Genova 22/9/2005
Daniele Musso
Relatore: Prof. Enrico Massa
Ottica geometrica e
geometria simplettica
Gli aspetti salienti dell’ottica lineare e
dell’ottica geometrica rivisitati
utilizzando tecniche e strumenti
matematici propri della geometria
simplettica.
•
• Ottica lineare descritta con il metodo
delle matrici.
• Formulazione
Hamiltoniana
basata sul principio
variazionale di
Fermat.
William Rowan Hamilton
Ottica lineare e ottica
gaussiana
• Introduzione dell’asse ottico.
• Oggetti ottici rappresentati
matematicamente da superfici ottiche.
L’ottica lineare è una teoria classica il cui
ambito di applicazione è definito dalle
seguenti ipotesi:
• Trascurabilità del carattere ondulatorio
della radiazione elettromagnetica
• Indici di rifrazione costanti
• Ipotesi di linearità
Ulteriore ipotesi per l’ottica gaussiana:
• Ipotesi di simmetria cilindrica
Definizione del formalismo
• Caratterizzazione
dello “stato” di un
raggio mediante i due parametri q e p
variabili in z .
q 
 
 p z
in cui p  n è detto momento.
• Rappresentazione della relazione fra gli
“stati” di un raggio a due quote diverse
mediante una trasformazione lineare
simplettica della coppia di parametri q e p .
q

p
2
2
 a b  q 

 
 c d   p 
• M è simplettica
1
1

det M   1
Sistemi ottici elementari
• Percorso in assenza di superfici ottiche
Condizione iniziale a
Condizione finale a
Pongo
z  z1 :
z  z2 :
q1 , p1 
q2 , p2 
t  z2  z1
Essendo l’indice di rifrazione costante, il raggio si propaga
in maniera rettilinea, risulta pertanto:
 p2  p1

t

q2  q1  t1  q1  n p1

1
Ponendo
al punto
t
T
n1
, la matrice di trasferimento dal punto
z2 assume la forma
1 T 


0 1 
z1
• Superficie rifrangente
Equazione della linea di separazione:
z  z  f q 
Per l’ipotesi di simmetria cilindrica rispetto all’asse
ottico, f q è pari e f 0  0 .
 
 
A meno di termini di ordine superiore al secondo avremo
1 2
z  z  kq
2
Con riferimento alla figura, sotto l’ipotesi di linearità, si ottiene


kq  tan      
2
 2
Considerando i triangoli rappresentati in figura

1    1        
2

;

  2      2   
2

Confrontando e raccogliendo i risultati ottenuti si ricava
1  1  kq
2   2  kq
Si considera la legge di Snell linearizzata:
n11  n2 2
Utilizzando le relazioni
1  1  kq
2   2  kq
si ottiene
n11  n1kq  n2 2  n2 kq
vale a dire
p2  p1  n2  n1 kq   Pq
avendo definito il potere della superficie rifrangente
P  n2  n1 k
q2  q1

 p2   Pq1  p1
La matrice di trasferimento dal punto z1 al punto
pertanto
 1 0


  P 1
z2 sarà
• Il comportamento del generico sistema ottico è
determinato dagli effetti del sistema stesso
sull’evoluzione dei raggi luminosi fra z1 e z 2 , z1
  z2 
• Nello spazio delle variabili q e p , tale evoluzione è
descritta da una trasformazione appartenente al gruppo
Sl 2,  .
• Il gruppo Sl 2,   è a sua volta generato dalle
trasformazioni di tipo “elementare”
1 x


0 1
 1 0


 y 1
Casi Notevoli
 q2   a b   q1 
 
 
 p2   c d   p1 
•
b0
q2 dipende solo da q1 e non dalla direzione del raggio
stesso; i punti  z1 , q1  e  z 2 , q2  sono detti coniugati.
Anche i piani z  z1 , z  z2 sono detti coniugati poiché
formati da punti coniugati a due a due.
•
c0
p2 dipende solo da p1 e non dal punto di incidenza.
Lente sottile
Per lente sottile si intende la successione di due diottri posti
a distanza trascurabile l’uno dall’altro.
Il problema associato alla lente sottile risulta dalla
composizione di due problemi di singola superficie
rifrangente.
 1 0  1



P
1
 1
  P2
con f 
0 
1

1    P1  P2
0  1
0


1    f 1 1 
1
P1  P2
z2  z  z  z1  nf
La matrice associata al sistema in esame è
1

