rotante il tramite è la forza di coesione.
Nel primo caso i corpi per inerzia tenderebbero a
proseguire per la tangente ma la forza di gravità li
obbliga a ruotare. Nei corpi rigidi:
le diverse parti dei
corpi tenderebbero
sempre per inerzia a
proseguire per la tangente,
ma la forza di coesione li
obbliga a ruotare.
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
11
ELETTROMAGNETISMO
EQUAZIONI DI MAXWELL:
4 equazioni differenziali che legano le azioni dei
campi elettrici E e magnetici B alle coordinate
spaziali x, y, z, e al tempo t.
div E 

0
Teorema di Gauss
Leggi di laplace
div B  0
B
rot E  
t
legge di Faraday
E
rot B  0 J c  0 0
t
Teorema di Ampère
modificato da Maxwell
I campi E e B in questa teoria sono entità fisiche reali come le sostanze.
Valgono nello spazio senza l’ausilio di sostanze. Sono valide anche per
valori infinitesimi. Queste equazioni, risolte nel vuoto, predicono l’esistenza di onde traversali che si propagano con la velocita della luce c, indipenenti dalla sorgente che le ha prodotte. Una variazione traversale di
E induce una variazione di B perpendicolare e viceverrsa.
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
12
L’elettromagnetismo è invariante per osservatori inerziali?
+Q
+q
f = qE
v=cost.
+q
F = q(E + v x B)
F ed f sono diverse dato che l’osservatore solidale con la carica
+Q vede solo un campo elettrico E mentre l’ossevatore a terra
vede il campo elettrico E e il campo magnetico B.
Le equazioni di Maxwell non sono invarianti per
traformate di Galileo. Vale a dire che i valori di E
e B assumono valori differenti per osservatori
inerziali, cioè in moto rettilineo ed uniforme
uno rispetto all’altro.
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
13
-1905 A.Einstein pubblica Zur Elektrodynamik bewegter Korper dove
espone quella che diventerà la toria della RELATIVITÀ RISTRETTA,
che si basa sui seguenti principi:
1- La velocità della luce, nel vuoto, è la stessa in tutti i sistemi di coordinate in moto uniforme gli uni relativamente agli altri (inerziali).
2- Tutte le leggi della natura sono le stesse in tutti i sistemi inerziali.
Il probema si riduceva alla ricerca delle trasformate tra sistemi di coordinate inerziali che soddisfi i principi di relatività.
Einstein dedusse da questi principi delle trsformate che già Lorentz
aveva usato per risolvere alcuni problemi di elettromagnetismo:
r '   ( r  vt)
t '   (t  vr / c )
2
 
1
1  v2 / c2
Il tempo t è trattato come la IV coordinata spaziale e quindi non era più
assoluto. Generalizzò in questo spazio quadridimensionale i campi elettrici e magnetici E e B nei potenziali vettori Ai già introdotti da Lorentz
ed altri e trasformato le equazioni di Maxwell in un unica equazione
•
Ai = -μ0ji
con (i = 1, 2, 3, 4)
1 2
 
•   2 2 
=
c t
xi xi
2
invariante per sistemi inerziali rispetto alle trasformate di Lorentz.
L’etere in questa teoria è superfluo per cui tutti i sistemi di coordinate
inerziali sono equivalenti. L’etere viene sostituito con i campi elettromagnetici di Faraday e Maxwell, che prendevano una consistenza reale
analoga a quella delle sostanze.
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
14
Evidentemente per v  c,   1 , le trasformate
Di Lorentz diventano quelle di Galileo, e quindi a
velocità lontane da quelle della luce la meccanica
classica è validissima. A velocità vicine a c ?
TEORIA DELLA RELATIVITÀ
Contrazione delle lunghezze
rA   ( r ' A vt' )
rB  rA 
rB   ( r ' B vt' )
1

(r'B r' A )
Dilatazione dei tempi
t A   (t ' A vr' / c )
2
tB   (t ' B vr' / c 2 )
v0
tB  t A   (t 'B t ' A )
Un impulso di luce è emesso nel centro
di una stanza.
Per l’uomo nella stanza la luce raggiunge
le pareti nello stesso istante.
Per l’uomo fermo la luce raggiunge le
pareti in tempi diversi,
per lui non c’è simultaneità.
P. Dalpiaz Università di
Ferrara
v0
15
I mesoni  si producono con i
raggi cosmici nell’alta atmofera


nella reazione     . 

Fermati a terra i  hanno una
vita media di 2.10-6sec che alla
velocità c percorrono al massimo
600m. Invece per arrivare a terra
percorrono più di 20Km.
Ciò è spiegato dalla relatività
con il fatto che tra il sistema di

riferimento del  e quello di
noi a terra c’è una contrazione
delle distanze o un allungamento
dei tempi.

