FEM 2010, Roma 13 dicembre 2010
Calcolo Elettromagnetico Intensivo
per la soluzione di problemi basati
su formulazione integrale
Antonello Tamburrino, Salvatore Ventre
Ass. EURATOM/ENEA/CREATE, DAEIMI, Università di
Cassino, Italy
Flavio Calvano, Guglielmo Rubinacci
Ass. EURATOM/ENEA/CREATE, DIEL, Università di Napoli
Federico II, Italy
S. Ventre et all, Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale
FEM 2010, Roma 13 dicembre 2010
Sommario
• Introduzione
• Il problema di riferimento
• Velocizzazione del calcolo
• Risultati
• Conclusioni e prospettive
S. Ventre et all, Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale
Introduzione
FEM 2010, Roma 13 dicembre 2010
• Calcolo elettromagnetico
Progetto di sistemi elettrici/elettronici: macchine elettriche,
dispositivi micro e nano, dispositivi fusionistici
• Equazioni di governo
Full Maxwell o sue approssimazioni quasi statiche
• Calcolo intensivo
Full 3D modelling, Effetti non lineari, Parti in movimento
Tecniche veloci e codice parallelo
Compressione e parallelizzazione
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Il Problema di riferimento
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Calcolo degli sforzi elettrodinamici in un turbo generatore
Ferro (laminato) statorico
Ferro (massiccio)
rotorico
Carcassa in ferro
massiccio
Avvolgimento statorico
in rame
Fig. 5.1: spaccato parte terminale lato camera ad anelli (l'avvolgimento rotorico di eccitazione e la
gabbia smorzatrice non sono rappresentati) fornita da Ansaldo Energia.
R. Albanese, F. Calvano, G. Dal Mut, F. Ferraioli, A. Formisano, F. Marignetti, R. Martone, G. Rubinacci, A. Tamburrino,
S. Ventre, “Electromechanical Analysis of End Windings in Turbo Generators”, presented at the 14th IGTE
Symposium, Graz (Austria), 2010.
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Formulazione Integrale del problema magnetostatico
M magnetizzazione incognita
Br   B S r   0Mr  
r  r' dV '  0 Mr'  nˆ r' r  r' dS ', in R 3
0



'

M
r
'
3
3
4 V
4 V
r  r'
r  r'
f
(1)
f
BS è l’induzione magnetica prodotta correnti (imposte) sul rotore e sullo statore
Vf è la regione dello spazio occupata dal materiale magnetico (di statore e rotore)
Vf rappresenta la frontiera di Vf
M r   G Br  in V f
(2)
Equazione costitutiva non lineare (senza memoria)
Sostituendo la (2) nella (1)
M  GT M  in V f
(3)
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Modello numerico
La soluzione della (3) come
convergenza a punto fisso
GT è una contrazione
M k 1  GTM k 
M r    M j P j r  in V f
Incognita M
j
Pj
-1
k 1

dV
P

G
M
 i
Vf
Galerking
 P  P dV
i
Il termine
k

dV
P

T
M
 i
i
Vf

Shape function
k

dV
P

T
M
 i
Vf
 P  P dV
i
Vf
diventa
1

, i
i
D EM  W
k

Vf
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;
Definizione delle matrici
Matrici Numeriche

nˆ r   Pi r nˆ r '  P j r '
0
dSdS'
 Eij   0 Dij 


4 Vi V j
r  r'


 Dij   Pi  P j dV
Vf


Wi   Pi  B S dV

Vf
Matrice Piena
Ciclo
1.
2.
3.
4.
k=0, M  0
calcola B k usando D1 EM k  W
k 1
applica la relazione caratteristica per il calcolo di M
Se la differenza tra M k 1 e M k è piccola ci si ferma, altrimenti si
ritorna al punto 1.
0