0
f  1
0  1


1   f 1 1  0
pertanto
f  0

1    f 1
q2  fp1
f  1

1  0
p2  
f  0

1    f 1
1
q1
f
f

0
Fuochi della lente sottile
• Si considera ancora una lente sottile posta in un mezzo
rifrangente uniforme la cui matrice associata è
0  1 y  1  xf 1
 a b   1 x  1




  
1
1
c
d
0
1

f
1
0
1

 


  f
y  xf 1 y  x 

 f 1 y  1 
Si scelgono x e y in modo che
b  y  xf 1 y  x  0

1 1 1
 
f x y
I piani z  z1 , z  z2 sono coniugati e vale la seguente
relazione
q2  aq1
viene detto fattore d’ingrandimento
x
1 1
a  1  xf 1  1  x     
y
x y
Formulazione Hamiltoniana dell’ottica
gaussiana
 q2   a b  q1 
 
 
 p2   c d  p1 
se b  0
1

p

 1 b q2  aq1 

 p2  1 dq2  q1 

b
Introduciamo la funzione iconale
1 a
d
W q1 , q2    q12  q22  q1q2   K
b2
2

oppure
1

 p2 q2  p1q1   K
W


2
 q
a b  q1 
 2   
 
 p2   c d  p1 
L’eq. (1.1) possono essere riscritte in termini delle
derivate parziali di W
W

p


 1
q1

 p2  W

q2
z1  z2  z3
Wij qi , q j  : qi , pi   q j , p j 
la funzione iconale è additiva.
W13  W12  W23
W12

p


 1
q1

 p2  W12

q2
W23

p


 2
q2

 p3  W23

q3
da cui segue che
W12
W
  23
q2
q2
Esprimendo q2 in funzione di q1 , q3 si ha
W13 q1 , q3   W12 q1 , q2 q1 , q3   W23 q2 q1 , q3 , q3 
che soddisfa le seguenti relazioni
Scegliendo K  Lasse la funzione iconale W coincide con il
cammino ottico
L    ni li
i
• Propagazione rettilinea
L   n d  q2  q1 
2
2
con d  z2  z1
 1 q2  q1 2 
1n
2



 nd 1 

nd

q

q
2
1
2

d
2d
 2

Matrice associata:
1 d 


n


0 1 
La funzione iconale vale pertanto
W q1 , q2  


n 2
2
q1  q2  2q1q2  K
2d
identica al cammino ottico per K  nd  Lasse
• Superficie ottica
d 2  z2  z 
d1  z   z1
Superficie ottica:
1
z  z   kq 2
2
Il cammino ottico è:
2
2
1
1
2
2
L   n1  d1  kq 2   q  q1   n2  d 2  kq 2   q2  q  
2
2




1
1n
1n
2
2
 n1d1  n2 d 2  k n1  n2 q 2  1 q  q1   2 q2  q 
2
2 d1
2 d2
Utilizzando le relazioni
q  q1 
d1
d
p1 , q2  q  2 p2
n1
n2
,
p2  p1  n1  n2 kq
si ha
L   n1d1  n2 d 2 
 n1d1  n2 d 2 
W
1
 p2  p1 q  1 p1 q  q1   1 p2 q2  q  
2
2
2
1
 p2 q2  p1q1 
2
1
 p2 q2  p1q1   K
2
Identica alla funzione W pur di porre K  n1d1  n2d 2
Legge di Snell e principio di Fermat
d 2  z2  z 
d1  z   z1
Cammino ottico:
1
1n
1n
2
2
L   n1d1  n2 d 2  k n1  n2 q 2  1 q  q1   2 q2  q 
2
2 d1
2 d2
Condizione di stazionarietà del cammino ottico:
dL
n
n
 k n1  n2 q  1 q  q1   2 q2  q   0
dq
d1
d2
Utilizzando le relazioni
q  q1 
d1
d
p1 , q2  q  2 p2
n1
n2
si ottiene la legge di Snell:
kqn1  n2   p2  p1
William Rowan Hamilton
(1805 – 1865)
Pierre Fermat
(1601 – 1665)
Carl Friedrich Gauss
(1777-1885)
Willebrord Snell
(1580 – 1626)
Claudio Tolomeo
(~ 87 – 150 A.D.)