La massa non è più un invariante,
dipende dalla velocità.
con v = c, m diventa infinita.
e
m   m0
E  mc
2
fuoco  2eV / 20GeV  1010
fissione  2 MeV / 200GeV  105
fusione  5MeV / 5GeV  103
annichilaz ione  materia  antimateria  1
P. Dalpiaz Università di
16
UNA VERA RIVOLUZIONE
Ferrara
TEORIA RELATIVISTICA DELLA GRAVITAZIONE.
RELATIVITÀ GENERALE (RG)
Il famoso esperimento della caduta dei
gravi, eseguito da Galileo è rimasto per
secoli senza una vera spiegazione fisica.
Se in un razzo in accelerazione, nello
spazio senza gravità, un osservatore lascia liberi alcuni oggetti, questi rimangono fermi mentre lui accelera perchè
ancorato al suolo del razzo. Il pavimento
raggiungerà tutti gli oggetti allo stesso tempo.
L’osservatore all’interno del razzo vedra cadere gli oggetti verso il pavimento, alla stessa velocità, nello stesso
modo in cui Galileo vide cadere gli oggetti dalla torre.
Albert Einstein vide una forte analogia tra i due esperimenti. Vide
cioè una simmetria tra il moto accelerato e la forza di gravità.
-1916 A.Einstein pubblica Die
Grundlagen der algemeinen
Relativitàtstheorie dove espone una
teoria completa dell’accelerazione e della
gravitazione. In questo articolo matematicamente molto complesso, fa vedere che
in un esperimento in un razzo accelerato la
luce ha una traiettoria curva ma difficile da
misurare perchè, su 3m, si sposta al massimo
delle dimensioni di un nucleo 10-12cm
Per verificare la teoria e l’equivalenza tra gravità ed accelerazione,
suggerì di verificare la curvatura della luce provocata dalla gravità,
lente gravitazionale, osservando una stella dietro al sole, in un
eclisse totale di sole. L’esperimento
è statoUniversità
fatto da una
P. Dalpiaz
di spedizione
inglese nel oceano Atlantico di fronte all’Africa
Ferrara nel 1919. Il successo
della misura confermò l’equivalenza tra accelerazione e gravità.
17
CURVATURA DELLO SPAZIO
Mentre per noi non è difficile compredere se una superficie è curva, dato che possiamo ossevarla dall’esterno, non è ovvio compredere il concetto di spazio curvo in
tre dimensioni dato che, per noi, non è possibile vederlo dall’esterno. Il modo migliore per discutere le proprietà dello spazio curvo e di rifarsi ad una analogia con
esseri immaginari a due dimensioni che vivono su una superficie ed ignorano una
altra dimensione perpendicolare alla loro superficie. Come potrebbero essi dire se
la superficie sulla quale vivono è piana, sferica o di qualsivoglia altra forma?
Potrebbero disegnare dei triangoli o delle altre figure, sulla superficie, e misurare
gli angoli. Nella figura si vedono una superficie piana, una sferica ed una iperbolica.
Sulle superfici sono disegnati dei grandi triangli, per quella piana la somma degli
angoli sarà di 180o, per la sferica sarà >180o e per l’iperbolica (sella) sarà <180o.
Se nel nostro caso tre astronomi si collocano su
Marte, Venere e Terra e tringolano. Dato che la
luce viene deviata dal Sole troveranno che lo
spazio intorno al Sole è sferico. Se ripetono
l’esperimento tra Giove, Saturno ed Urano troveranno che lo spazio è si sferico ma molto più
debolmente dato che la gravità del Sole devierà
molto meno la luce che nel primo caso.
Se osserviamo dall’alto una palla da bigliardo
che rotola su una superficie piana con degli avvallamenti, vedremo la palla accellerare e decelerare in loro presenza. Penseremo che la palla
sia sottoposta a forze e non ad una questione
geometrica. Anche in questo caso le forze.
P. Dalpiaz Università di
18
ha una
analogia
con
la
geometria
Ferrara
Sulla base delle precedenti considerazioni Einstein formulò una teoria
secondo la quale tutte le interazioni gravitazionali potrebbero essere interpretate come il risultato della curvatura dello spazio. Utilizzò la geometria
degli spazi curvi a n dimensioni elaborata qualche decennio prima da
Riemann e la matematica dei tensori elaborata da Levi Civita. Lo spazio
utilizzato da Einstein era a quattro dimensioni x, y, z e ict. Correlando il
così detto “tensore di curvatura” del continuo spazio-tempo con la distribuzione dei movimenti e delle masse ottenne la famosa formula:
R  Rg  
1
2
dalla quale ottenne le leggi della gravitakT zione di Newton, ma con una piccola
discrepanza nel moto dei pianeti:
Infatti Newton aveva dimostrato che secondo la sua legge di gravità, i pianeti
percorrono orbite elittiche attorno al sole in pieno accordo con le leggi empiriche
scoperte da Keplero. Nella teoria di Einstein tutti i movimenti vanno studiati in