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Problematiche numeriche nello schema di calcolo
1. Calcolo dell’induzione prodotta dalle sorgenti imposte
2. assemblaggio della matrice piena E
k
3. calcolo del prodotto matrice piena per vettore E M
W
Per il punto 2. due la memoria e il calcolo cresce come O(n2)
dove n è il numero di incognite pari a 3 volte il numero di
elementi
Il tempo di calcolo del passo 3. cresce come O(n2)
Il passo 3. va ripetuto per ogni passo del ciclo
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Velocizzazione del calcolo
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Parallelizzazione del codice
• Le macchine multicore sono poco costose
• Sono presenti strumenti e librerie parallele collaudate
• Utilizzo di architetture parallele (ad esempio Grid
computing )
Miglioramenti proposti
1. La matrice W calcolata suddividendo in maniera
equilibrata il carico sui processori
2. La matrice E trattata efficacemente
a) Assemblaggio equilibrato
b) Compressione
c) Distribuzione equilibrata della memoria
d) Calcolo E*M equilibrato
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Velocizzazione del calcolo
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Trattamento della matrice E
Una parallelizzazione semplice è inefficace
Il costo computazionale dipende quadraticamente dalle incognite
Usando p processori (ideale)
T(Ns)= T(Np)
Tp(N)=O(N2/p)
N p  Ns p
E’ necessario Algoritmo lineare per avere uno speedup lineare
Sparsificazione della matrice E
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Velocizzazione del calcolo
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OBIETTIVO
Integrare in maniera efficiente il metodo di compressione in una
implementazione parallela
Fattori determinanti le prestazioni
Assembly balancing
Memory balancing
Computation balancing
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Metodo Veloce
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Sparsificazione di E (con complessità quasi lineare)
 Introduzione di una griglia multilivello che include tutta la mesh
 Decomposizione in parte vicina e lontana
 Calcolo e compressione della parte lontana, ottenuta secondo una
tolleranza assegnata (precisione)
 Calcolo esatto della parte vicina
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Metodo Veloce
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Introduzione Griglia Multilivello
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Metodo Veloce
.
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Decomposizione in parte vicina e lontana
EE
far
E
near
Calcolata senza errori
Nfar
E
far
 E
ib1,ib 2
i 1
Nfar # totale di interazioni lontane
E
ib1,ib 2 Matrice di interazione locale
tra due box lontane ib1 e ib2
Basso rango
approssimata
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Metodo Veloce
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Compressione QR approssimata della matrice di interazione
Siano me and m (ne and n) rispettivamente il numero degli
elementi e delle incognite in ib1 (in ib2).
r×n
m×n
E
ib1,ib 2
≈QR
m×r
r rango che dipende dalla errore richiesto (Modified Gram-Schmidt QR)
EFFICIENTE
(m+n) × r << m×n.
Si osservi che Memory Required e ComputationTime sono uguali a (m+n) × r
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Metodo Veloce
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Implementazione Parallela di EFAR
me * ne Costo assemblaggio della matrice di interazione locale
Costo Totale assemblaggio
Nfar
Nfar
i 1
1
E
ib1,ib 2
Ctot   mi * ni   Ci
ib1,ib 2
Assembly balancing
Distribuire il carico di E
in maniera equilibrata su p processori
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Metodo Veloce
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Algoritmo di distribuzione dei carichi
Problema con complessità esponenziale risolto usando algoritmo sub-ottimo
s
i
C
 sorted (Ci , descendent)
C k  0, k  1,.., p
for i  1,.., Nfar
K min  min C k
C
k
Costo di assemblaggio del k-simo processore
In uscita
Int2proc(i) fornisce il processore a cui compete l’interazione i
2.5
x 10
6
2
k
C k  C k  CiS
Int2Proc(i )  K min
end
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Prestazioni dell’algoritmo sub-ottimo
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Metodo Veloce
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Memory /Computation balancing di Lfar
Sono automaticamente verificati se la dimensione del problema è
sufficientemente grande (problemi di interesse per il parallelo)
2.5
x 10
Non c’è bisogno di ulteriori comunicazioni
6
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Memory/Computation balancing ottenuti automaticamente
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Risultati
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Contract AenGe_CiFe10 CREATE-Ansaldo Energia 2009/10
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MMFs in
phase
MMFs
opposite
MMFs in
quadrature
Computational Cost
No. of elements: 11038
No. of unknows: 33114
No. of iterations: 500
Iteration time: 0.39s
Preproc. time: 2792s
Machine: ALTIX 4700
N proc.: 32
CPU: Dual Core Montecito (IA-64) @1,6 GHz,
8MB L3 cache and 533 MHz Bus
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Risultati
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Validazione del metodo con codice commerciale
Radial component of the magnetic induction Br (in Tesla) in function of
the angular coordinate  (in deg): comparison between the 3D integral
formulation (--) and the 2D commercial code (continuous line)
calculated at z=2.4.
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Conclusioni e prospettive
• Utilizzando la sparsificazione SVD e la sua parallelizzazione
è possibile studiare strutture la cui una complessità
computazione non è altrimenti affrontabile dai codici
attualmente disponibili:
 dettagliata descrizione della geometria
 Validazione con codice commerciale
•Attività corrente: estensione del metodo (sparsificazione +
parallelizzazione) al problema delle eddy-current
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Grazie per l’attenzione ……
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