uno spazio quadridimensionale (x, y, z, ict), che se sono presenti campi gravitazionali è uno spazio curvo. In figura sono rappresentate le linee che illustrano la storia
del movimento di un pianeta nel mondo a 3-D (x, y e t). Devono essere geodetiche,
cioè le più brevi, e sono calcolabili con la RG. Il continuo spazio temporale nelle
vicinanze del Sole è curvato e la linea universale del pianeta corrispondente della
retta (geodetica) nello spazio curvo. La linea ABCD rappresenta la minima distanza
tra A e D nel continuo spazio tempo a 3-D e la
sua proiezione sul piano (x,y) è l’orbita del pianeta intorno al Sole.Un esame rigoroso ha rivelato che l’elisse non è stazionaria nello spazio
ma ruota lentamente spostando il suo asse maggiore di un picolissimo angolo nel corso di una
rivoluzione. Questo effetto è stato trovato nel
orbita di Mecurio, dato che la sua orbita è
molto elittica e si trova molto vicina al Sole.
La teoria della RG dopo 200 anni ha innovato
le teorie gravitazionali di Newton.
Tutti i tentativi fatti da Einstein
e daUniversità
altri
P. Dalpiaz
di
Ferrara
per geometrizzare il campo elettromagnetico
e gli altri campi sono falliti.
19
CONSERVAZIONE DELLA CARICA ELETTRICA
La conservazione della carica elettrica è legata alla
SIMMETRIA DI GAUGE LOCALE.
Questa simmetria ha un nome astruso ma rappresenta
anche un concetto molto astratto e non evidente. Infatti
si tratta della simmetria del valore della fase delle
onde di materia definite nella meccanica quantistica
derivate dall’Equazione di Schrodinger.
La fase di queste onde può variare localmente in
modo casuale, facendo perdere coerenza alle onde di
materia. L’esistenza del campo elettromagnetico
ripristina la fase globalmente. La conseguenza più
evidente di questa simmetria è la conservazione della
carica elettrica.
CONSERVAZIONE
SIMMETRIA DI
DELLA CARICA
GAUGE LOCALE
ELETTRICA
-1923 H.Weyl propose che lo spazio abbia una simmetria di gauge locale
e che questo implicasse la conservazione della carica (Einstein demolì l’idea).
-1927 F.London riprese l’idea
di Weyl
e dimostrò
che la teoria di20
gauge
P. Dalpiaz
Università
di
Ferrara
locale doveva essere applicata alla
fase delle onde di materia dell’equazione di Schrodinger e non allo spazio e fu una proposta fruttuosa.
La Simmetria di Gauge (misura) può essere
esemplificata con un esempio di economia:
Un oggetto che ha un valore intrinseco che tradotto in moneta
è di 1936.27L quando entra in funzione il nuovo sistema
Monetario costerà 1 euro, la misura cambia ma
il suo valore identico.
L’esempio la Simmetria di Gauge locale:
Se consideriamo ora un mercato globale possiamo
pensare che i prezzi della merce per svariate ragioni
possano variare localmente in modo casuale. Ma
sappiamo che la forza della legge di Mercato in tempi
relativamente brevi li riporta all’equilibrio.
Ecco che abbiamo avuto una violazione locale della
simmetria che è stata ripristinata dalla forza globale
del Mercato.
Analogamente la fase delle onde di materia di
Schrodinger può variare localmente, ma la forza
del campo elettromagnetico ristabilisce l’equilibrio.
Possiamo affermare che tutti i fenomeni
elettromagnetici sono originati per riequilibrare
le violazioni locali della simmetria di fase delle
onde di materia di Schrodinger.
I campi delle interazioni Deboli e Forti hanno un ruolo simile a
quello Elettromagnetico. Possiamo
dire, metaforicamente,
che i 21
campi
P. Dalpiaz Università
di
Elettrodeboli e Forti fungono daFerrara
lucchetti della stabilità della materia.
CONSERVAZIONE DELL PARITÀ
z
x
Cambiamento
di segno delle
coordinate spaziali
y
Nella riflessione speculare si
invertono le coordinate (x,y) e
non la coordinata z (alto basso)
In natura sono numerosi gli esempi di assimmatria
spaziale. In biologia le molecole organiche sono
tutte di un tipo (sinistrose). La nostra faccia è simmetrica le mani non lo sono.
Nel mondo microscopico la simmetria è perfetta
per le interazioni gravitazionali, elettromagnetiche
e per quelle forti. Al punto che la simmetria spaziale fa corrispondere un numero quantico di parità
che deve consevarsi nelle interazioni. Ogni particella ha una parità positiva o negativa ed il prodotto per ogni membro di una reazione deve essere
identico altrimenti la parità non si conserva e la
reazione non può avvenire.
-1956 T.D.Lee e C.N.Yang propongono che la parità sia violata per le interazioni deboli. In numerosi
esperimenti
condiinterazioni deboli C.S.Wu,
P. Dalpiaz
Università
22
Ferrara
L.Ledermann ed altri hanno dimostrato
che effettivamente la parità è
violata nelle interazioni deboli. Fu una grande sorpresa.